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1、2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案113绝对值不等式的解法对应学生用书P10读教材填要点1含绝对值的不等式|x|a 与|x|a 的解集不等式a0a0|x|aa，a|x|a(，aa，R2|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法(1)|axb|ccaxbc；(2)|axb|caxbc 或 axbc.3|xa|xb|c 和|xa|xb|c 型不等式的解法(1)分区间讨论法：以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想确定各个绝对值符号内多项式的正、负进而去掉绝对值符号是解题关键(2)图象法：构造函数，结合函数
2、的图象求解(3)几何法：利用绝对值不等式的几何意义求解小问题大思维1|x|以及|xa|xb|表示的几何意义是什么？提示：|x|的几何意义是数轴上表示数 x 的点到原点 O 的距离；|xa|xb|的几何意义是数轴上表示数 x 的点与表示数 a，b 的点的距离之和(差)2如何解|xa|xb|、|xa|xb|(ab)型的不等式的解集？提示：可通过两边平方去绝对值符号的方法求解对应学生用书P10含一个绝对值不等式的解法例 1 解下列不等式：(1)1|x2|3；(2)|2x5|7x；2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案2(3).1x221|x|思路点拨 本题考查较简单的绝
3、对值不等式的解法解答本题(1)可利用公式转化为|axb|c(c0)或|axb|c(c0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式(3)可分类讨论去掉分母和绝对值精解详析 (1)法一：原不等式等价于不等式组Error!即Error!解得1x1 或 3x5，所以原不等式的解集为x|1x1 或 3x5法二：原不等式可转化为：Error!或Error!由得 3x5，由得1x1，所以原不等式的解集是x|1x1 或 3x5(2)由不等式|2x5|7x，可得 2x57x 或 2x5(7x)，整理得 x2
4、或 x4.原不等式的解集是x|x4 或 x2(3)当 x220 且 x0，即当x，22且 x0 时，原不等式显然成立当 x220 时，原不等式与不等式组Error!等价，x22|x|即|x|2|x|20，|x|2，不等式组的解为|x|2，即 x2 或 x2.原不等式的解集为(，2(，0)(0，)2，)22含一个绝对值不等式的常见类型及其解法：(1)形如|f(x)|a，|f(x)|a(aR)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即当 a0 时，|f(x)|aaf(x)a.2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案3|f(x)|af(x)a 或 f(x)a.当 a0
5、时，|f(x)|a 无解|f(x)|af(x)0.当 a0 时，|f(x)|a 无解|f(x)|af(x)有意义(2)形如|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)，|f(x)|g(x)f(x)g(x)或 f(x)g(x)(其中 g(x)可正也可负)若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂(3)形如 a|f(x)|b(ba0)型不等式此类问题的简单解法是利用等价命题法，即a|f(x)|b(0ab)af(x)b 或bf(x)a.(4)形如|f(x)|f(x)，|f(x)|f(x)型不等式此类题的简单解法是利
6、用绝对值的定义，即|f(x)|f(x)f(x)0，|f(x)|f(x)x.1设函数 f(x)|2xa|5x，其中 a0.(1)当 a3 时，求不等式 f(x)5x1 的解集；(2)若不等式 f(x)0 的解集为x|x1，求 a 的值解：(1)当 a3 时，不等式 f(x)5x1 可化为|2x3|1，由此可得 x2 或 x1.故不等式 f(x)5x1 的解集为x|x1 或 x2(2)由 f(x)0 得|2xa|5x0，此不等式可化为不等式组Error!或Error!即Error!或Error!因为 a0，所以不等式组的解集为Error!.由题设可得 1，故 a3.a3含两个绝对值不等式的解法20
