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1、北师大版 2018 年高中数学选修 2-2 同步优化指导练习含答案1模块综合测评(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1设复数 z1 (其中 i 为虚数单位)，则 z23的虚部为( )2izA2i B0 C10 D2解析：z1 12i，z2(12i)2i234i，12i.z2334i3(12i)2i.虚部为 2.zz答案：D2观察一列数的特点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，则第 100 项是( )A10B13C14D100解析：91，113 132从第 92 项开始为 14，共有 14 项第 100 项为 14.答案：C
2、3已知 i 是虚数单位，且 z2 0142i 的共轭复数为，则 z( )(1i1i)zzA5B1CD95解析：z2 0142i(i)2 0142i12i，故 z(12i)(12i)5.(1i1i)z答案：A4数列an中，a11，当 n2 时，anan12n1，依次计算 a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( )A3n2Bn2C3n1D4n3解析：计算出 a24，a39，a416，猜想 ann2.答案：B5为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文(加密)，接受方由密文北师大版 2018 年高中数学选修 2-2 同步优化指导练习含答案2明文(解密)，已知加密规则为：明文 a，b，c，d
3、对应密文 a2b，2bc，2c3d,4d，例如，明文 1,2,3,4 对应密文 5,7,18,16.当接受方收到密文 14,9,23,28 时，解密得到的明文为( )A4,6,1,7B7,6,1,4C6,4,1,7D1,6,4,7解析：由Error!得Error!故选 C答案：C6(2017北京卷)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是( )A(，1)B(，1)C(1，)D(1，)解析：(1i)(ai)aiaii2a1(1a)i.由复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，得Error!解得 a1.答案：B7由直线 x ，x，y0 与曲线 ysin
4、 x 所围成的封闭图形的面积为( )676A2B433C2D433解析：如下图，封闭图形的面积为Ssinxdx sinxdxsinxdx 02sinxdx sinxdx 02(cosx)(cosx)| 02(cos cos 0)cos 0cos(6)2(11)4.(132)3北师大版 2018 年高中数学选修 2-2 同步优化指导练习含答案3答案：B8已知 ， 是三次函数 f(x) x3 ax22bx(a，bR)的两个极值点，且 (0,1)，1312(1,2)，则的取值范围是( )b3a2A B(，25)(25，1)C(1，)D(1，)(，25)解析：因为函数有两个极值，所以 f(x)0 有两
5、个不同的根，即 0.又 f(x)x2ax2b，(0,1)，(1，2)，所以Error!即Error!的几何意义是动点 P(a，b)到b3a2定点 A(2,3)两点连线的斜率作出可行域如图，由图像可知当直线经过 AB 时斜率最小，此时斜率为 k ；当直线经过 AD 时斜率最大，此时斜率为 k1.故13322503124，则( )Af(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)Df(x1)与 f(x2)的大小不确定解析：由 f(4x)f(x)，得函数 f(x)的图像关于直线 x2 对称由(x2)f(x)x12 时，f(x1)f(x2)；当 x22x1时，由 x1x24，得 x24x12.故 f(4x1
6、)f(x1)f(x2)综上，f(x1)f(x2)答案：B10若直线 xym0(mR)不可能是曲线 f(x)ax2ln x 的切线，则实数 a 的取值北师大版 2018 年高中数学选修 2-2 同步优化指导练习含答案4范围是( )Aa0Ba18Ca0)，且直线 xym0(mR)的斜率为1.1x由对任意实数 m 直线 xym0 都不是曲线 yf(x)的切线，得曲线 yf(x)的切线的斜率不可能为1，即 2ax 1 无正实数根1x分离 a，得 a，也就是当 x0 时，不能成立12x212x令 y2 ，12x212x12(1x12)18设 t ，由 x0，得 t0.1x则 y2 0 且 a1)在区间0
