数模随机模拟蒙特卡罗方法

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1、随机模拟 蒙特卡罗方法(Monte Carlo)蒙特卡罗(Monte Carlo)方 法l蒙特卡罗方法的基本思想 l蒙特卡罗方法的收敛性，误差 l蒙特卡罗方法的特点 l蒙特卡罗方法的主要应用范围随机模拟Monte Carlo方 法n随机模拟又称为Monte Carlo方法，是一种采用统 计抽样理论近似地求解数学问题或物理问题的方 法。n首先建立与描述该问题有相似性的概率模型。利 用这种相似性把概率模型的某些特征（如随机事 件的概率或随机变量的平均值等）与问题的解答 （如积分值等）联系起来，然后对模型进行随机 模拟统计抽样，再利用所得的结果求出这些特征 的统计估计值作为原来的分析问题的近似解。n

2、基本理论依据：大数定律。1.蒙特卡罗方法概述n由于科学技术的发展和电子计算机的发明，这 种方法作为一种独立的方法被提出来，并首先 在核武器的试验与研制中得到了应用。n蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值 计算方法有很大区别。它是以概率统计理论为 基础的一种方法。n由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的 特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以 解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛 。1.蒙特卡罗方法的基本思想n两个例子 例1. 蒲丰氏(Buffon)问题 例2. 射击问题（打靶游戏）基本思想计算机模拟试验过程例1. 蒲丰氏问题n为了求得圆周率值，在十九世纪后期，有很多人作 了这样的试

3、验：将长为2l的一根针任意投到地面上， 用针与一组相间距离为2a（la）的平行线相交的频 率代替概率P，再利用准确的关系式：求出值其中为投针次数，n为针与平行线相交次数。 这就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题。n一些人进行了实验，其结果列于下表 ：实验者年份投计次数的实验值沃尔弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553福克斯(Fox)189411203.1419拉查里尼 (Lazzarini)190134083.1415929例1. 蒲丰氏问题例2. 射击问题（打靶游戏 ） n设r表示射击运动员的弹着点到靶心的距离，(r)表示击中r处相应的得分数（

4、环数），f(r)为该运动员的弹着点的分布密度函数，它 反映运动员的射击水平。 则该运动员的射击成绩为 n用概率语言来说，是随机变量(r)的数学 期望，即 n现假设该运动员进行了次射击，每次射击的弹着点 依次为r1，r2，rN，则次得分g(r1)，g(r2)， ，g(rN)。其算术平均值为代表了该运动员的成绩。换言之，为积分的估计 值，或近似值。n在该例中，用次试验所得成绩的算术平均值作为数 学期望的估计值（积分近似值）。 基本思想 n当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某 个随机变量的数学期望，或者是与概率、数学 期望有关的量时，n通过某种试验的方法，n得出该事件发生的频率，或者该随机变量若

5、干 个具体观察值（抽样）并计算，通过它得到问 题的解。n蒙特卡罗方法是用随机试验的方法计算积分， 即将所要计算的积分看作服从某种分布密度函 数f(r)的随机变量(r)的数学期望n通过某种试验，得到个观察值r1，r2，rN （用概率语言来说，从分布密度函数f(r)中抽 取个子样r1，r2，rN，），将相应的个 随机变量的值g(r1)，g(r2)，g(rN)的算术 平均值作为积分的估计值（近似值）。 n为了得到具有一定精确度的近似解，所需试验 的次数是很多的，通过人工方法作大量的试验 相当困难，甚至是不可能的。n电子计算机的出现，使得人们可以通过电子计 算机来模拟随机试验过程，把巨大数目的随机 试

6、验交由计算机完成，使得蒙特卡罗方法得以 广泛地应用，在现代化的科学技术中发挥应有 的作用。 基本思想实现方式 计算机模拟试验过程 n计算机模拟试验过程的具体实现 例1. 蒲丰氏问题 例2. 射击问题（打靶游戏）n注：蒙特卡罗方法常以一个“概率模型 ”为基础，按照它所描述的过程，使用 由已知分布抽样的方法，得到部分试验 结果的观察值，求得问题的近似解。 例蒲丰氏问题n设针投到地面上的位置可以 用一组参数（x,）来描述 ，x为针中心距x轴的距离， 为针与平行线的夹角，如 图所示。n任意投针，就是意味着x与 都是任意取的，但x的范 围限于0，a，夹角的 范围限于0，。在此 情况下，针与平行线相交的

7、数学条件是针在平行线间的位置 n如何产生任意的（x,）？nx在0，a上任意取值，表 示x在0，a上是均匀分布 的，其分布密度函数为：n的分布密度函数为：n因此，产生任意的（x,）的 过程就变成了由f1(x)抽样x及 由f2()抽样的过程了。由 此得到：其中1，2均为（0,1）上均 匀分布的随机变量。 n每次投针试验，实际上变成在计算机上从两个均匀分 布的随机变量中抽样得到（x,），然后定义描述针 与平行线相交状况的随机变量s(x,)，为如果投针次，则是针与平行线相交概率的估计值。理论上， 于是有 例射击问题 n设射击运动员的弹着点分布为n用计算机作随机试验（射击）的 方法为，选取一个随机数，按