7、17-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案4例 2 解不等式|x7|3x4|0.32 2思路点拨 先求出零点即 x7，再分段讨论43精解详析 原不等式化为|x7|3x4|10，2当 x 时，原不等式为 x7(3x4)10，432得 x0，2得 x ，1224即 0，2得 x6，与 x3 时，f(x)x4，所以 f(x)在(3，)上单调递增故当 x 时，yf(x)取得最小值，12此时 f(x)min .72含参数的绝对值不等式的解法例 3 设函数 f(x)|x1|xa|.如果xR，f(x)2，求 a 的取值范围思路点拨 本题考查绝对值不等式的解法解答本题应先对 a 进行分类
8、讨论，求出函数 f(x)的最小值，然后求 a 的取值范围精解详析 若 a1，f(x)2|x1|，不满足题设条件若 a1，f(x)Error!f(x)的最小值为 1a.若 a1，f(x)Error!f(x)的最小值为 a1.2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案6所以xR，f(x)2 的充要条件是|a1|2，从而 a 的取值范围为(，13，)含有参数的不等式的求解问题分两类，一类不需要对参数进行讨论，另一类如本例，对参数 a 进行讨论，得到关于参数 a 的不等式(组)，进而求出参数的取值范围3(辽宁高考)已知函数 f(x)|xa|，其中 a1.(1)当 a2 时，求
9、不等式 f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于 x 的不等式|f(2xa)2f(x)|2 的解集为x|1x2，求 a 的值解：(1)当 a2 时，f(x)|x4|Error!当 x2 时，由 f(x)4|x4|，得2x64，解得 x1；当 2 同时成立，那么 x 的取值范围是( )1x13A.Error! B.Error!C.Error! D.Error!解析：解不等式 ；1x12解不等式|x| 得 x 或 x0 时，要使|x1|kx 恒成立，只需 k1.综上可知 k0,1答案：C二、填空题5不等式|2x1|2|x1|0 的解集为_2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同
10、步教学案8解析：原不等式即|2x1|2|x1|，两端平方后解得 12x3，即 x .14答案：Error!6不等式1 的实数解集为_|x1|x2|解析：1|x1|x2|，x20|x1|x2|(x1)2(x2)2，x2x ，x2.32答案：(，2)(2，327若不等式Error!xError!|a2|1 对于一切非零实数 x 均成立，则实数 a 的取1x值范围是_解析：|x |2，|a2|12，即|a2|1，解得 1a3.1x答案：1a38若关于 x 的不等式|x1|xa|a 的解集为 R(其中 R 是实数集)，则实数 a 的取值范围是_解析：不等式|x1|xa|a 恒成立，a 不大于|x1|x
11、a|的最小值，|x1|xa|1a|，|1a|a,1aa 或 1aa，解得 a .12答案：(，12三、解答题9解不等式|2x4|3x9|1.解：(1)当 x2 时，原不等式可化为Error!解得 x2.(2)当3x2 时，原不等式可化为Error!解得 x2.652017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案9(3)当 x3 时，原不等式可化为Error!解得 x12.综上所述，原不等式的解集为Error!.10已知函数 f(x)|2x1|x2a|.(1)当 a1 时，求 f(x)3 的解集；(2)当 x1,2时，f(x)3 恒成立，求实数 a 的取值范围解：(1)当 a
12、1 时，原不等式可化为|2x1|x2|3，当 x2 时，得 3x33，则 x2，无解；当 x2 时，得 x13，则 x2，所以 x2；1212当 x0)(1)当 a4 时，已知 f(x)7，求 x 的取值范围；(2)若 f(x)6 的解集为x|x4 或 x2，求 a 的值解：(1)因为|x3|x4|x3x4|7，当且仅当(x3)(x4)0 时等号成立所以 f(x)7 时，3x4，故 x3,4(2)由题知 f(x)Error!当 a36 时，不等式 f(x)6 的解集为 R，不合题意；当 a36 时，不等式 f(x)6 的解为Error!或Error!即Error!或Error!又因为 f(x)6 的解集为x|x4 或 x2，所以 a1.2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案10
