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1、蠢I l 中 小 学 数学 观 点 与 争 鸣 2 0 14 Jg 7 - 8 月 下 旬 ( 高 中 ) 一 、引言 高中教科书对数列求和公式的推导， 采用了错位 相减的方法 但错位相减法对求和公式的推导技巧性 较强， 进行错位相减运算需要适当的变形， 并且计算 量较大， 所以学生在用错位相减法对数列求和时容易 出错 本文基于对“自相似法”的认识， 对 比“自相似” 法与错位相减法， 以供参考 二、 求和公式的推导及应用 1 等比数列求和公式的推导 ( 1 )设数列 a 为等比数列， 首项为 a ， 公比为 g ， 求其前 n 项和s 解法： 错位相减法 S n = al+ a 2+ a 3
2、+ a 4 + +a ， 上式也可写成 S ：a 1 + a l g +a I q +a I q + + a I q + 。 l q + 0 ， 两边同时乘以公比q ， 得 q S ：0+a l q +a I q + a I q +a l q + +a 1 g +a I q 则 一 ， 得 s 一 q S =a 1 一a l q ， r l l, a 1 ( “-3 q=1时) ， 则 s n i c 对 匕 解法 ： 自相似法 S n = a 1+ a 2 +a 3+a 4+ + a n ， 根据等比数列的通项公式， 上式可以写S =a 。 + al q。 + aI q + aI q 。+
3、+ al q +a l q ， S = l+q ( a l+a l q +a l q + +a 1 g 一 + a l g Jl ) ， ( S 与S 是 自相似的， 故称自相似法解法) 因此就有 S =a l g S ， 而 S =S a ， -1 22 - 故 S = a + q ( S 一 a ) ， 得 到 S = r i l ,a 1 ( “-3 q=1时) ， l I c 当 例 1 ( 2 0 1 0北京文 l 6 )已知 a 为等差数列 ， 且 a 3=一6， a 6= 0 (I) 求 a 的通项公式； () 若等比数列 b 满足b 。=一8 ， b ：=a +a ： +。 ，
4、 求 b 的前 项和公式 解 ： (I)a =2 n一1 2 ； ( ) b 1=一8 ， b 2=一2 4， b =一8 3 ( n 1 ) 错位相减法： 设前 n项和为 s ， S =一 8 3 。 +( 一 8 ) 3 + +( 一 8 ) 3 ， 将 式两边 同时乘以3 ， 则得 3 S =一8 3 + ( 一8 ) 3 + +( 一8 ) 3 +( 一8 ) 3 ， 式减 式得 一2 S =一8 3 。一( 一8 ) 3 则 S = 4 4 3 对比解法： “ 自相似法” S =一8 3 。+( 一8 ) 3 + +( 一8 ) 3 一 s ：一 8 3 。 + 3 ( 一8 ) 3
5、 。 + +( 一 8 ) 3 一 j S = 一8 3 。+3 5 一I j S 一3 S 一1 = 一8 所以S =44 3 2 等差数列与等比数列之积的前 n 项和的推导 ( 2 ) 设数列 a 为等差数列， 首项为 a ， ， 公差为 d ， 数列 b 为等比数列， 首项为 b ， 公比为q ( q1 ) ， c =a n b ， 求数列 c 的前 n项和 5 解法： 错位相减法 2 0 1 4 7 - 8 月下 旬( 高中 )观点与争鸣 S = a 1 b 1+a 2 b 2 +a 3 b 3 +a 4 b 4 + +a nb 根据等差数列和等比数列的通项公式可得 S = a l b
6、 l+( a 1 +d ) b l g+( a l +2 d ) b l q + + a 1+( n一 1 ) d b l q +0 用公比 g 乘以 式的两边 ， 得 q S =0+a I b q+ ( a l+d ) b l q +( a l+2 d ) b l g + + a l+( n一 1 ) d b l 一 得 s 一 q S =a l b l +d b l g + d b 1 g + + d b l q 一 一 a l +( n一1 ) d b l q ， 化简得 s 一q S =0 l b l +d b 1 ( q+g + +g I 1 ) 一 a +( n一1 ) d b 。
7、 g ， 式两边同时乘以公比g ， g s 一g S =a I b l g+d b 1 ( g +g + +矿)一 a 1 +( n一1 ) d b l g ” ， 一 得： ( 1一 g ) S =a I b ( 1一 q )+如。 ( g g )一 a 1 +( n一1 ) d b l g + a l +( n一1 ) d b l 矿“， =d b l + 对比解法： 自相似法 S = a I b l+a 2 b 2+a 3 6 3+a 4 b 4+ +a b 根据等差数列和等比数列的通项公式可得 S =a l 6 l +( a l+d ) b l g+( a 1 +2 d ) b l g