8、 右边所列方法判断得到成绩。n这样，就进行了一次随机试验（ 射击），得到了一次成绩(r)， 作次试验后，得到该运动员射 击成绩的近似值 环数 78910 概率 0.10.10.30.52.蒙特卡罗方法的收敛性，误 差 n蒙特卡罗方法作为一种计算方法，其收 敛性与误差是普遍关心的一个重要问题 。收敛性误差减小方差的各种技巧 效率 收敛性 n蒙特卡罗方法是由随机变量X的简单子样X1，X2， XN的算术平均值： 作为所求解的近似值。由大数定律可知，如X1，X2，XN独立同分布，且具有有限期望值（ E(X)），则 即随机变量X的简单子样的算术平均值 ，当子样数 充分大时，以概率1收敛于它的期望值E(X

9、)。 误差 n蒙特卡罗方法的近似值与真值的误差问题，概率论的 中心极限定理给出了答案。该定理指出，如果随机变 量序列X1，X2，XN独立同分布，且具有有限非零 的方差2 ，即f(X)是X的分布密度函数。则当N充分大时，有如下的近似式其中称为显著性，1称为置信水平。这表明，不等式 近似地以概率1成立，且误差收敛速度的阶为 。n蒙特卡罗方法的误差定义为n误差的两点说明：n第一，蒙特卡罗方法的误差为概率误差，这 与其他数值计算方法是有区别的；n第二，误差中的均方差是未知的，必须使 用其估计值来代替，在计算所求量的同时， 可计算出； 减小方差的各种技巧 n显然，当给定显著性后，误差由和N决 定。n减小

10、：或者是增大N，或者是减小方差2。 在固定的情况下，要把精度提高一个数量级 ，试验次数N需增加两个数量级。因此，单纯 增大N不是一个有效的办法。n另一方面，如能减小估计的均方差，比如降 低一半，那误差就减小一半。 效率 n一般来说，降低方差的技巧，往往会使抽取一 个子样的时间增加从而在固定时间内，使观察 的样本数减少。所以，一种方法的优劣，需要 由方差和观察一个子样的费用（使用计算机的 时间）两者来衡量。这就是蒙特卡罗方法中效 率的概念。n它定义为 ，其中c是观察一个子样的平 均费用。显然 越小，方法越有效。 3.蒙特卡罗方法的特点优点 l 能够比较逼真地描述具有随 机性质的事物的特点及物理

11、实验过程。 l 受几何条件限制小。 l 收敛速度与问题的维数无关 。 l 具有同时计算多个方案与多 个未知量的能力。 l 误差容易确定。 l 程序结构简单，易于实现。 缺点 收敛速度慢。 误差具有概率性。n能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物 理实验过程n从这个意义上讲，蒙特卡罗方法可以部分代替物理实 验，甚至可以得到物理实验难以得到的结果。用蒙特 卡罗方法解决实际问题，可以直接从实际问题本身出 发，而不从方程或数学表达式出发。它有直观、形象 的特点。优点1：逼真、形象n 在计算s维空间中的任一区域Ds上的积分时，无论区域Ds的形状多么特殊，只要能给出描述Ds 的几何特征的条件，就可

12、以从Ds中均匀产生N个点，得到积分的近似值。其中Ds为区域Ds的体积。优点2：受几何条件限制小优点3：收敛速度与问题的维数无 关n 由误差定义可知，蒙特卡罗方法的收敛速度为 ，与问题本身的维数无关。维数的变化，只引 起抽样时间及估计量计算时间的变化，不影响 误差。 n 因此蒙特卡罗方法很适合处理多维问题。而一 般数值方法，比如计算定积分时，计算时间随 维数的幂次方而增加，需占用相当数量的计算 机内存，这些都是一般数值方法计算高维积分 时难以克服的问题。优点4:具有同时计算多个未知量的 能力n使用蒙特卡罗方法可以同时得到若干个 所求量。优点5:误差容易确定n对于一般计算方法，要给出计算结果与 真值的误差并不是一件容易的事情 n根据蒙特卡罗方法的误差公式，可以在 计算所求量的同时计算出误差。优点6:程序结构简单，易于实 现n在计算机上进行蒙特卡罗方法计算时， 程序结构简单，分块性强，易于实现。 缺点1:收敛速度慢n蒙特卡罗方法的收敛速度为 ， 一般不容易得到精确度较高的近似结果 。对于维数少（三维以下）的问题，不 如其他方法好。 缺点2:误差具有概率性n由于蒙特卡罗方法的误差是在一定置信 水平下估计的，所以它的误差具有概率 性，而不是一般意义下的误差。 4.蒙特卡罗方法的主要应用范 围 n统计计算n典型数学问题n真空技术n激光技术n医学，生物n环境n信息n探矿等