《2012届高考一轮复习理科课件(均值不等式及其应用)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012届高考一轮复习理科课件(均值不等式及其应用)（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、均值值不等式及其应应用考点串率谊1两个正数的算术平均数与几何手均数定珲如果au,“.,gvC(0,一eo),关4一1,刀B夕、鲫h叫做这n个正数的算术平坟数,吃做这n个正数的几何平均数,对于这企正敷的算术平均数与儿何平均数有:人一十个万Qn趸】)-G该不等式吸均值不等式.特别地,如果a,心二办咤).重&身扁(当且仪当4一0时称0为a,5的算术平坟数,称/吴为a,5的儿何平均数.本定理远可叙述为:两个正数的算术平均数不小于安们的几何平均数-这一定理的几何解租是:圆的半往不小于半弦(如图所示)-刀以4十5长的线段为直往作圆,在直往48上取点C使4C=a,CB一5.过点C作垂直于直往48的弦DD,连
2、结4D、DB,易证RtA4CDRtADCB,邦么CD2一CiLCB,即CD二Ja,这个圆的半径为52,最熊,它大于或等于CD,即502其中当且仪当点C与圆心重合,即4一时,等号成立.要重要不等式4历与24勺定埋士焱、F的a,5取值范图不同十传世2a中的a,5为实数即可,而,bJa5中的,必须同为正数.2-利用均值不等式求函数的最值已知x、y都是正数(U如果积xy是定值P那么当x万y时,和x-Ly有最小值2Q如果和xL是定值$,那么当x一时,积心有最大值55:应用上述结论时,应注意以下三点:“一正、二定、三相等“.D函数式中,-谷项正须都是正数.例如对于丽数式仁r当0,一【0心一Ce皇二(一R当
3、一量)蓼z戟x1晕薯一工可见当x一一1肖,x+量的最大值为一工丽数式中,含变数的加项的和或积必须是常数只有当各项相等时,才能利用算术平均数与几何平均数的关系求某些丽数的最大值或最小值.例如汀yx十5Cx2)的最小值时,可以将函数式变形为,2s一一0Ge2j一5为定值,述余当s-3肖取二伯荫尉函数定义坚取为Bx三44,若认为Jnan-4就错了,因为x3肖,x一2乙,所以4不是yx4的最小值.3均值不等式的变形(Dap(0ra,5ER常用籼证明积(a5)与和(a十办有芸联的不等式。一GJap5,5eBJ常用根证明平方和与积有关联的不等式.GJC当妙/砂丿-(当日仅当a21时取等吉)其中心尘称为,5
4、的平方平均数,1称为0,十b的调和平均数若xGSR,贝卧x量二若xSR,x0,则X十乏蓼Z或X十真蓦三_z,即恼十蒽蓼1叩产十8乐(a卜DJ(当且仁当4一时取等号;一4_十;4十历十乐ap十ae十pc(当且仅当a一D2一c时取等叶)-注意D为了使用算术平均数与几何平均数的定理,一般要把所求最值的函数或代数式化为ax|皇的形戊，常用的方法是变量分离与配凌法.有时候为了利用算术平均数与几何平均数的定理求最值,可以札用一些变化技巧,例如符号的变化等,霁要注意的是变化之后不等式的方向可能会改变-而汀于“等导“不能取到的情况往往利用函数y一aseA5卫在区间(0;下55j上的单调性求最值.根广据丽数单调性的判断方法易知,=axra0,5么0在1一心)上单调递增,在(0,、/分上单调递冼.利用这一性质可以求满足“正二定“但是不满足“三相等“的函数的最值.这一思维过程可以简记为“等号取不到,单谅来协谋“.典侧义对碧题型一均值不等式例1设40,5么0,则以下不等式中不恒成立的是()A(州羞1壹三4巴.u翼十痿冀二2u涉C仁十历市
