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1、北师大版高中数学选修 2_3 导学案22 超几何分布超几何分布自主整理自主整理一般地，设有 N 件产品，其中有 M(MN)件次品.从中任取 n(nN)件产品，用 X 表示 取出的 n 件产品中次品的个数，那么 P(X=k)=_(其中 k 为非负整数).如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称 X 服从参数为_的超几何 分布. 高手笔记高手笔记 1.超几何分布，实质上就是有总数为 N 件的两类物品，其中一类有 M(MN)件，从所有物 品中任取 n 件，这 n 件中所含这类物品的件数 X 是一个离散型随机变量，它取值为 k 时的概率为 P(X=k)=n Nkn MNk m CCC (kl，l 是
2、n 和 M 中较小的一个).2.在超几何分布中，只要知道 N、M 和 n，就可以根据公式求出 X 取不同值时的概率 P， 从而列出 X 的分布列. 名师解惑名师解惑 1.如何判断随机变量 X 是否服从超几何分布？ 剖析：剖析：判断超几何分布时必须满足以下两条： (1)总数为 N 件的物品只分为两类：M(MN)件甲类(或次品)，其余的 N-M 件为乙类(或正品).(2)随机变量 X 表示从 N 件物品中任取 n(nN)件物品，其中所含甲类物品的件数. 2.当随机变量 X 服从参数为 N、M、n(MN，nN)的超几何分布时，X 的所有可能取值有哪 些？ 剖析：剖析：当 N-Mn 时，X 的所有可能
3、取值为：0,1,2，l(l 为 M 与 n 中较小的一个)，例 如(1)从 10 件产品(含有 4 件次品)中取 3 件，其中含有的次品数 X 的所有可能取值为 0，1,2，3. (2)从 10 件产品(含有 2 件次品)中取 3 件，其中含有的次品数 X 的所有可能取值为 0，1,2. 当 N-M1”的概率.解：解：(1)X 可能取的值为 0，1,2，3，P(X=k)=3 83 53 CCCkk，k=0,1，2,3.所以 X 的分布列为：X0123P5610 5630 5615 561(2)由(1)， “所选 3 人中女生人数 X1”的概率为P(X1)=P(X=2)+P(X=3)=72 56
4、1 5615.【例 2】在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有 10 个红球和 20 个 白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出 5 个球，至少摸到 3 个红球就中奖，求中 奖的概率. 分析：分析：由题意知，摸到红球个数 X 为离散型随机变量，且 X 服从参数为 N=30，M=10，n=5 的超几何分布. 解：解：X 服从超几何分布，且 X 的可能取值为 0，1,2，3,4，5，则至少摸到 3 个红球的概 率为：P(X3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=5 300 205 10 5 301 204 10 5 302 203 103 CCC CCC CC0.191
5、 2.故中奖的概率约为 0.191 2. 绿色通道绿色通道: :由超几何分布的概念、公式以及上述两例我们知道：第一，当研究的事物涉及二 维离散型随机变量(比如：次品、两类颜色等问题)时的概率分布可视为一个超几何分布； 第二，在超几何分布中，只要知道参数 N、M、n 就可以根据公式求出 X 取不同值时的概率， 进而列出 X 的分布列. 变式训练变式训练 2.从一批有 13 个正品和 2 个次品的产品中任意取 3 个，求抽得次品数 X 的分布列，并求P(21X25).分析：分析：先弄清楚随机变量 X 的取值，符合超几何分布，运用超几何分布的概率计算. 解：解：X 的可能取值为 0，1,2.北师大版
6、高中数学选修 2_3 导学案P(X=0)=35223 153 13CC，P(X=1)=35123 152 131 2CCC，P(X=2)=.3513 151 132 2CCC所以 X 的分布列为：X012P3522 3513 351P(21X25)=P(X=1)+P(X=2)=3513.【例 3】某商场庆“五一”举行促销活动，活动期间凡在商场购物满 88 元的顾客，凭发票 都有一次摸奖机会，摸奖规则如下：准备了 10 个相同的球，其中有 5 个球上印有“奖”字， 另外 5 个球上无任何标志，摸奖前在盒子里摇匀，然后由摸奖者随机地从中摸出 5 个球， 奖品按摸出的球中含有带“奖”字球个数规定如下
7、表：摸出的 5 个球中带“奖”字球的个数奖品0无1无2肥皂一块3洗衣粉一袋4雨伞一把5自行车一辆(1)若某人凭发票摸奖一次，求中奖的概率； (2)若某人凭发票摸奖一次，求奖品为自行车的概率. 分析：分析：可以将 10 个球看作 10 件“产品” ，5 个印有“奖”字的球可以看作 5 件“次品” ， 任意取 5 个球中印有“奖”字的球数可以看作是任取 5 件“产品”中所含“次品”数. 解：解：(1)设 X 为摸取 5 个球中印有“奖”字的球的个数，则 X 服从参数为 N=10，M=5，n=5 的超几何分布. X 的可能取值为 0，1,2，3,4，5，则 X 的分布列为：P(X=k)=5 105
8、55 CCCkk (k=0,1，2,3，4,5)，若要获得奖品，只需 X2，则P(X2)=1-P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-.1261135 104 51 5 5 105 50 5CCC CCC(2)若要获得自行车，必须 X=5，则P(X=5)=25215 100 55 5CCC.绿色通道绿色通道: :由上面的计算可以看出，顾客获得奖品的概率为1261130.896 8，希望很大.但北师大版高中数学选修 2_3 导学案获得自行车的概率为25210.004 0，希望不大.变式训练变式训练 3已知某社区的 10 位选民代表中有 5 位支持候选人 A，现随机采访他们中间的 4 位，
9、求 其中至少有 2 名支持候选人 A 的概率.解：解：P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-.42314 103 51 5 4 104 50 5CCC CCC教材链接教材链接 P40思考交流下列随机变量 X 是否服从超几何分布，如果服从，那么各分布的参数分别 是多少？ (1)一个班级共有 45 名同学，其中女生 20 人，现从中任选 7 人，其中女生的人数为 X； (2)从一副扑克牌(去掉大、小王，共 52 张)中取出 n 张牌，取出的黑桃的张数为 X. 答：(1)X 服从参数为 N=45，M=20，n=7 的超几何分布. (2)X 服从参数为 N=52，M=13，n(n52)的超几何分布.
