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1、线性代数课程简介一.教材与参考书 线性代数吴传生 王卫华编线性代数清华大学出版社 居余马等编教材选用：参考教材：线性代数是一门基础数学课程,其核心内容 是研究有限维线性空间的结构和线性变换.其理 论和方法有着广泛的应用.行列式矩阵线性方程组向量空间矩阵的特征值二次型1.教材内容:2.学习方法与要求;预习+课堂学习+小组讨论 本期应完成:15次作业、6个报告、2次考试 线性代数(Linear Algebra)简介加法与乘法被看成是代数系统中的一般运算。 一.代数: 是指由字母或符号来研究数及其结构的科学。1.初等代数 代数的起源可以追溯至3000多年前的古埃及 人和古巴比伦人。 初期的代数主要源
2、于解方程. 我国古代的九章算术 中就有方程问题。初等代数研究的对象:代数式的运算和方程的求解。 整式、分式和根式是初等代数的三大类代数式。 四则运算，乘方和开方运算,通常称为初等 代数的代数运算.初等代数的十条规则: (1)五条基本运算律： 加法交换律、加法结合律、 乘法交换律、乘法结合律、分配律； (2)两条等式基本性质: 等式两边同时加上一个数，等式不变； 等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变；(3)三条指数律： 同底数幂相乘，底数不变指数相加； 指数的乘方等于底数不变指数相乘； 积的乘方等于乘方的积。人们在解方程的研究过程中发现了 无理数、负数和复数， 从而使数的概念得到了扩充。2、代
3、数的基本定理1799年高斯（Gauss）证明： 复数域上任意一个一元n次（n0）方程任何一个一元n次方程在复数域上 有且仅有n个根（重根按重数计算）至少有个根,这就是说,至少有个复数x满足这个 等式； 3.多项式方程的代数解问题方程的代数解是指:方程经过有限次代数运算得到的解。 例如：的解. ，阿贝尔（Abel）(18021829) 证明了五次方程不可能有代数解4、方程根与系数的关系韦韦达定理:设设一元二次方程在复数域上的两个根为为,则则 有 一般地:设 在复数域上的n个根为为,则则有 2.高等代数 1832年法国数学家伽罗瓦运用“群”的思想彻 底解决了用根式求解代数方程的可能性,由此 代数转
4、变成为研究代数运算结构的科学.二.线性代数“线性”的含义是指未知量的一次式。 例如: y=ax表示变量y是变量x的一个线性函数， y=ax1+bx2表示变量y是x1，x2的线性关系。 一个线性表示不能包含诸如x2和x1x2的二次项， 这些二次项是非线性的。 线性代数的研究对象: 线性方程组、线性空间和线性变换。 行列式和矩阵的是线性代数的两个重要工具.1、求解线性方程组例1：明代程大为著的算法统宗中记载： 100个和尚分100个馒头。大和尚一人3个，小和 尚3人一个，刚好分完。问大、小和尚各多少人？ 解：设有大和尚x人，小和尚y人，于是有用代入法求得：，代入，解出：例2：中国古代算书张丘建算经
5、记载百鸡问 题：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱， 小鸡三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只 鸡，问：在这一百鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各 有多少只？解：设有公鸡x只，母鸡y只，小鸡z只，则有有（2）3（1）得因为y是整数，可设 代入得：又y0,可知k=1,2,3,由此得或或例3求解下列线性方程组 (1)(2)(3)解: 由(2)-(1)得(3)方程组与下列方程组同解 (4) (5)由(5)2(4):k是任意常数令:解:利用高斯（ Gauss ）消元法求解.将1,2两个方程 互换位置得由第1个方程分别乘-2,-2,-3,后与2,3,4方程相加,得同理:将2,3方程互换位置,得把第3,4两个方程分
6、别 加上第2个方程的-4,-1 倍,得同理;得 从第3个方程回代 利用高斯消元法求解线性方程组解:原方程组 无解.若我们进一步 变换可得: 从以上例题可以看出,线性方程组的解有3种 情况:唯一解、无穷解和无解。 当未知量或方程组的个数增多时,常用高斯消元法求解方程组. 一般地,方程组可表示为:它是线性代数的主要研究对象。例:总收入问题 某地区有1个工厂,生产甲,乙,丙3种产品, xi(i=1,2,3),表示工厂生产这3种产品的数量, ai(i=1,2,3)表示第i种产品的单价,y表示这 3种产品的总收入,则有:若某地区有1,2,3,4个工厂,生产甲,乙,丙3种 产品,xki(k=1,2,3,4
