高中数学第二章概率3条件概率与独立事件导学案北师大版选修2-3

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1、北师大版高中数学选修 2_3 导学案33 条件概率与独立事件条件概率与独立事件自主整理自主整理 1.已知_的条件下 A 发生的概率，称为 B 发生时 A 发生的条件概率，记 为 P(A|B)，当 P(B)0 时，我们有 P(A|B)=_(其中，AB 也可以记成 AB). 类似地，当 P(A)0 时，A 发生时 B 发生的条件概率 P(B|A)=_. 2.一般地，对两个事件 A，B，如果 P(AB)=_，则称 A，B 相互独立.可以 证明，如果 A，B 相互独立，则 A 与 B，A 与 B，A 与 B 也相互独立.如果 A1，A2，An相 互独立，则有 P(A1A2An)= _. 高手笔记高手笔

2、记 1.P(B|A)是指在事件 A 发生的前提下事件 B 发生的概率； P(B)是指事件 B 发生的概率. 例如：3 张奖券中只有 1 张能中奖，现分别由 3 名同学无放回地抽取.用 B 表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件，则 P(B)=31.若已经知道第 1 名同学没有抽到奖券(设该事件为 A)，则这时最后一名同学抽到中奖奖券的概率 P(B|A)=21.故 P(B|A)P(B)，特别地，当 P(B|A)=P(B)时，可以断定 A、B 两个事件一定相互独立. 2.P(AB)表示在基本事件空间 中，计算 AB 发生的概率，而 P(B|A)表示在缩小的基本事 件空间 a中，计算 B 发生的概率，用

3、古典概型公式则有：P(B|A)=,中基本事件数中基本事件数AAB P(AB)=.中基本事件数中基本事件数 ABa中基本事件数 中基本事件数，故有 P(B|A)P(AB). 3.条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在 0 和 1 之间，即 0P(B|A)1； 如果 B 和 C 是两个互斥事件，则P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A). 名师解惑名师解惑 1.条件概率的求解策略是什么？ 剖析：剖析：求条件概率一般有两种方法，一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)=)()( AnABn，其中 n(AB)表示事件 AB 包含的基本事件个数，n(A)表示事件

4、 A 包含的基本事件个数.二是直接根据定义计算，P(B|A)=)()( APABP，特别要注意 P(AB)的求法.2.常见事件的关键词与概率间的关系. 剖析：剖析：北师大版高中数学选修 2_3 导学案关 键 词 表 述事件符号概率A、B 互斥A、B 相互独立A、 B 中 至 少 有 一 个 发 生ABP(AB)P(A)+P(B)1-P(A)P(B)A、 B 同 时 都 发 生ABP(AB)0P(A)P(B)A、 B 都 不 发 生ABP(AB)1-P(A)+P(B)P(A)P(B)A、 B 中 恰 有 一 个 发 生ABBAP(ABBA)P(A)+P(B)P(A)P(B)+P(A)P(B)A、

5、 B 至 多 有 一 个 发 生ABABA BP(ABABA B)11-P(A)P(B)3.相互独立事件与互斥事件的区别与联系 剖析：剖析：(1)事件的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两个事件互斥是指两个事件 不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生对另一个事件是否发生没有影响.北师大版高中数学选修 2_3 导学案(2)事件的独立性是对两个任意事件而言，而事件的对立是对一个试验中的两个事件而言. (3)独立事件不是对立事件，一般情况下必定不是互斥事件；对立事件是互斥事件，不能是 独立事件；互斥事件一般不是对立事件，一定不是独立事件. (4)在实际应用中，事件的独立性常常不是根据

6、定义判断，而是根据实际问题(意义)来加以 判断，如一部仪器上工作的两个元器件，它们各自的工作状况是互相独立的；两个人同时 射击一个目标，各自命中状况也是互相独立的. 讲练互动讲练互动 【例 1】在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题，如果不放回地依次抽取 2 道题，求： (1)第 1 次抽到理科题的概率； (2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率； (3)在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率. 分析：分析：(1)(2)属于古典概型，(3)利用条件概率公式 P(B|A)=)()( )()( AnABn APABP求解.解：解：设第 1 次抽到理科题为事件 A，

7、第 2 次抽到理科题为事件 B，则第 1 次和第 2 次都抽到 理科题为事件 AB.(1)从 5 道题中不放回地依次抽取 2 道题的事件数为 n()=2 5A=20.根据分步乘法计数原理，n(A)=1 3AA14=12，于是P(A)=53 2012 )()(nAn.(2)因为 n(AB)=A2 3=6，所以P(AB)=.103 206 )()(nABn(3)方法 1：由(1)(2)可得，在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率为P(B|A)=2153103)()(APABP.方法 2：因为 n(AB)=6，n(A)=12，所以 P(B|A)=21 126 )()(AnABn.

