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1、返回总目录制作与设计 贾启芬第第5 5章章 多自由度系统的数值计算方法多自由度系统的数值计算方法 振动理论与应用Theory of Vibration with Applications返回首页第5章多自由度系统的数值计算方法 Theory of Vibration with Applications5.1 5.1 瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法5.2 5.2 李兹李兹(Ritz)(Ritz)法法5.3 5.3 邓克莱邓克莱( (DunkerleyDunkerley) )法法5.4 5.4 矩阵迭代法矩阵迭代法5.5 5.5 子空间迭代法子空间迭代法5.6 5.6
2、 传递矩阵法传递矩阵法 返回首页Theory of Vibration with Applications第5章多自由度系统的数值计算方法 5.1 5.1 瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法返回首页Theory of Vibration with Applications5.1 5.1 瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法5.1.1瑞利第一商 5.1.2瑞利第二商 返回首页Theory of Vibration with Applications5.1 5.1 瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法 5.1.1瑞利第一商设
3、A为振型矢量，对于简谐振动，其最大动能和最大势能为对于保守系统，由能量守恒，则有若A是系统的第i阶主振型A(i)，则得相应的主频率的平方若A是任意的n维矢量，则可得称为瑞利商为了区别用位移方程求得的值，又称之为瑞利第一商。 返回首页Theory of Vibration with Applications5.1 5.1 瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法5.1.1瑞利第一商瑞利第一商值是否为系统某一主频率的平方，则决定于 所取矢量A。如果A与某一主振型矢量接近，则所得瑞利商是相应的固有频率的近似值。实际上，对高阶振型很难 做出合理的假设，而对于第一阶主振型则比较容易估
4、计， 所以此方法常用于求基频，现推证如下。 按照振型叠加的原理，系统的任何可能位移，包括假设 振型，都可以描述为各阶主振型的线性组合。现取假设振 型A是正则振型矢量的线性组合，即返回首页Theory of Vibration with Applications5.1 5.1 瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法5.1.1瑞利第一商现取假设振型A是正则振型矢量的线性组合，即是组合系数的列矩阵，且为非全为零的常数Ci可用振型的正交条件求出。即前乘返回首页Theory of Vibration with Applications5.1 5.1 瑞利瑞利(Rayleigh)(R
5、ayleigh)能量法能量法5.1.1瑞利第一商代入返回首页Theory of Vibration with Applications5.1 5.1 瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法5.1.2瑞利第二商 瑞利商的平方根是基频p1的近似值。假设振型越接近于真实的第一阶振型，则结果越准确。通常，以系统的静变形作为假设振型，可以得到较满意的结果。 1由于假设振型A接近于第一阶主振型，所以有，返回首页Theory of Vibration with Applications5.1 5.1 瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法5.1.2瑞利第二商 用瑞
6、利法求出的基频近似值大于实际的基频p1 。这是由于假设振型偏离了第一阶振型，相当于给系统增加了约束，因而增加了刚度，使求得的结果高于真实的值。 由于 1返回首页Theory of Vibration with Applications5.1 5.1 瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法5.1.2瑞利第二商 如果采用位移方程描述系统的运动微分方程，即前乘以同理，若A是任意的n矢量，则有 称为瑞利第二商若假设振型接近于第一阶主振型时，则 是基频 的近似值 给出同样假设振型的同一振动系统，用瑞利第二商计算 的结果，要比用瑞利第一商计算的结果更精确一些。 返回首页Theory
7、of Vibration with Applications5.1 5.1 瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法5.1.2瑞利第二商 例5-1 用瑞利法求图示三自由度扭转系统的第一阶固有频率的估 值。已知k1=k2=k3=k；I1=I2=I3=I。 解：系统的质量矩阵和刚度矩 阵为逆矩阵计算得求第一阶固有频率的估值，取假设振型返回首页Theory of Vibration with Applications5.1 5.1 瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法5.1.2瑞利第二商 在上面的计算中，假设振型比较“粗糙”，与该系统的第一阶固有频率 ，精确到第四位值的比较误差较大。返回首页Theory of Vibration with Applications5.1 5.1 瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)能量法能量法5.1.2瑞利第二商 如果进一步改进假设振型，即以静变形曲线为假设振型， 设显然，在工程上，若以静变形曲线作为假设振型，可以得 到很好的第一阶固有频率的近似值。
