自由度分析及系统分解

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1、第二章 过程系统自由度分析及系统分解主要内容2.1 单元模型的自由度分析 2.2 化工单元模型和模块 2.3 过程系统的结构分析2.1 自由度分析化工单元的数学模型是单元的输入变量、输出 变量和过程参数用某种机理的、半机理的或统 计的函数关系关联而成的线性的或非线性的方 程组。F(X)=0其中X=（x1,x2,xn)T为完整描述对象所需的变 量向量，F=（f1,f2,，fm）为函数关系向量 。机理模型由过程机理出发，经推导得到，并得到实验验 证。一般只有对过程内在规律明确且相对比较简 单的研究对象才能建立机理模型。例如：流体在圆管中作层流流动时其压力例如：流体在圆管中作层流流动时其压力p p变

2、变 化的关系式：化的关系式：p p2 2-p-p1 1=32=32 l u l u / d/ d2 2机理模型是对实际过程直接的数学描述，是过机理模型是对实际过程直接的数学描述，是过 程本质的反映，因此其结果可以外推。程本质的反映，因此其结果可以外推。统计模型数学模型也可以根据实验装置、中型或大型 工业装置的实测数据，通过数据回归分析得 到纯经验的数学关系式，这就是统计模型。Nu=0.023Re0.8Pr0.3统计模型与过程机理无关，是根据实验从输 入和输出变量之间的关系，经分析整理得到 。它只是在实验范围内有效，不具有外推性 。混合模型对实际过程进行抽象概括和合理简化，然 后对简化的物理模型

3、加以数学概述，这样 得到数学关系式称为混合型模型，它是半 经验半理论化性质的。 自由度分析的主要目的：在系统求解之前，确定 需要给定多少个变量，可以使系统有唯一确定 的解。F(X)=0 单元操作过程的数学模型含有m个独立方程，其 中含有n个变量，且nm，则该模型具有的自由 度为 d=n-m 即需要在n个变量中，给定d个变量的值，其余的 m个变量可通过m个方程求解。为了求解单元数学模型而确定的d维独立变量称为决策变 量。 在m个变量中究竟选取哪d个，具有一定的“自由度”。d个变量选择原则：1）选那些受限制较多的变量.如冷却水的温度、流量等，它们受当地气候和水资源条件的限制。又如高温状态 下物料的

4、温度将受设备材料耐温性能的限制。2）选出的变量，赋值后，可是系统模型方程的求解，最为方便、容易。 本节所讲的自由度概念与“物理化学”课程中提到的 自由度不同。 在“物理化学”中，相律用下式表达体系的自由度 d=C-P +2 式中 C组分数P想数目 “相律”中的自由度只涉及强度性质（T，P等）而不涉 及系统的大小数量。 在化工单元操作模型中，必须考虑系统的大小量、如 流股的质量流率、热负荷及压力变化等。注意 在“化工热力学”中，杜赫姆（Duhem）定理指出，对于一个已知每个组分初始质量的封闭体系，其平衡状态取决于 两个独立变量，而不论体系中有多少个相、多少个组分或 多少个化学反应。 根据该定理，

5、可推知一个独立流股具有（C+2）个自由度。 如规定流股的中C个组分的摩尔流量以及流股的温度T和压 力P，则该流股就确定了。注意：杜赫姆定理定义自由度时含有归一方程注意：杜赫姆定理定义自由度时含有归一方程 xi=1.xi=1. 所以不含归一方程，则独立流股的自由度为所以不含归一方程，则独立流股的自由度为C+3C+32.2单元模型的自由度分析单元模型方程的分类 物料衡算方程指直接表达物料守恒关系式 的方程 热量衡算方程指直接表达能量守恒关系即 热力学第一定律 设备约束方程物料通过特定设备时受具体 设备的约束，按照特定的关系发生变化。 其他如混合物中各组分摩尔分率之和必须 等于1的关系（摩尔分率约束

6、方程）等。（1）混合器图中有2个流股合并成1个流股，每个流股有 C+2个独立变量，因此总的变量数有3(C+2） 个。对该过程可以建立以下独立方程： 压力平衡方程 P3= min(P1,P2) 物料衡算方程 F3= F1 + F2 热量衡算方程 F1H1+F2H2=F3H3式中H流股的比摩尔焓F流股的摩尔流量x流股中组分的摩尔分率p压力独立方程数 C+2混合器的独立方程数 m = C+ 2混合器的自由度 d = n m =3(C+2)-(C+2)= 2(C+2)如果有S股输入物流，则自由度为S(C+2)，即相 当于S个输入流股变量后，混合器出口流股的 变量也就确定。由直观分析可知，当指定一股输入

