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1、学案学案2 2 平面向量的基本定平面向量的基本定理及坐标表示理及坐标表示平面向量的 基本定理及 坐标标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义义. (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标标表示.(3)会用坐标标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. (4)理解用坐标标表示的平面向量共线线的 条件.引入向量的坐标后，使向量之间的运算代数化，更加容易进行，高考常常考查向量之间各种坐标运算，处理向量的平行，以及作为工具解决与之有关的几何、三角等知识.1.两个向量的夹角(1)定义已知两个 向量a和b，作 OA=a,OB=b， 则AOB= 叫做向量a与b的夹角(如图).非零 (2)范围向量夹角的范围是 ,a
2、与b同向时,夹角= ;a与b反向时,夹角= .(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是 ,则a与b垂直,记作 .2.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于平0180 0 180 90 ab 不平行 面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a = .其中,不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 .(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐标表示1e1+2e2基底 互相垂直 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底.对于平面内的一个向量a，
3、有且只有一对实数 x,y，使得 a=xi+yj . 把有序数对 叫做向量a的坐标,记作a= ,其中 叫做a在x 轴上的坐标, 叫做a在y轴上的坐标. 设OA=xi+yj,则 就是终点A的坐标,即若OA=(x,y),则A点坐标为 ,反之亦成立(O是坐标原点).3.平面向量的坐标运算(1) 加法、减法、数乘运算(x,y) (x,y) (x,y) 向量OA的坐标(x,y) x y (2)向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=（x2-x1,y2-y1)，即一个向量的坐标等于该向量的 坐标减去 的坐标.(3)平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0
4、,则a与b共线a= .x1y2-x2y1=0终点始点 b 如右图，在ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC.AM与BN相交于点P，求AP:PM的值.【分析分析】本题可先利用平面向量基本定理设出，然后利用共线向量的条件列出方程组，从而确定参 数 的值.考点考点1 1 平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用 【解析解析】设BM=e1,CN=e2,则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2.A,P,M和B,P,N分别共线,存在实数,使AP=AM=-e1-3e2,BP=BN=2e1+e2, 故BA=BP-AP=(+2)e1+(3+)e2. 而BA=B
5、C+CA=2e1+3e2,+2=2 =3+=3, = . 故AP= AM,即AP:PM=4:1.由基本定理，得解得【评析评析】 （1）充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线.注意方程思想的应用.（2）用基底表示向量也是用向量解决问题的基础.应根据条件灵活应用，熟练掌握.【解析】 【分析分析】利用向量的坐标运算解题.考点考点2 2 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 设向量a=(1,0),b=( , ),则下列结论中正确的是( )A.|a|=|b| B.ab= C.a-b与b垂直 D.ab【解析】A项,|a|=1,|a|b|,A项错;B项,ab=1 +0 = ,B项错;C项,(a-b
6、)b=ab-|b|2=0,故C项正确.故应选C.【评析评析】利用平面向量的坐标运算分别判断四个选项 的正误.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b.(1) 3a+b-3c=_;(2)向量MN的坐标为_.【解析】由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)CM=OM-OC=3c,OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).M(0,20).又CN=ON-OC=-2b
7、,ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),N(9,2).MN=(9,-18).平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).若(a+kc)(2b-a),求实数k.【分析分析】 (1)由两向量平行及两向量平行的条件得出关于k的方程,从而求出实数k的值.考点考点3 3 平行平行( (共线共线) )向量的坐标运算向量的坐标运算 【解析解析】 (a+kc)(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k=- .【评析评析】向量平行的坐标公式实质是把向量问题转化为实数的运算问题.已知向量a=(1
8、,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且uv,则实数x的值为_.因为a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,所以u=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).又因为uv,所以3(2x+1)-4(2-x)=0,即10x=5,解得x= .1.1.建立平面向量的坐标，基础是平面向量基本定理建立平面向量的坐标，基础是平面向量基本定理. .因因此，对所给向量应会根据条件在此，对所给向量应会根据条件在x x轴和轴和y y轴进行分解，轴进行分解，求出其坐标求出其坐标. .2.2.已知向量的始点和终点坐标已知向量的始点和终点坐标
9、, ,求向量的坐标时求向量的坐标时, ,一定一定要搞清方向，用对应的终点坐标减始点坐标要搞清方向，用对应的终点坐标减始点坐标. .1.1.要区分点的坐标与向量的坐标要区分点的坐标与向量的坐标, ,尽管在形式上它尽管在形式上它们完全一样们完全一样, ,但意义完全不同但意义完全不同, ,向量的坐标中同样有方向向量的坐标中同样有方向与大小的信息与大小的信息. .2. 2.在处理分点问题比如碰到条件在处理分点问题比如碰到条件“ “若若P P是线段是线段ABAB的的分点，且分点，且|PA|=2|PB|”|PA|=2|PB|”时，时，P P可能是可能是ABAB的内分点，也可的内分点，也可能是能是ABAB的外分点，即可能的结论有：的外分点，即可能的结论有：AP=2PBAP=2PB或或AP=-AP=-2PB.2PB.3. 3.数学上的向量是自由向量数学上的向量是自由向量, ,向量向量x=(x=(a,ba,b) )经过平移经过平移后得到的向量的坐标仍是后得到的向量的坐标仍是( (a,ba,b). ).名师伴你行
