随机过程的基本概念以统计特性

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1、随机信号分析教学组第第1 1 章章随机过程 随机信号分析教学组2主要内容： v随机过程的基本概念及其统计特性 v连续时间随机过程的微分和积分 v随机过程的平稳性和遍历性 v联合平稳随机过程v正态随机过程 v马尔可夫链 随机信号分析教学组3随机变量 与时间无关 随机过程 与时间相关 随机信号分析教学组41.1 随机过程的基本概念及统计特性 自然界事物的变化分为两大类：确定性过程和随机过程。确定性过程：1）每次试验得到的观测过程都相同。2）具有确定形式的变化过程，或可用一个时间t的确定函数表示。 随机过程：1）每次试验得到的观测过程都不同。2）没有确定的变化形式或不能用一个时间t的确定函数表示。正

2、弦信号示波器的噪声电压随机信号分析教学组5一 定义 1.接收机噪声电压观测方式：对相同接收机同时观测从试验可知，每次得到的结果不同，且变化的规律 不能用一个确定的函数来描述噪声电压的起伏波形 随机信号分析教学组62、观察具有随机振幅 或随机相位 的电压波形若A和 为常数， 是（0，2）的随机取值的随机变 量，电压波形为随机相位信号 随机信号分析教学组7若 和 为常数， 是随机取值的随机变量，电压 波形为随机振幅信号 随机信号分析教学组8样本函数： ， ， ， ，都是 时间的函数，称为样本函数。 随机性：一次试验，随机过程必取一个样 本函数，但所取的样本函数带有随机性。因此，随机过程不仅是时间t

3、 的函数，还是可能结果的函数，记为 ，简写成 。 随机信号分析教学组9=3 、随机过程的定义定义1：设随机试验E的样本空间为S=，对其每一个元素都以某种法则确定一个样本函数 ，由全部元素所确定的一族样本函数 称为随机过程，简记为 。 随机信号分析教学组10定义2 ：设有一个过程X(t) ，若对于每一个固定的时刻， 是一个随机变量，则X(t)称为随机过程。 随机信号分析教学组11随机过程的一般表征随机过程样本函数集合为了简便起见，随机过程常省略代表试验结果的参量。随机过程常用大写字母 表示，样 本函数常用小写字母 表示，k表示第k个样本函数。样本变量集合随机过程 随机信号分析教学组12上面两种随

4、机过程的定义，从两个角度描述了 随机过程。具体的说：作观测时，常用定义1，这样通过观测的试验 样本来得到随机过程的统计特性；对随机过程作理论分析时，常用定义2，这样 可以把随机过程看成为n维随机变量， n越大采样 时间越小，所得到的统计特性越准确。 随机信号分析教学组13随机过程 四种不同情况下的理解： 一个随机过程 一个确知的时间函数一个随机变量一个确定值1 和 都是变量2 是变量而 固定3 固定而 是变量 4 和 都固定 随机信号分析教学组14二 随机过程的分类 1 按随机过程的时间和状态来分类 连续型随机过程：对随机过程任一时刻 的 取值 都是连续型随机变量。 离散型随机过程：对随机过程

5、任一时刻 的 取值 都是离散型随机变量。 随机信号分析教学组15离散随机序列：随机过程的时间t只能取 某些时刻，如 ， 2 ，.，n ，且这 时得到的随机变量 是离散型随机变 量，即时间和状态是离散的。相当于采样后 再量化。 连续随机序列：随机过程的时间t只能取 某些时刻，如 ， 2 ，.，n ，且这 时得到的随机变量 是连续型随机变 量，即时间是离散的。相当于对连续型随机 过程的采样。随机信号分析教学组16状态时刻 连续型随机过程连续连续 连续随机序列连续离散 离散型随机过程离散连续 离散随机序列离散离散随机过程按时间和状态的分类随机信号分析教学组172 按样本函数的形式来分类 不确定的随机

6、过程：随机过程的任意样本 函数的值不能被预测。例如接收机噪声电压 波形。 确定的随机过程：随机过程的任意样本函 数的值能被预测。例如，样本函数为正弦信 号。 随机信号分析教学组183 按概率分布的特性来分类高斯随机过程 瑞利随机过程 对数正态随机过程 马尔可夫随机过程4 按统计特性来分类平稳随机过程 非平稳随机过程5 按随机过程在频域的带宽分类宽带随机过程 窄带随机过程 白噪声 有色噪声随机信号分析教学组19三 随机过程的概率分布 随机过程是一族时间函数，在一次具体试验中、 函数族中哪一个函数（样本）出现时是服从某种概率 分布的，因而对随机信号不能采用通常的对确定性信 号的表述方法，而必须用概

7、率统计，即统计特性的描 述方法。1、概率密度函数或概率分布函数的描述方法是全面 、完整的描述方法。 2、数字特征（期望、方差、相关函数）的描述方法是的宏观、概括的描述方法。统计特性的描述方法分为两个大类：随机信号分析教学组20当仪器记录随机过程X(t)的变化过程时候，一般不可能 也没有必要连续的记录全部过程，而只要记下X(t)在确定时 刻t1, t2, , tn上的量。由随机过程的定义可知，在确定t值上，随机过程变为随 机变量，仪器记录的结果是n维随机变量X(t1),X(t2),X(tn)， 如果说记录时间间隔t= ti-ti-1相当小(n足够大)时，多维随 机变量 X(t1), X(t2)

