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1、2018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测专题能力训练 12 数列 的通项与求和专题能力训练第 28 页 一、能力突破训练1.已知数列an是等差数列,a1=tan 225,a5=13a1,设Sn为数列(-1)nan的前n项和,则S2 016=( )A.2 016B.-2 016C.3 024D.-3 024答案：C解析：a1=tan 225=1,a5=13a1=13,则公差d=3,an=3n-2.又(-1)nan=(-1)n(3n-2),S2 016=(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)+(a2 014-a2 013)+(a2 016-a2 015)=1 008d=3 024.2.
2、已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,数列bn满足bn=(nN*),Tn是数列bn的前n项和,则T9等于( )A.B.C.D.答案：D解析：数列an的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,当n=1 时,a1=2;当n2 时,an=Sn-Sn-1=2n,an=2n(nN*),bn=,T9=+=.3.已知数列an的前n项和Sn=n2-2n-1,则a3+a17=( )A.15 B.17 C.34 D.398答案：C解析：Sn=n2-2n-1,a1=S1=12-2-1=-2.当n2 时,an=Sn-Sn-12018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测=n2-2n-1-(n-1)2-2(n-1)-
3、1=n2-(n-1)2+2(n-1)-2n-1+1=n2-n2+2n-1+2n-2-2n=2n-3.an=a3+a17=(23-3)+(217-3)=3+31=34.4.已知函数f(x)满足f(x+1)=+f(x)(xR),且f(1)=,则数列f(n)(nN*)前 20 项的和为( )A.305B.315C.325D.335答案：D解析：f(1)=,f(2)=+,f(3)=+,f(n)=+f(n-1),f(n)是以为首项,为公差的等差数列.S20=20+=335.5.已知数列an,构造一个新数列a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,此数列是首项为 1,公比为的等比数列,则数列an的通项
4、公式为( )A.an=-,nN*B.an=+,nN*C.an=D.an=1,nN*答案：A解析：因为数列a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,是首项为 1,公比为的等比数列,所以an-an-1=,n2.所以当n2 时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=1+=-.2018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测又当n=1 时,an=-=1,则an=-,nN*.6.植树节,某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距 10 m.开始时需将树 苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这 个最小值为
5、 m. 答案：2 000解析：设放在第x个坑边,则S=20(|x-1|+|x-2|+|20-x|).由式子的对称性讨论,当x=10 或 11 时,S=2 000.当x=9 或 12 时,S=20102=2 040;当x=1 或 19 时,S=3 800.Smin=2 000 m.7.数列an满足an+1=,a11=2,则a1= . 答案：解析：由a11=2 及an+1=,得a10=.同理a9=-1,a8=2,a7=,.所以数列an是周期为 3 的数列.所以a1=a10=.8.数列an满足a1+a2+an=2n+5,nN*,则an= . 答案：解析：在a1+a2+an=2n+5 中用(n-1)代
6、换n得a1+a2+an-1=2(n-1)+5(n2),两式相减,得an=2,an=2n+1,又a1=7,即a1=14,故an=9.设数列an的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,nN*.(1)求通项公式an;(2)求数列|an-n-2|的前n项和.2018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测解(1)由题意得则又当n2 时,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得an+1=3an.所以,数列an的通项公式为an=3n-1,nN*.(2)设bn=|3n-1-n-2|,nN*,b1=2,b2=1.当n3 时,由于 3n-1n+2,故bn=3n-1-n-2,n3
