数学的重要性和趣味性

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1、 一. 数学是有用的Bacon. Roger（英国自然科学、哲学家，1214 -1294）说： 数学是科学大门的钥匙，忽视数学必将伤害所有的知识，因为忽视数 学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。更为严 重的是，忽视数学的人不能理解他自己这一疏忽，最终将导致无法寻 求任何补救的措施。 Peirce. Benjamin（美国数学家）说 ： 数学不是规律的发现者，因为它不是 归纳。数学也不是理论的缔造者，因 为它不是假说。但数学却是规律和理 论的裁判和主宰者，因为规律和假说 都要向数学表明自己的主张，然后等 待数学的裁判。如果没有数学上的认 可，则规律不能起作用，理论也不能 解释。

2、Bacon. Francis（英国散文作家、哲学家、政治家和法理学家，1561- 1626）说： 历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细，哲学使人深邃，道 德使人严肃，逻辑与修辞使人善辩。Lalande（法国天文学家、数学家、科 学史家，1732-1807）说： 对数学的酷爱，不仅在吾辈之中与日俱 增，而且在军队中也是一样，对此已在 上次战役中充分地体现出来了。蓬乃派 托自己就有很好地数学素养，当然不能 要求所有学过数学的人都能成为拉普拉 斯和拉格朗日那样的几何学家，或者都 成为蓬乃派托那样的英雄。但是，数学 毕竟在他们的头脑中留下了痕迹。这就 能使他们比未经过数学训练的人作出更 多的贡献。

3、Carus. Paul （德裔美籍作家）说： 没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性。 Chancellor,W.E.（英国学者）说： 学习数学是为了探索宇宙的奥秘。如所知，星球与地层、热与电 、变异与存在的规律，无不涉及数学真理。如果说语言反映和揭 示了造物主的心声，那么数学就反映和揭示了造物主的智慧，并 且反复地重复着事物如何变异为存在的故事。数学集中并引导我 们的精力、自尊和愿望去认识真理，并由此而生活在上帝的大家 庭中。正如文学诱导人们的情感与了解一样，数学则启发人们的 想象与推理。 Butler. Nicholas Murray（1931年诺贝尔和平奖获得者 ）说： 笛卡儿

4、的解析几何于牛顿，莱布尼兹的微积分已被扩张到罗巴切 夫斯基、黎曼、高斯和塞尔维斯托的奇异的数学方法中（这种扩 张比哲学史上所记载的任何一门学科的扩张更大胆）。事实上， 数学不仅是各门学科所必不可少的工具，而且它从不顾及直观感 觉的约束而自由地飞翔着。历史地看，数学还从没有象今天那样 表现出对于纯粹推理的至高无上。B.Demollins（著名数学家）说： 没有数学，我们无法看透哲学的深度；没有哲学，人们也无法看透数 学的深度；而没有两者，人们什么也看不透。日本数学教育家米山国藏说： 学生在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，不到一两年， 很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭

5、刻在头脑 中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的 着眼点等却随时随地发生作用，使他们终身受益二.数学存在于大自然中你有没有观察过一片叶子，对它为什么能精确的分成两瓣表示奇怪 ？你有没有注意到各种花的花瓣成完美星形？有没有注意到某种贝 壳和松果的螺旋形生长模式？面对奇迹纷呈的自然界，我们中的大 多数人往往认为数学知识只是人类的专利，其实自然界中也存在许 多名不见经传的“数学家”猫和蜘蛛是“几何专家”，在寒冷的冬天，猫睡觉时总要把 身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表 面积最小，这样，身体露在冷空气中的表面积最小，因而散 发的热量也最少。蜘蛛结的“八卦”网，既

