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1、第三十二讲 一元二次不等式及其解法名师指导练基础回归课本1.一元二次不等式的定义只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式.2.一元二次不等式的解集如下表分式不等式解法的实质是转化,把分式不等式转化为整式不等式来求解,需要注意分式有意义即分母不为零,也可将分式不等式转化为两个不等式的交集,继而求出其解集.4.用一个程序框图来描述一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的求解的算法过程考点陪练1.(2010大连模拟题)不等式x(1-x)0的解集为( )A.x|x0B.x|-11解析:利用数轴标根法可得00,则下列结论一定成立的是( )A.b24acC.b24ac D.不
2、能确定解析:构造二次函数f(x)=ax2+bx+c,a0,抛物线与x轴一定有两个交点,则=b2-4ac0,故选B.答案:B答案:A5.若关于x的不等式x2-ax-a0的解集为(-,+),则实数a的取值范围是_;若关于x的不等式x2-ax-a-3的解集不是空集,则实数a的取值范围是_.解析:由10(a0),ax2+bx+c0).(2)计算相应的判别式.(3)当0时,求出相应的一元二次方程的根.(4)根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集.【典例1】 解下列不等式:(1)2x2+4x+30的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a=0时,b=0,c0;当a0时, 2.不等式ax2+bx+c0的不等式
3、恒成立问题,必须对a=0或a0分类讨论,避免产生漏解.【典例3】 已知不等式mx2-2x+m-20知g(m)在-2,2上为增函数,则由题意只需g(2)0(aR).剖析 本题忽略对判别式的讨论是导致错误的主因.正解 因为=a2-16,(1)当a而不分类,也易在分类时漏掉a=a2的情况;或在讨论a=a2时,误将不等式解集写成x|xR且x0.正解 原不等式即为(x-a)(x-a2)1时,aa2,此时不等式的解为a21时,原不等式的解集为x|a4x+p-3恒成立,求x的取值范围.解题切入点 这是一个有关x的二次不等式恒成立问题,但若以x为主元考虑解题将非常复杂,而变换视角,令p为主元便可构建关于p的一
4、次函数,使问题很容易得解.技法二数轴标根法【典例2】不等式 的解集是( )A.(-,-1)(1,2)(3,+)B.(-1,1)(2,3)C.(-1,1)(1,2)D.(1,2)(2,3)解析原不等式为 等价于:(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)0(0)的值的符号变化,写出不等式的解集.注意:当因式中出现“正项”时用“舍项法”;当因式中出现“偶次方项(x+a)2m”时利用“挖点法(去掉点x=-a)”;当因式中出现“奇次方项(x+b)2m+1”时利用“视一法(看成一次式x+b).”技法三转化与化归思想【典例3】若关于x的不等式 的解集为x|4xm,求实数a、m的值.解题切入点根据式子的特征,可令 将不等式转化成关于t的一元二次不等式.结合一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系,可求得a、m.