8、, X(tn) 可以足够完整表示出随机过程 X(t)。在一定近似程度上，可以通过研究多维随机变量来代替 对随机过程的研究，且n取值越大，代替的越精确。当n 时，随机过程的概念可以作为多维随机变量的概念在维数无 穷大情况的自然推广。随机信号分析教学组21一维概率分布函数 随机过程X(t)在任意ti T的取值X(t1)是一维随机变量 。概率PX(t1)x1是取值x1，时刻t1的函数，记为 Fx(x1;t1) =PX(t1)x1，称作随机过程X(t)的一维分布函 数。 随机变量： 随机过程：若 的偏导数存在，连续随机过程概率密度函 数为一维概率密度函数 一维概率分布和概率密度只描述了任意一个时刻的统

9、计 特征，仅仅描述了各个孤立点时刻统计特性，不能反映 随机过程在不同时刻状态之间的联系。随机过程统计特性：概率分布函数概率密度函数随机信号分析教学组22二维概率分布函数 FX(x1,x2;t1,t2)=PX(t1)x1, X(t2)x2为了描述在任意两个时刻t1和t2的状态间的内在联系, 可以引入二维随机变量X(t1),X(t2)的分布函数FX(x1,x2； t1,t2)，它是二随机事件X(t1)x1和X(t2)x2同时出现 的概率，即称为随机过程X(t)的二维分布函数。若FX(x1,x2;t1,t2)对x1，x2的二阶混合偏导存在，即 为随机过程X(t)的二维概率密度。 二维概率密度函数注意

10、：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。二维分布比一维分布包含可更多的信息，但仍不能完整的反应出随机过程的全部统计特性。随机信号分析教学组23n 维概率分布函数和概率密度函数随机过程 在任意n个时刻 的取值构成n维随机变量 即为n维空间的随机矢量X。类似的，可以定义随 机过程 的n维分布函数和n维概率密度函数为显然，n越大随机过程的n维分布律描述的特性 也越趋完善，理论上说，可以无限增加n ，使 n 维 分布律更加全面地反应X(t)的统计特性，但实际上， n 越大分析处理会变得越复杂。随机信号分析教学组24性质： 若 统计独立，则有 随机信号分析教学组25四 随机过程的数字特征随机

11、变量的数字特征（期望、方差、相关系数） 通常是确定值。随机过程的数字特征（期望、方差、相关函数）通常是确定性函数。 随机过程的数字特征的计算方法:先把时间t固定，然后用随机变量的分析方法 来计算。 随机信号分析教学组261 数学期望（均值函数 ） 显然， 是某一个平均函数，随机过 程的诸样本在它的附近起伏变化，如图所示 ： 随机过程的均值是时间t的函 数，称为均值函数。 物理意义：如果随机过程表示 接收机的输出电压，那么它的 数学期望就是输出电压的瞬时 统计平均值。 随机信号分析教学组27统计均值是对随机过程中所有样本函数在时间t的所 有取值进行概率加权平均，所以又称为集合平均。它反 映了样本

12、函数统计意义下的平均变化规律，是所有样本 函数在各个时刻摆动的中心。随机信号分析教学组282 均方值和方差 随机过程 在任一时刻t的取值是一个随 机变量 。我们把 二阶原点矩称为随机过 程的均方值，把二阶中心矩记作随机过程的方差 。即： 且方差、均方值都是时间t的函数，描述了随 机过程诸样本函数围绕数学期望的分散程度。随机信号分析教学组29物理意义：如果 表示噪声电压，则均方值 表示消耗在单位电阻上的瞬 时功率统计平均值。方差 表示消耗在单位电阻上的瞬时交 流功率统计平均值。 标准差： 实际应用中，标准差用它作为描述随机过 程散布程度的指标。随机信号分析教学组30方差-单位电阻上的电压-消耗在

13、单位电阻上的瞬时功率-消耗在单位电阻上的瞬时交流功率-消耗在单位电阻上的瞬交流功率的统计平均值消耗在单位电 阻上的总的平 均功率平均交流 功率平均直流 功率随机信号分析教学组313 自相关函数 数学期望和方差是描述随机过程在各个孤立点 时刻的重要数字特征。它们反应不出来整个随机过 程不同时间的内在联系。 比较具有相同数学期望和方差的两个随机过程。 随机信号分析教学组32自相关函数用来描述 随机过程任意两个时刻状 态之间的内在联系，通常 用 描述。 描述了整个随机过程任 意两个不同时刻的内在关 系：线性相关性若 则随机信号分析教学组33自相关函数的物理意义自相关函数可正可负，其绝对值越大，表示相

14、关性越 强。一般说来，时间相隔越远，相关性越弱，自相关函数的绝对值也越弱，当两个时刻重合时，其相关性 应是最强的，所以 最大。反映不同随机过程的波形变化随机信号分析教学组344 自协方差函数 若用随机过程的两个不同时刻之间的二阶 混合中心矩来定义相关函数，我们称之为自协 方差函数，简称协方差函数。用 表 示，它反映了任意两个时刻的起伏值之间相关 程度。 中 心 化 自 相 关 函 数随机信号分析教学组35自协方差和自相关函数的关系 自协方差和方差的关系 令则自相关系数 随机信号分析教学组36随机过程的不相关和独立以及正交的关系：如果 , 则称 和 是不相关的。如果 , 则称 和 是正交的。如果 则称随机 过程在 和 时刻的状态是相互独立的。正交独立不相关充分条件正态随机过程随机信号分析教学组37例：求随机相位正弦波 的数字期 望，方差及自相关函数。式中， 为常数，是 区间0， 上均匀分布的随机变量。 解：由题可知： 数学期望随机信号分析教学组38方差随机信号分析教学组39自相关函