8、绿色通道绿色通道: :利用条件概率公式求解时，求事件 AB 的概率(或其基本事件个数)是解决问题的 关键. 变式训练变式训练 1掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出 6 点，问“掷出的点数之和大于等于 10”的 概率是多少？ 解：解：设“第一颗骰子掷出 6 点”为事件 A， “掷出的点数之和大于等于 10”为事件 B.北师大版高中数学选修 2_3 导学案则 P(B|A)=2161363)()(APABP.【例 2】一只盒子装有 4 只产品，其中 3 只一等品，1 只二等品，从中取产品两次，每次任 取一只，作不放回抽样.设事件 A 为“第一次取到的是一等品” ，事件 B 为“第二次取到的 是二等

9、品” ，试求条件概率 P(B|A). 分析：分析：本题属古典概型条件概率问题，可用公式 P(B|A)=)()( AnABn来解决.解：解： 将产品编号，1,2，3 为一等品，4 号为二等品，以(i，j)表示第一次，第二次分别取到第 i 号，第 j 号产品，则试验的基本事件空间为=(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3). 事件 A 有 9 个基本事件，AB 有 6 个基本事件.所以 P(B|A)= )()( AnABn=32 96.绿色通道绿色通道: :本题的解法是求条件概率的常用方法，当基本事件空间容易列出时，可

10、考虑此法.变式训练变式训练 2盒中有 5 个红球，11 个蓝球，红球中有 2 个玻璃球，3 个木质球；蓝球中有 4 个玻璃球， 7 个木质球，现从中任取一球，假设每个球摸到的可能性都相同，若已知取到的球是玻璃 球，问它是蓝球的概率是多少？ 解：解：记 A=取得蓝球，B=取得玻璃球，根据题意引出图表如下：玻璃木质总计红235 蓝4711 总计61016 已知取到的球是玻璃球，求它是蓝球的概率，这就是求 B 发生的条件下 A 发生的概率，记作 P(A|B)，由上表可知，n(B)=6，n(AB)=4，P(A|B)=64=32.【例 3】从混有 5 张假钞的 20 张百元钞票中任意抽取 2 张，将它们

11、放在验钞机上检验，结 果提示其中有假钞，求 2 张都是假钞的概率. 分析：分析：由题意知，验钞机提示抽出的两张钞票中至少有一张为假钞，从而问题转化为在 “抽到的两张中至少有 1 张为假钞”的前提下，求“抽到的两张都是假钞”的概率. 解：解：若 A 表示“抽到的两张都为假钞” ，B 表示“抽到的两张中至少有 1 张为假钞” ，所求 概率为 P(A|B)，又 P(AB)=P(A)=,2 202 5 CC北师大版高中数学选修 2_3 导学案P(B)=2 201 151 52 5 CCCC ，由条件概率公式得P(A|B)=172 8510 )()(1 151 52 52 5CCCC BPABP.绿色通

12、道绿色通道: :准确理解题意，弄清楚在什么条件下发生的事件是求解条件概率的关键. 变式训练变式训练 3一张储蓄卡的密码共有 6 位数字，每位数字都可从 09 中任选一个.某人在银行自动提 款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求： (1)任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率. (2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过 2 次就按对的概率.解：解：设第 i 次按对密码为事件 Ai(i=1,2)，则 A=A1(A1A2)表示不超过 2 次就按对密码.(1)因为事件 A1与事件 A1A2互斥，由概率的加法公式得 P(A)=P(A1)+P(A1A2)=51 91 109 101.(2)

13、用 B 表示最后一位按偶数的事件，则 P(A|B)=P(A1|B)+P(A1A2|B)=51+5441=52.【例 4】甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中 雨天所占的比例分别为 20%和 18%，两地同时下雨的比例为 12%，问： (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？ (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？ 分析：分析：设“甲地为雨天”为事件 A， “乙地为雨天”为事件 B，由题意 P(A)、P(B)、P(AB) 已知，故可直接由条件概率公式求解. 解：解：设“甲地为雨天”为事件 A， “乙地为雨天”为事件 B，由题意得 P(A)=0.20，P

14、(B) =0.18，P(AB)=0.12，所以 (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是P(A|B)=)()( BPABP=18. 012. 0=0.67.(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是P(B|A)=)()( APABP=2 . 0 12. 0=0.60.绿色通道绿色通道: :本题直接利用条件概率公式求解，要注意分清谁是条件. 变式训练变式训练 4设某种动物由出生算起活到 20 岁的概率为 0.8，活到 25 岁的概率为 0.4，现有一个 20 岁的这种动物，问它能活到 25 岁的概率是多少？ 解：解：设 A=“能活到 20 岁” ，B=“能活到 25 岁” ，则 P(A)=0.8，P(

15、B)=0.4，而所求概率为P(B|A)，由于 BA,故 AB=B,于是 P(B|A)=8 . 0 4 . 0)()( )()( APBp APBAp=0.5.北师大版高中数学选修 2_3 导学案所以这个动物能活到 25 岁的概率是 0.5. 【例 5】设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为 0.8、0.9，求：(1)两人都击中目标的概率； (2)两人中有 1 人击中目标的概率； (3)在一次射击中，目标被击中的概率； (4)两人中，至多有 1 人击中目标的概率. 分析：分析：设出已知事件，然后利用互斥事件、对立事件、独立事件将所求事件分解成已知事 件的和或积，从而得出相应的事件等式，最后利用有关概率公式求解即可. 解：解：设事件 A=甲射击一次，击中目标，事件 B=乙射击一次，击中目标，A 与 B 相互独 立，则 P(A)=0.8，P(B)=0.9. (1)两人都击中目标的事件为 AB，P(AB)=P(A)P(B)=0.80.9=0.72. 即两人都击中目标的概率为 0.72.(2)设事件 C=两人中有 1 人击中目标，则 C=AB+BA，AB与 BA 互斥，且 A与 B 独立，P(C)=P(AB+BA)=P(AB)+P(BA)=P(A)P(B)+P(B)P(A)=P(A)1-P(B)+P(B)1-P(A)=0.80.1+0.90.2=0.26. 即两人中