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1、2018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测专题能力训练 7 导数与函数的单调性、极值、最值专题能力训练第 18 页 一、能力突破训练 1.已知 a 为函数 f(x)=x3-12x 的极小值点,则 a=( )A.-4 B.-2 C.4 D.2答案：D解析：f(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令 f(x)=0,得 x=-2 或 x=2,易得 f(x)在区间(-2,2)内单调递减,在区间(-,-2),(2,+)内单调递增,故 f(x)极小值为 f(2),由已知得 a=2,故选 D.2.在同一平面直角坐标系中,函数 y=ax2-x+ 与 y=a2x3-2ax2+x+a(aR)的图象不可能
2、的是( )2答案：B解析：显然当 a=0 时,D 中图象是可能的,当 a0 时,由 y=a2x3-2ax2+x+a(aR)求导得 y=3a2x2-4ax+1,令 y=0,得 x= 或 x=.1 13函数 y=ax2-x+ 的图象的对称轴为 x=,212不管 a0 还是 a0 时,可判断得 A,C 项中图象都有可能.3.若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)=-1,其导函数 f(x)满足 f(x)k1,则下列结论中一定错 误的是( )A.f(1 )1 (1 )1 - 12018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测C.f(1 - 1)1 - 1(1 - 1) - 1答案：C解析：构造函数
3、F(x)=f(x)-kx,则 F(x)=f(x)-k0,函数 F(x)在 R 上为单调递增函数.0,1 - 1FF(0).(1 - 1)F(0)=f(0)=-1,f-1,(1 - 1) - 1即 f-1=,(1 - 1) - 11 - 1f,故 C 错误.(1 - 1)1 - 14.已知常数 a,b,c 都是实数,f(x)=ax3+bx2+cx-34 的导函数为 f(x),f(x)0 的解集为x|-2x3. 若 f(x)的极小值等于-115,则 a 的值是( )A.-B.C.2 D.5812213答案：C解析：依题意得 f(x)=3ax2+2bx+c0 的解集是-2,3,于是有 3a0,-2+
4、3=-,-23=,则 b=-233,c=-18a.32函数 f(x)在 x=3 处取得极小值,于是有 f(3)=27a+9b+3c-34=-115,则-a=-81,解得 a=2.故选 C.8122018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测5.已知函数 f(x)=(2x+1)ex,f(x)为 f(x)的导函数,则 f(0)的值为 . 答案：3解析：f(x)=(2x+3)ex,f(0)=3.6.已知 f(x)为偶函数,当 x0 时,f(x)=e-x-1-x,则曲线 y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 .答案：y=2x解析：当 x0 时,-x0).1(1)求 f(x)在区间0,+)内的最小值;
5、(2)设曲线 y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为 y= x,求 a,b 的值.32解(1)f(x)=aex-.1当 f(x)0,即 x-ln a 时,f(x)在区间(-ln a,+)内单调递增;当 f(x)0,f(x)在区间(0,-ln a)内单调递减,在区间(-ln a,+)上单调递增,从而f(x)在区间0,+)内的最小值为 f(-ln a)=2+b;当 a1 时,-ln a0,f(x)在区间0,+)内单调递增,从而 f(x)在区间0,+)上的最小值为f(0)=a+ +b.1 2018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测(2)依题意 f(2)=ae2-= ,解得 ae2=2 或 a
6、e2=- (舍去).123212所以 a=,代入原函数可得 2+ +b=3,即 b= .故 a=,b= .22121222128.设函数 f(x)=x3-kx2+x(kR). (1)当 k=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)当 k0,f(x)在 R 上单调递增,即 f(x)的单调递增区间为(-,+),f(x)没有单调递减区间.(2)当 k0,33即 kk,从而 k0,312121f(x)的最小值 m=f(k)=k.f(x2)-f(-k)=-k+x2-(-2k3-k)=(x2+k)(x2-k)2+k2+10,r0).( + )2(1)求 f(x)的定义域,并讨论 f(x)的单调性;(2
