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1、第一节 线性方程组的求解 一、克拉默法则二、线性方程组的消元法三、小结第二章第二章 线性方程组线性方程组1一、克拉默法则下面是行列式在一类特殊的线性方程组中的应用利用n阶行列式求解方程个数与未知量个数都是n， 且系数行列式不为零的线性方程组2定理2.1.1(克拉默法则)如果线性方程组的系数矩阵的行列式,则方程组(2.1.1)有唯一解 (j=1,2,n). (2.1.2) 3其中(j=1,2,n). 若线性方程组(2.1.1)无解或有两个以上不同的解, 则 齐次与非齐次线性方程组的概念常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组推论2.1.14对于n个未知量n个方程的齐
2、次线性方程组(2.1.5) (i=1,2,n)为齐次线性方程组(2.1.5)的解,将其称为 该方程组的零解.齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解. 5若齐次线性方程组(2.1.5)的系数行列式 ，推论 2.1.2则齐次线性方程组(2.1.5)只有零解.推论 2.1.3 若齐次线性方程组(2.1.5)有非零解,则其系数行列式 .6例1 解线性方程组 解 因该方程组的系数行列式为 由推论2.1.2, 该方程组仅有零解 7例2 解方程组解 方程组的系数行列式为依克拉默法则知，该方程组的唯一解为又8例3 设齐次线性方程组有非零解, 试求常数的值.有非零解, 试求常数的值.有非零解, 试求常数k的
3、值. 解 由定理2.1.2知该方程组系数行列式必为零, 即k=3方程组有非零解. 9二、线性方程组的消元解法 解方程组，就是要通过一系列能使方程组保持同解的变换，把原方程组化为容易看出是不是有解并在有解时容易求出解的线性方程组 什么样的变换能使变换前后的方程组满足同解 要求? 同解变换能把方程组化为什么样的简单形式?10例4解线性方程组解解 首先消去第二，三两个方程中含 x1 的项. 为此，将第 一个方程的 -2 倍加到第二个方程，第一个方程的 -1 倍加到第三个方程，得到同解方程组11然后将第二个方程的 - 4 倍加到第三个方程，交换后两个方程,再将第三个方程等号两边同乘以 1/3，得到最后
4、求得方程组的解为x3 = - 6, x2 = - 1, x1 = 912在例4的解题过程中使用了如下的三种变换用一个非零数乘以某个方程将一个方程的 k 倍加到另一个方程上交换两个方程的位置 上述三种变换称为线性方程组的初等变换13用消元法解方程组实质上是对方程组的系数和常数项进行运算，因此为了简化运算过程的表达形式，可以只把线性方程组的系数按顺序写成一个矩 形的数表，方程组（2.1.6）的系数可写成14对方程组作初等变换就相当于对增广矩阵作如下 的行变换用一个非零数乘以某一行 将一行的 k 倍加到另一行上 交换两行的位置系数矩阵增广矩阵 以上三种变换称为矩阵的行初等变换15例4的消元求解过程可
5、以用增广矩阵的行初等变换来表示为求得解为 其中B为行阶梯形矩阵，C为行最简形矩阵x3 = - 6, x2 = - 1, x1 = 916例5 解线性方程组解 对增广矩阵作行初等变换, 将其化为行最简形矩阵 17原方程组同解的线性方程组为 即 18线性方程组的解写成下面的形式 其中k1,k2,k3为任意常数 上述解的表达式通常称为原线性方程组的通解 19例6 求解线性方程组解 对方程组的增广矩阵作行初等变换 上式中最后一个矩阵的第三行所表示的方程是一个 矛盾方程 故原方程组无解 20 非齐次线性方程组解的判别定理设设线性方程组(2.1.6)的系数矩阵A的秩为r ,AX=的 增广矩阵通过行初等变换
6、一定可以化为(2.1.11)21对应（2.1.11）的方程组 CX= 为方程组CX=与原方程组(2.1.6)AX=是同解方程组只讨论同解方程组CX=解的情况 22方程组 CX=在有解的情况下(1)当 r=n 时，方程组有唯一解 (2) x1=d1, x2=d2,xn=dn(2)当 rn 时,方程组有无穷多个解. 把每行第一个非零元所对应的未知量作为基本未知量.其余作 为自由未知量 方程组AX=有解(即CX=有解)的充要条件是 dr+1=023解得其中 为任意常数 24n元线性方程组 有解的充分必要条件是 定理2.1.3设当 r=n 时，原方程组有唯一解 当 rn 原方程组有无穷多解 下面通过例
7、子说明这个定理的应用25例7 t为何值时,下列方程组无解;有唯一解; 有无穷多解？并在方程组有解时求出解解对方程组的增广矩阵作行初等变换26(1)当t=-3时27当t=-3时，原方程组有无穷多解，同解方程组为令自由未知量 x3 = k 得原方程组的解为 其中k为任意常数28(2)t=1时原方程组无解(3) t -3 且 t 1时原方程组有唯一解29 齐次线性方程组的解求解方法与非齐次线性方程组相同 (2.1.13)定理 2.1.4设n元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵 A的秩为r,那么(1)当r=n时,方程组AX=0仅有零解 (2)当rn时,方程组AX=0有无穷多解30推论2.1.13若齐次线
8、性方程组中,方程的个数m小于未知量个数n，则必有无穷多解定理2.1.5设A为n阶矩阵,则n元齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是其系数行列式|A|=031试确定常数k的值, 使3元齐次线性方程组 例8有非零解, 并求出它的所有非零解 对方程组的系数矩阵作行初等变换, 将其化为 行阶梯形矩阵 解法一32当b= -3时，R(A)=23原方程组有非零解33当b= -3时与原方程组同解的线性方程组为 因此，原方程组的所有非零解为 其中k为任意常数 34该题的方程个数与未知量个数相同可应用定理2.1.5当b= -3时,方程组有非零解 再就b= -3 求出方程组的解解法二35 克拉默法则只能求解特殊线性方程组 s 方程个数=未知量个数 s 系数行列式不为零 消元法 s 对增广矩阵作行初等变换 s 将其化为阶梯形矩阵 s 然后判断是否有解并在有解时求出解三、小结36