6、复杂又非常美丽，这种八角形的几何 图案，既使木工师傅用直尺和圆规也难画得如蜘蛛网那样匀称 。当对这个美丽的结构用数学方法进行分析时，出现在蜘蛛网 上的概念真是惊人半径、弦、平行线段、三角形、全等对 应角、对数螺线、悬链线和超越线。蚂蚁是“计算专家”。英国科学家兴斯顿作过一个有趣的实验， 他把一只死蚱蜢切成三块，第二块比第一块大一倍，第三块比 第二块大一倍，当蚂蚁发现这食物40分钟后，聚集在最小的一 块蚱蜢旁的蚂蚁有28只，第二块44只，第三块89只，后一组较 前一组差不多多一倍。蚂蚁的计算本领如此精确，令人惊奇！ 不仅如此，蚂蚁们在寻找食物时，总是能够找到通往食物的最 短路线。珊瑚虫是“代数天

7、才”。它在自己身上记下“日历”，每年在 体壁上“刻画”出365条环纹，一天“画”一条。生物学家发现 ，3.5亿年前的珊瑚虫每年 “画”出400条环纹，天文学家告 诉我们，当时的地球昼夜只有21.9小时，一年不是365天，而是400天。蜜蜂的蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开 口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成 。组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分 ，这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小。令 人类建筑师惊叹不已！同时，令人惊奇的是，蜜蜂还“知道”两 点间的最短距离是一条直线。工蜂在花间随意来去而采集到大 量花蜜后，它

8、知道取最直接的路线回到蜂房。大约在公元300年 左右，古希腊数学家帕波斯在其编写的数学汇编一书中对 蜂房的结构，作过精彩的描写：蜂房是由许许多多的正六棱柱 ，一个挨着一个，紧密地排列，蹭没有一点空隙蜜蜂凭着 自己本能的智慧选择了正六边形，因为使用同样多的原材料， 正六边形具有最大的面积，从而可贮藏更多的蜂蜜。”蜂房结构 和造型令世界上最优秀的建筑师称赞不已。已故数学家华罗庚 教授曾为此撰写了著名的数学读物 谈谈与蜂房结构有关的数 学问题 (时在1964年),书中对此作了详尽、严谨且十分生动的 阐述。这种结构如今已用在航空、航天、建筑材料等领域。丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形，角度也

9、永远是 110度，更精确的计算还表明“人”字夹角的一半，即每边与鹤群 前进的夹角度数54度44分8秒；而金刚石结晶体的角度也正好是 54度44分8秒！是巧合还是大自然的某种“默契”？ 鹰类从空中俯冲下来猎取地上的小动物时，常常采取 一个最好的角度出其不意地扑向猎物。 壁虎在捕食蚊、蝇、蛾等小昆虫时，总沿着一条螺旋 形曲线爬行，这条曲线，数学上称为“螺旋线”。 切叶蜂用大腭剪下的每片圆形叶片，像模子冲出来似 的，大小完全一样。 鼹鼠“瞎子”在地下挖掘隧道时，总是沿着90转弯 。蛇在爬行时，走的是一个正弦函数图形。它的脊椎像火车一样 ，是一节一节连接起来的，节与节之间有较大的活动余地。如 果把每一

10、节的平面坐标固定下来，并以开始点为坐标原点，就 会发现蛇是按着30度、60度和90度的正弦函数曲线有规律地运 动的。 视频：大自然中的数学三.数学是有趣的（数学故事 ） 第一个故事：遗嘱 阿拉伯数学家花拉子密的遗嘱： 当时他的妻子正怀着他们的第一 胎小孩。“如果我亲爱的妻子帮我 生个儿子，我的儿子将继承三分 之二的遗产，我的妻子将得三分 之一；如果是生女的，我的妻子 将继承三分之二的遗产，我的女 儿将得三分之一。”。 而不幸的是，在孩子出生前，这 位数学家就去世了。之后，发生 的事更困扰大家，他的妻子帮他 生了一对龙凤胎,而问题就发生在 他的遗嘱内容。 如何遵照数学家的遗嘱，将遗产 分给他的妻