7、，)上是增函数，那么实数 a 的取值范围是( )AB(0，2333，1)C(1，D332，)解析：由已知得 f(x)2a2xln a(3a21)axln aaxln a(2ax3a21)0.当 a1 时，ln a0，ax0，2ax3a210 恒成立当 x0，)时，ax1，故只需 23a210，3a21.a2 与 a1 矛盾13当 00，2ax3a210，且 f(x)的值域为0，)，则的最小值为_f1f0北师大版 2018 年高中数学选修 2-2 同步优化指导练习含答案6解析：f(x)2axb，f(0)b0.又函数 f(x)的值域为0，)，a0，且 b24ac0，即 4acb2.c0.f(1)a
8、bc，111112，当且f1f0abcbacb2 acb4ac4ac仅当 ac 时等号成立的最小值为 2.f1f0答案：216定义两个实数间的一种新运算“*”：x*ylg(10x10y)，x，yR.对任意实数a，b，c，给出下列结论：(a*b)*ca*(b*c)；a*bb*a；(a*b)c(ac)*(bc)其中正确的是_(填序号)解析：a*blg(10a10b)，(a*b)*clg(10lg(10a10b)10c)lg(10a10b10c)同理 a*(b*c)lg(10a10b10c)a*(b*c)(a*b)*c.故正确同理可验证正确a*blg(10a10b)，b*alg(10a10b)，a*
9、bb*a.又(ac)*(bc)lg(10ac10bc)lg10c(10a10b)lg(10a10b)c，(a*b)clg(10a10b)c，(a*b)c(ac)*(bc)故正确答案：三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17(10 分)求证：acbd.a2b2c2d2证明：若 acbd0，则不等式显然成立若 acbd0，要证原不等式成立，只要证(acbd)2(a2b2)(c2d2)，即要证 a2c22abcdb2d2a2c2a2d2b2c2b2d2，只要证(adbc)20.北师大版 2018 年高中数学选修 2-2 同步优化指导练习含答案7此式显然成立，所以原不等式成立18(12 分)
10、设复数 z 满足 4z23i，sin icos (R)求 z 的值和|z|z3的取值范围解：设 zabi(a，bR)，则abi.z代入 4z23i，z3得 4(abi)2(abi)3i，3即 6a2bi3i.3Error!解得Error!z i.3212|z|3212isin icos | (32sin )2(12cos )22 3sin cos .22sin(6)1sin1，(6)022sin4.(6)0|z|2.故|zw|的取值范围是0,219(12 分)已知复数 z(2xa)(2xa)i，x，aR，当 x 在(，)内变化时，试求|z|的最小值 g(a)解：|z|2(2xa)2(2xa)2
11、22x22x2a(2x2x)2a2.令 t2x2x，则 t2,22x22xt22.从而|z|2t22at2a22(ta)2a22.当a2，即 a2 时，g(a)；a22当a2 时，g(a)|a1|.a22a22220(12 分)用数学归纳法证明不等式：.2124142n12nn1北师大版 2018 年高中数学选修 2-2 同步优化指导练习含答案8证明：当 n1 时，左式 ，右式，322左式右式，所以不等式成立假设 nk(k 1，kN)时不等式成立，即，2124142k12kk1则当 nk1 时， .2124142k12k2k32k1k12k32k12k32 k1要证当 nk1 时不等式成立，只
12、需证，2k32 k1k2即证.2k32k1k2由基本不等式成立，故成立2k32k1k22k1k22k32 k1k2所以，当 nk1 时，不等式成立由可知，nN时，不等式成立2124142n12nn121(12 分)已知函数 f(x)x32bx2cx2 的图像在与 x 轴交点处的切线方程是y5x10.(1)求函数 f(x)的解析式(2)设函数 g(x)f(x) mx，若 g(x)的极值存在，求实数 m 的取值范围以及函数 g(x)取13得极值时对应的自变量 x 的值解：(1)由已知得切点为(2,0)，故有 f(2)0，即 4bc30.又 f(x)3x24bxc，由已知 f(2)128bc5，得
13、8bc70.联立，解得 b1，c1.所以函数的解析式为 f(x)x32x2x2.(2)g(x)x32x2x2 mx，13令 g(x)3x24x1 m0.13北师大版 2018 年高中数学选修 2-2 同步优化指导练习含答案9当函数有极值时，方程 3x24x1 m0 有实数解，即 0.13由 4(1m)0，得 m1.当 m1 时，g(x)0 有实数根 x ，在 x 左右两侧均有 g(x)0，故函数 g(x)2323无极值当 m0)，将 f(x)在1,1上的最小值记为 g(a)(1)求 g(a)(2)证明：当 x1,1时，恒有 f(x)g(a)4.(1)解：因为 a0，1x1，所以当 00.故 f(x)在(a,1)上是增函数所以 g(a)f(a)a3.当 a1 时，有 xa，则 f(x)x33x3a，f(x)3x230.知 t(a)在(0,1)上是增函数，所以 t(a)t(1)4，即 h(1)4.故 f(x)g(a)4.当 a1 时，g(a)23a，故 h(x)x33x2，得 h(x)3x23.此时 h(x)在(1,1)上是减函数因此 h(x)
