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1、数学文化讲堂数学文化讲堂( (六六) )将军饮马问题唐朝诗人李颀的诗古从军行开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题如图所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的 A 点出发,走到河边饮马后再到 B 点宿营,请问怎样走才能使总的路程最短?这个问题早在古罗马时代就有了,传说亚历山大有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教这个百思不得其解的问题从此,这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传1. 你能解决上面的问题吗?请画图说明2. 请利用将军饮马问题的模型解决下列问题:(1)几何应用:如图,等腰直角三角形 ABC 的直角边长为 2,E
2、是斜边 AB 的中点,P 是 AC边上的一动点,则 PBPE 的最小值为_(2)几何拓展:如图,ABC 中,AB2,BAC30,若在 AC、AB 上各取一点 M、N,使 BMMN 的值最小,求这个最小值;(3)代数应用:求代数式(0x4)的最小值x21(4x)24第 2 题图答案答案重庆市 2018 年中考数学一轮复习21.1. 解:如解图所示,从 A 出发向河岸引垂线,垂足为 D,在 AD 的延长线上,取 A 关于河岸的对称点 A,连接 AB,与河岸线相交于 C,则 C 点就是饮马的地方,将军只要从 A出发,沿直线走到 C,饮马之后,再由 C 沿直线走到 B,所走的路程就是最短的如果将军在河
3、边的另外任一点 C饮马,所走的路程就是 ACCB,但是,ACCBACCBABACCBACCB.可见,在 C 点外任何一点 C饮马,所走的路程都要远一些这有几点需要说明的:(1)由作法可知,河流 l 相当于线段 AA的中垂线,所以 ADAD.(2)将军走的路程是 ACBC,就等于 ACBC,而两点之间线段最短,所以 C 点为最优第 1 题解图2.2. 解:(1);10【解法提示】如解图所示,作点 B 关于 AC 对称的对称点 B,连接 BE 交 AC 于点 P,第 2 题解图此时 PBPE 的值最小连接 AB.在RtACB 中,ABAB2.AC2BC222222AE AB,1 22BACBAC4
4、5,BAB90,PBPE 的最小值BE.BA2AE2(2 2)2( 2)210(2)如解图,作点 B 关于 AC 对称的对称点 B,过 B作 BNAB 于 N,交 AC 于 M.连接BM,AB,此时 BMMN 的值最小,即 BMMNBMMNBN.重庆市 2018 年中考数学一轮复习3点 B与 B 关于 AC 对称,ABAB,又BAC30,BAB60,BAB 是等边三角形,BBAB2,BBN60,又BNAB,BNBBsinBBN2;323第 2 题解图(3)构造图形,如解图所示,其中 AB4,AC1,DB2,APx,CAAB 于点 A,DBAB 于点 B.PCPD,x21(4x)24所求的最小值就是求 PCPD 的最小值作点 C 关于 AB 的对称点 C,过 C作 CEDB,交 DB 延长线于点 E.则CEAB4,DE213,CD5,CE2DE24232所求代数式的最小值是 5.第 2 题解图