7、物流的变量 (C+2)以及一个分割率（其值在01之间），则 该分割器的两股输出物流的变量就完全确定了， 即该简单分割器的自由度为（C+2）+1。（2）分割器F1 C+2F3F2r 独立变量数3(C+2)+1, 过程参数(分流比U) 1个 2个温度等式 T1=T2, T1=T3 2个压力等式 P1=P2, P2=P3 2个物料平衡方程 F2= U*F1, F3=(1-U)*F1 组份等式x1i=x2i (i=1,2,，C-1)x1i=x3i (i=1,2,，C-1)独立方程数 2C+4当一个流股分成S个流股，指定输入流股变量C+2 个以及S-1个分割分率值，则可由S(C+2)个独立 方程式解出S

8、个分支流股包含的变量。这样该 分割器的自由度为 d=(S+1)(C+2)+(S-1)-S(C+2)= (C+2)+(S-1)（3）闪蒸器F1，T1，P1F2，T2，P2F3，T3，P3Q 闪蒸器的加热量Q必须作为设备参数。故总变 量数为3（C+2）+1，表示闪蒸器变量间关系的 方程为：（3）闪蒸器 物料衡算方程 x1i * F1= x2i * F2 + x3i *F3(i=1,2,.,C) 热量衡算方程 F1 * H1+F2 * H2=F3 * H3 温度平衡方程 T2=T3 压力平衡方程 P2=P3 相平衡方程 x2i= ki * x3i (i=1,2,.,C) 共有2C+3个独立方程 故自

9、由度为d= 3(C+2)+1 (2C+3) = （C +2）+2规定闪蒸压力，闪蒸温度，气化量，气化率等（4）换热器F1，T1F3，T3QF4，T4F2，T2换热器的热负荷可作为设备参数由设计规定。对 换热器的热流一侧和冷流一侧可各写C+2个关 系方程式。故自由度为 d=4(C+2)+1 2(C+2)= 2(C+2) + 1 即当给定进口冷、热物流的变量2(C+2)个以及换 热器的热负荷Q（1个变量）后，出口流股的变 量就完全可由2(C+2)个独立方程式求出。（4）换热器 物料衡算F1=F3， X1i= X3i （i=1,2，C-1） F2=F4， X2i= X4i （i=1,2，C-1） 焓

10、方程H1+H3=H2+H4 传热方程Q=K*A*T 压力方程 P3=f1(P1), P4=f2(P2)（5）反应器F1，T1，P1F2，T2，P2Q1 2 ，P常用的反应器模型是规定出口反应程度的宏观模型。 不假定反应达到平衡，而是规定了r个独立反应的反应 程度（ 1，2 ，r )。向反应器提供的热量Q（ 移出时Q为负值）和反应器中的压降P是两个设备单 元参数，所以共有r+2个设备单元参数，独立方程数为 C个组分物料平衡方程，1个焓平衡方程，1个压力平 衡方程，即独立方程数为C+2个。其自由度d d=2(C+2)+(r+2) - (C+2 ) =(C +2)+ r + 2 压力变化单元包括阀门

11、、泵、压缩机等。压力单 元中除了压降P作为设计参数规定外，对于 泵、压缩机而言，与物料无关的能量流（轴功 ）也作为设计参数予以规定；独立方程数为C 个组份物料平衡方程，1个温度相等（忽略温 度变化）方程，1个压力方程，即独立方程总 数为C+2个。（6）压力变化单元阀门自由度为 d=2(C+2)+1-(C+2)=(C+2)+1泵、压缩机自由度 d=2(C+2)+2-(C+2)= (C+2)+2PC+2C+2C+21C+2C+2C+22通过对上述过程单元的自由分析，可 以归纳出过程单元的自由度计算通式 ：过程系统的自由度分析混合器5压缩机5分流器10反应器5换热器8阀 5闪蒸9放空产物355513

12、214155513551）有箭头数字代表Ci+22）无箭头数字代表设备数3）方框内数字代表独立方程数5 以上例子中系统的自由度d=Nv-NE（其中Nv，Ne分别为系统总变量数和总方程数）确定，这样对 于复杂的系统，其自由度的确定相当繁琐。 过程系统的自由度可在过程单元自由度分析基础上，由下式确定： 这个结论是基于每增加一个联结流股，就相应 地增加Cj+2个联结方程这一事实得出的。 联结流股变量数可以流股组份Cj表示kj(L)= Cj + 2 上述例子中联结流股有7条，每个流股的变量数 是5，所以 kj(L)= 5 7 =35 该系统中自由度之和为di(u)=51实际建模的自由度分析：平衡闪蒸的系统模型与分析2.3 过程系统的结构分析现代化的大型化工企业是一个规模庞大、结构复 杂、循环嵌套、影响因素众多的大型过程系统 。描述这样的系统要用成千上万个方程式，其 中常常会出现某些必须同时求解的非线性，代 数、微分方程混杂的方程组，当方程组的维数 很高时，即使使用计算机求解也存在一定的困 难。因此有必要采用结构分析的方法将系统分 解，把大系统分解成若干个相互独立的子系统 ，然后按一定的次序计算、迭代求解。