7、.设数列bn的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3.当n3 时,Tn=3+-=,所以Tn=10.(2017 全国,文 17)已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1=- 1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求bn的通项公式;(2)若T3=21,求S3.解设an的公差为d,bn的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2 得d+q=3.(1)由a3+b3=5,得 2d+q2=6.联立和解得(舍去),因此bn的通项公式为bn=2n-1.(2)由b1=1,T3=21 得q2+q-20=0,解得q=-5 或q=4.当q=-5 时
8、,由得d=8,则S3=21.当q=4 时,由得d=-1,则S3=-6.11.已知数列an和bn满足a1=2,b1=1,an+1=2an(nN*),b1+b2+b3+bn=bn+1-1(nN*).(1)求an与bn;(2)记数列anbn的前n项和为Tn,求Tn.2018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测解(1)由a1=2,an+1=2an,得an=2n(nN*).由题意知:当n=1 时,b1=b2-1,故b2=2.当n2 时,bn=bn+1-bn,整理得=,所以bn=n(nN*).(2)由(1)知anbn=n2n,因此Tn=2+222+323+n2n,2Tn=22+223+324+n2n+1,
9、所以Tn-2Tn=2+22+23+2n-n2n+1.故Tn=(n-1)2n+1+2(nN*).二、思维提升训练12.给出数列,在这个数列中,第 50 个值等于 1 的项的序号是( )A.4 900B.4 901C.5 000D.5 001答案：B解析：根据条件找规律,第 1 个 1 是分子、分母的和为 2,第 2 个 1 是分子、分母的和为 4,第 3 个 1 是分子、分母的和为 6,第 50 个 1 是分子、分母的和为 100,而分子、分母的和为 2 的有 1 项,分子、分母的和为 3 的有 2 项,分子、分母的和为 4 的有 3 项,分子、分母的和为 99 的有 98 项,分子、分母的和为
10、 100 的项依次是:,第 50 个 1 是其中第 50 项,在数列中的序号为1+2+3+98+50=+50=4 901.13.设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn= . 答案：-解析：由an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1,得-=1,即-=-1,则为等差数列,首项为=-1,公差为d=-1,=-n,Sn=-.14.设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1+3,nN*.2018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测(1)证明:an+2=3an;(2)求Sn.(1)证明由条件,对任意nN*,有an+2=3Sn-Sn+1+3
11、,因而对任意nN*,n2,有an+1=3Sn-1-Sn+3.两式相减,得an+2-an+1=3an-an+1,即an+2=3an,n2.又a1=1,a2=2,所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1,故对一切nN*,an+2=3an.(2)解由(1)知,an0,所以=3,于是数列a2n-1是首项a1=1,公比为 3 的等比数列;数列a2n是首项a2=2,公比为 3 的等比数列.因此a2n-1=3n-1,a2n=23n-1.于是S2n=a1+a2+a2n=(a1+a3+a2n-1)+(a2+a4+a2n)=(1+3+3n-1)+2(1+3+3n-1)=3(1+3+3n-1)
12、=,从而S2n-1=S2n-a2n=-23n-1=(53n-2-1).综上所述,Sn=15.已知an是等比数列,前n项和为Sn(nN*),且-=,S6=63.(1)求an的通项公式;(2)若对任意的nN*,bn是 log2an和 log2an+1的等差中项,求数列(-1)n的前 2n项和.解(1)设数列an的公比为q.由已知,有-=,解得q=2 或q=-1.又由S6=a1=63,知q-1,所以a1=63,得a1=1.所以an=2n-1.(2)由题意,得bn=(log2an+log2an+1)2018 届天津市高考数学（文）二轮复习检测=(log22n-1+log22n)=n-,即bn是首项为,
13、公差为 1 的等差数列.设数列(-1)n的前n项和为Tn,则T2n=(-+)+(-+)+(-+)=b1+b2+b3+b4+b2n-1+b2n=2n2.16.已知数列an满足an+2=qan(q为实数,且q1),nN*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和an的通项公式;(2)设bn=,nN*,求数列bn的前n项和.解(1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3,所以a2(q-1)=a3(q-1).又因为q1,故a3=a2=2,由a3=a1q,得q=2.当n=2k-1(kN*)时,an=a2k-1=2k-1=;当n=2k(kN*)时,an=a2k=2k=.所以,an的通项公式为an=(2)由(1)得bn=.设bn的前n项和为Sn,则Sn=1+2+3+(n-1)+n,Sn=1+2+3+(n-1)+n,上述两式相减,得Sn=1+-=-=2-,整理得,Sn=4-.所以,数列bn的前n项和为 4-,nN*.