8、 + + a +( n一1 ) d b l q 一 ， 贝 0 S =a I b l +g ( a 1 +d ) b l +( a l + 2 d ) b l g + + a 1+( n一1 ) d b l q 一 ， 进而可 以得 到 S =a 1 b 1+g a 1 b l +( a l+d ) b l g + + a 1 + ( n一2 ) d b l q 一 q d ( b 1+b l q 。+ +b l g 一 ) 也 即 S =a 1 b 1+g Js 1+q d ( 6 1+b l g + + b l 矿 ) 令 Q =b l +b l g +b i q + +b l g ， 再
9、次运用 自相似的方法 Q 一 l=b l +b 1 ( g +g + +口 ) ， 即可得 Q =b 。 +g Q ， 进而可得 Q =b 1+ q ( Q 一 lb 一 。 ) = Q 一 l= b lb l b 一 1 1一 g 代入 可得 S = 。 6 + ( s 一 。 6 ) + q d 皇 L ， 即 可 得s = 1 q 一 。r f 例 2 ( 2 0 1 2江西 一b l 6 一1 中 小学 数学 蠢 1一g ) )已知数列 a 的前 n项和 S ：一 n + ( 其 中 N ) ， H _ s 的 最 大 值 为 8 (I)确定常数 k ， 并求 a ； ( II ) 求
10、 数 列 的 前 n 项 和 解 ： ( I ) = 4 ，。 = 号一 n ； (I I ) 错位相减法： ： n测 = 专 + + + + ， 将 式两边同时乘以 得 = + + + + 簪 + + ， 式减 式得 = + + + + 一 ， 1 1 一 =4 一 尝 对比解法： 自相似法 = + + + + + ， = + 一 + (+ + + ) ， = + 2 一 ， ： 4 一 等 ， 类似的还有， ( 2 0 1 0四川)已知等差数列 。 的 前三项和为 6 ， 前八项和为 一4 (I)求数列 a 的通项公式； () 设b =( 4一a n ) g ( q0 ， nN ) ， 求
11、数 列 b 的前 n项和 S -1 ， I f 中 小学 数学 观 点 与 争 鸣 2 0 1 4 7 - 8 月 下 旬 ( 高 中 ) 读者可以用错位相减的方法和 自相似的方法 自 己做一下尝试， 体会两种方法之间的差异， 感受 自相 似方法的精妙之处 3 高阶等差数列与等比数列之积的和的求导 ( 3 ) 设数列 a 为k 阶等差数列， 首项分别为a ， ， 口 1 ， A a l ， A。 a 一 ，A a l ， 公差为 d ， 数列 b 为等比 数列 ， 首项为 b 。 ， 公比为 g ( q1 ) ， c =a n b ， 求数列 c 的前 n 项和s 分析 ： 高中对数列求通项公
12、式时， 有时会求得高 阶等差数列的通项公式 ， 所以此处考虑高阶等差数列 与等比数列之积的前 项和 本文仅以二阶等差数列 与等比数列之积的前n项和为例， 对于k ( k2 )阶等 差数列与等比数列的积的前 n项和， 只需反复使用 自 相似法即可较为简便的求得 解法： 错位相减法 已知 阶等差数列的通项公式是 a =c ： 一 。 a + c 一l o 1 +c ： 一 l n 1 + +c ： 一 l o 1 ， 二阶等差数列与等比数列之积的前 项和 S = l b l+ a 2 b 2+ a 3 b 3+ a 4 b 4+ + anb ， 根据二阶等差数列与等比 数列的通项公式有 S = 口
13、 l b l+ ( a l+ 0 1 ) b l q+ + ( C o 一 l a l+ c 一l 0 1 + +c 一 1 口 I ) b l q _ 。 ， 将上式等号两边同时乘以公 比q得： q S =a 1 b l q+( a l+ 口 1 ) b l q + +( c o I a l+ c 一l l +c ： 一 l A 口 1 ) 6 l q ， 一 得 ( 1 一 q ) S =a I b 1 + A a l b 1 q+ +( c ： 一 2 8 l + c 一2 n 1 ) b i q 一 ( c ： 一 1 a 1+ c 一 l 口 l + c 一l a 1 ) b l q ， 将 式两边同时乘以q 得 q ( 1一q ) S =a I b l q+ A a 1 b 1 q + +( c o 一 2 a 1 + c 一2 。 1 ) 6 1 q 一 ( C oI a 1 + c 一 1 0 l + c ： 一 1 0 1 ) b l q ， 一 得 ( 1一口 ) S =a l b la I b l q+ 口 l v 】b q + + 8 1 b l q + ( q 一 1 ) ( c ： 一 l 0 1 + c 一 i Z i a 1 ) + c ： 一 。 ， 6 ， q 叶 一( c ： 一 2 口 +c 一 2 口 ) b l q
