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1、数学文化讲堂数学文化讲堂( (六六) )将军饮马问题唐朝诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的 A 点出发，走到河边饮马后再到 B 点宿营，请问怎样走才能使总的路程最短？这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教这个百思不得其解的问题从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传1. 你能解决上面的问题吗？请画图说明2. 请利用将军饮马问题的模型解决下列问题：(1)几何应用：如图，等腰直角三角形 ABC 的直角边长为 2，E
2、是斜边 AB 的中点，P 是 AC边上的一动点，则 PBPE 的最小值为_(2)几何拓展：如图，ABC 中，AB2，BAC30，若在 AC、AB 上各取一点 M、N，使 BMMN 的值最小，求这个最小值；(3)代数应用：求代数式(0x4)的最小值x21（4x）24第 2 题图答案答案重庆市 2018 年中考数学一轮复习21.1. 解：如解图所示，从 A 出发向河岸引垂线，垂足为 D，在 AD 的延长线上，取 A 关于河岸的对称点 A，连接 AB，与河岸线相交于 C，则 C 点就是饮马的地方，将军只要从 A出发，沿直线走到 C，饮马之后，再由 C 沿直线走到 B，所走的路程就是最短的如果将军在河
3、边的另外任一点 C饮马，所走的路程就是 ACCB，但是，ACCBACCBABACCBACCB.可见，在 C 点外任何一点 C饮马，所走的路程都要远一些这有几点需要说明的：(1)由作法可知，河流 l 相当于线段 AA的中垂线，所以 ADAD.(2)将军走的路程是 ACBC，就等于 ACBC，而两点之间线段最短，所以 C 点为最优第 1 题解图2.2. 解：(1)；10【解法提示】如解图所示，作点 B 关于 AC 对称的对称点 B，连接 BE 交 AC 于点 P，第 2 题解图此时 PBPE 的值最小连接 AB.在RtACB 中，ABAB2.AC2BC222222AE AB，1 22BACBAC4
4、5，BAB90，PBPE 的最小值BE.BA2AE2（2 2）2（ 2）210(2)如解图，作点 B 关于 AC 对称的对称点 B，过 B作 BNAB 于 N，交 AC 于 M.连接BM，AB，此时 BMMN 的值最小，即 BMMNBMMNBN.重庆市 2018 年中考数学一轮复习3点 B与 B 关于 AC 对称，ABAB，又BAC30，BAB60，BAB 是等边三角形，BBAB2，BBN60，又BNAB，BNBBsinBBN2；323第 2 题解图(3)构造图形，如解图所示，其中 AB4，AC1，DB2，APx，CAAB 于点 A，DBAB 于点 B.PCPD，x21（4x）24所求的最小值就是求 PCPD 的最小值作点 C 关于 AB 的对称点 C，过 C作 CEDB，交 DB 延长线于点 E.则CEAB4，DE213，CD5，CE2DE24232所求代数式的最小值是 5.第 2 题解图