7、)若 =400,求 f(x)在区间(0,+)内的极值. 解(1)由题意知 x-r,所求的定义域为(-,-r)(-r,+).f(x)=,( + )22+ 2 + 2f(x)=,(2+ 2 + 2) - (2 + 2)(2+ 2 + 2)2( - )( + )( + )4所以当 xr 时,f(x)0.因此,f(x)的单调递减区间为(-,-r),(r,+);f(x)的单调递增区间为(-r,r).(2)由(1)的解答可知 f(r)=0,f(x)在区间(0,r)上单调递增,在区间(r,+)上单调递减.因此,x=r 是 f(x)的极大值点.所以 f(x)在区间(0,+)内的极大值为 f(r)=100.(2
8、)24400410.(2017 全国,文 21)设函数 f(x)=(1-x2)ex.(1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 x0 时,f(x)ax+1,求 a 的取值范围.解(1)f(x)=(1-2x-x2)ex.令 f(x)=0 得 x=-1-,x=-1+.22当 x(-,-1-)时,f(x)0;22当 x(-1+,+)时,f(x)0),因此 h(x)在区间0,+)内单调递减,而 h(0)=1,故 h(x)1,所以 f(x)=(x+1)h(x)x+1ax+1.当 00(x0),所以 g(x)在区间0,+)内单调递增,而 g(0)=0,故 exx+1.当 0(1-x)(1+x)2,(1-x)
9、(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取 x0=,则 x0(0,1),(1-5 - 4 - 12x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故 f(x0)ax0+1.当 a0 时,取 x0=,则 x0(0,1),f(x0)(1-x0)(1+x0)2=1ax0+1.5 - 12综上,a 的取值范围是1,+).二、思维提升训练 11.若 0ln x2-ln x1B.-x1D.x20,且 x 趋近于 0 时,xex-10,因此在区间(0,1)上必然存在 x1x2,使得 f(x1)=f(x2),因此 A,B 不正确.2018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测设 g(x)=,当 0g(x2),即,
10、1122所以 x2x1.故选 C.1 212.设直线 l1,l2分别是函数 f(x)=图象上点 P1,P2处的切线,l1与 l2垂直相交于- ln,0 1?点 P,且 l1,l2分别与 y 轴相交于点 A,B,则PAB 的面积的取值范围是( )A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+)D.(1,+)答案：A解析：由题意得 P1,P2分别位于两段函数的图象上.设 P1(x1,ln x1),P2(x2,-ln x2)(不妨设 x11,01,SPAB= |yA-yB|xP|=0,f(x)为增函数.又 f(x)为奇函数,由 f(mx-2)+f(x)0,得 a- ,23, + )(23)292919
11、故当 a- 时,f(x)在区间上存在单调递增区间.19(23, + )(2)令 f(x)=0,得两根 x1=,x2=.1 - 1 + 821 + 1 + 82所以 f(x)在区间(-,x1),(x2,+)上单调递减,在区间(x1,x2)上单调递增.当 00,(23)(23)2所以 fn(x)在区间内至少存在一个零点.(0,23)又 fn(x)=1+2x+nxx-10,2018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测所以 fn(x)在区间内单调递增,(0,23)因此 fn(x)在区间内有且仅有一个零点 an.(0,23)由于 fn(x)=-1, - + 11 - 所以 0=fn(an)=-1.- +
12、 1 1 - 由此可得 an= + ,1212 + 1 12故 1 时,由 f(x)=0 得 x=a.2+ - 2f(x)的单调递增区间为(-,a-),(a+,+).2+ - 22+ - 2当-2a1 时,f(x)的单调递增区间为(-,+).(2)证明 f(x)=3x2-6ax+3(2-a),由 f(0)=0,得 a=2.即 f(x)=x3-6x2,f(0)=0.由(1)知 f(x)在区间(-,0),(4,+)上单调递增,在区间(0,4)内单调递减,则 a=2 符合题设.(方法一)f(x1)=f(x2),04,则 8-x24,而 f(x2)-f(8-x2)=(2x2-8)(x2-4)2(x1+x2)2-= (x1+x2)2,2122(1+ 2)24346(x1+x2) (x1+x2)2,34解得 x1+x28.