11、子、儿子、女儿呢？ 第二个故事：消失的一元钱有一家酒店一间房30元一晚，有一天来了3个人住，每个人给了 10元钱，老板觉得今天心情很好，可以打折，就只收了25元， 多余的5元钱让服务生给这三个人送回去，服务生觉得3个人分5 块钱不好分，就贪污了两元钱，剩下3元钱一人一元钱，那问题 出现了：3个人相当于一人出了9元钱，3个人3*9=27元，加上服 务生贪污的2元钱，27+2=29元，而最开始3个人掏的是30元钱， 还有一元钱去哪儿了？ 第三个故事：国际象棋在古老的印度，有一个国王很擅长下国际象棋，整个王国里面已经没 有人下得过他。有一天来了一个老人要求和国王下棋，老人棋艺很好 ，最后赢了国王。国

12、王很高兴，他说：“这么多年都没人下得过我，我 决定给你赏赐，你想要什么，告诉我！”老人说：“我要的东西很简单 ，我只需要在国际象棋的棋盘上第一个放一粒米，第二格放两粒米， 第三格放四粒米，以此类推，每一格的米是上一格的两倍，摆满棋盘 后，我就把米带走！”国王哈哈大笑，说：“我的王国这么富有，这点 要求算什么？”于是，他就叫手下的人去仓库拿米，然而渐渐地，国王 的脸色变了，最后，他竟然把老人杀了，请问这是为什么？四.数学与其他学科的关系 数学为自然科学和人文社会科学 提供了一种精确的语言和有力的工具 所有自然科学分支和工程技术都离不开数学 人文社会科学的许多领域也已发展到不懂数 学的人望尘莫及的

13、阶段物理学、力学与数学密不可分自由落体运动牛顿力学爱因斯坦狭义相对论 在洛伦兹变换下“时空间隔不变” 1915.11.25. 广义协变引力场方程 黎曼度规张量 “由于这组方程，广义相对论作为一种 逻辑结构终于大功告成！” DNA重组机理研究 Science 数学打开了双螺旋的疑结 1990，美国数学家 琼斯，纽结理论数学与音乐 音乐，就它的基础来说是数学的， 就它的出现来说，是直觉的。 莱布尼兹 这个世界可以由音乐的音符来组成 ，也可以用数学公式来组成.” 爱因斯坦一组键盘平台钢琴弦的外形轮廓十二平均律 把八度分成12个半音，这些半音的频率成 一个等比数列. 乐音3(3度音)的频率比为乐音4(

14、4度音)的频率比为乐音5(5度音)的频率比为乐音6(6度音)的频率比为十二平均律的发明者朱载堉 15361611 河南沁阳人 朱元璋的九世孙 46岁时，完成“新法密律”(即十二平均 律)的计算，比荷兰的斯特芬早十几年 ，比法国的默森早55年，他谱写的平 均律曲谱，比巴赫的平均律钢琴曲 集早300年。 朱载堉用81位大算盘计算频率， 先把八度开平方，算得 得十二平均律中的 ； 再将1.414213 开平方，得八度的四分之 一， ， 即 ； 最后将1.189207 开立方，得 朱载堉将此值称为“密律”. 朱载堉将频率一直计算到25位数. 李约瑟：“他的理论在他自己的国家却 很少付诸实践，这真是不可

15、思议的讽 刺与这个发明相比，发明者的名 字是次要的。毫无疑问，朱载堉本人 是第一个愿将荣誉归于另一个研究者 的人，第一个使平均律数学上公 式化的荣誉确定应当归之中国。”数学与美术达 芬奇（14521519）不仅是绘画艺术的旷世奇才，还是一个精通数学、音乐、 建筑学、机械学、人体解剖学的杰出学者欣赏我的作品的人，没有一个不是数学家 透视画与射影几何 几何学有两大财富：一个是毕 达哥拉斯定理，另一个是按照中外 比划分一个线段。第一大财富可称 得上是黄金定理，而第二大财富可 称之为珍珠定理。 开普勒黄金分割与艺术 AC/AB = AB/BC（中外比，欧几里得） 设 BC=1, AB 黄金分割率（19世纪初期）15世纪Weyden耶稣降架图 370.618=2 2.8 25