7、;i=1,2,3)是k工厂生产i种 产品的数量,ai(i=1,2,3)表示i种产品的单价, yk表示k工厂的总收入,则有:2、线性代数的数学模型在一个经济系统中,一个企业既是生产者又是消 费者,作为生产者,它有产出,作为消费者它有投 入,企业之间的这种平衡关系可以用一系列的线 性方程组来表示,这就是列昂节夫(诺贝尔经济学 奖获得者)的投入产出数学模型.例全球定位系统GPS要想知道卡车在公路上行驶时的位置可利用 GPS系统.这个系统是由24颗高轨道卫星组成,卡 车从其中3颗卫星接受信号,接受器里的软件利 用线性代数方法来确定卡车的位置.当卡车和一颗卫星联系时,接受器从信号往返 的时间能确定卡车到
8、卫星的距离,例如14000公里, 从卫星来看,知道卡车位于以卫星为球心,半径为 14000公里的球面上的某地.设卡车位置(x,y,z),第 一颗卫星位置(a1,b1,c1)即同理假设第2,3颗卫星的位置分别是(a2,b2,c2) 和(a3,b3,c3)距卡车的距离分别是17000和16000 公里,则有这些关系式不是线性关系式,要求(x,y,z) 由(1)减(2),(3)得:例:动画问题 动画设计中常常用到坐标变换如:平移 旋转等 设平面上的点为(x,y) 平移变换后为则:设平面上的点为(x,y) 旋转变换后为则: (x,y) r1 n阶行列式的定义的主要内容是:一.2阶行列式和3阶行列式的定
9、义(一)2阶行列式的定义(二)3阶行列式的定义二.n阶行列式的定义行列式简介 行列式出现于线性方程组的求解。 它是数学语言上的改革, 它的简化的记法常常是深奥理论的源泉。P.S.Laplace是一种速记表达式. 行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的(1683 年 ) Vandermonde 首次对行列式理论进行系统的阐述 成为行列式理论的奠基人. 用消元法解二元线性方程组一.2阶行列式和3阶行列式的定义(一)2阶行列式的定义方程组的解为由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表定义定义即主对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶行列式的计算若记对于二
10、元线性方程组系数行列式则二元线性方程组的解为注意 分母都为原方程组的系数行列式.例例1 1解(二)三阶行列式的定义解三元一次方程组 由（1）（2）消x3,同理（1）（3）消x3得 由二元一次方程组可知:若系数行列式: 即:那么:三元线性方程组:若系数行列式不等于零,有解:(二)三阶行列式的定义定义定义记记（1）式称为数表所确定的三阶行列式三阶行列式.(1)沙路法三阶行列式的计算.列标 行标(2)(2)对角线法则对角线法则注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号 说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式例例解解按对角线法则，有二.四阶行列式与n阶行列式的定义不适用对角线定义
11、.1 +1三阶行列式的沙路法和对角线法不适用四 阶行列式二.四阶行列式与n阶行列式的定义例: 求x4=?(1)(2)(3) (4)由(2)+(3)得:得:103观察2阶和3阶行列式:=?三阶行列式:+123231312 1322133210个2个2个 偶排列1个1个3个奇排列记:为排列的逆序数总数.规定=行列式的一般项定义.补充说明:行列式的一般项定义中列标可按自 然顺序排列.例如:n阶行列式的一般项定义行列式的 一般项简记 其中aij是行列式的元数.例1 计算对角行列式分析展开式中一般项中的元素积:所以 只能等于 , 同理可得解即行列式中不为零的项为例如3或2阶行列式的按第1行展开式归纳如下
12、:四阶行列式与n阶行列式按行展开式定义.按照这一规律观察2阶:=规定:在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作叫做元素 的代数余子式 例如的余子式和 代数余子式1.余子式与代数余子式的余子式和 代数余子式定义:由n2个数aij(ij=1,2,n)组成的n阶行列 式n阶行列式按第1行展开的定义 是一个算式.当n=1时,定义D=当n2时,定义为 其中:例1=40按第1行的元素展开例:利用行列式的按第1行展开定义证明:证明: 对n作数学归纳法证明.当n=2时,结论成立假设结论对n-1阶下三角形行列式成立,则 D=D=同理可得对角行列式上三角行列式:例如:例3计算n阶行列式(副对角线以上的元素为0)解:=.作业:1.预习 1.2n阶行列式的计算.2.练习: P32. 1-10.3.小组讨论题:P36 补充题 3周内完成
