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1、2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案115不等式证明的基本方法15.1 比 较 法对应学生用书P16读教材填要点1定义要证 ab，只需要证 ab0；要证 ab0 时， 1，0，则1；abab2(ab)2a b当 ba0 时，01.(ab)2a b综上可知，当 a，b(0，)时，aabb(ab) 成立2a b(1)比较法证明不等式的过程中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式
2、”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论1已知 x1，求证：1 .1xx2证明：x1，1x0，0.1x(1 )1xx21xx1122017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案3x1x1212 (x1)2112x1 (1)20，12x11 .1xx2比较法的实际应用例 2 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度 m 行走，另一半以速度 n 行走；乙有一半路程以速度 m 行走，另一半路程以速度 n 行走如果mn，问甲、乙二
3、人谁先到达指定地点？思路点拨 本题考查比较法在实际问题中的应用，解答本题需要设出从出发点到指定地点的路程 s，甲、乙二人走完这段路程各自需要的时间 t1、t2，然后利用作差法比较t1，t2的大小即可精解详析 设从出发地点至指定地点的路程为 s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为 t1、t2，依题意有：m ns，t12t12t2.s2ms2nt1，t2.2smnsmn2mnt1t22smnsmn2mns4mnmn22mnmn.smn22mnmn其中 s，m，n 都是正数，且 mn，t1t20，即 t1t2.从而知甲比乙先到达指定地点应用不等式解决问题时，关键是如何把等量关系不等量关系转化为不
4、等式的问题来解决，也就是建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解解答不等式问题，一般可分为如下步骤：阅读理解材料；建立数学模型；讨论不等式关系；作2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案4出问题结论2某人乘出租车从 A 地到 B 地，有两种方案第一种方案：乘起步价为 10 元，超过规定里程后每千米 1.2 元的出租车；第二种方案：乘起步价为 8 元，超过规定里程后每千米 1.4 元的出租车按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从 A 地到 B 地选择哪一种方案比较合适？解：设 A 地到 B 地的距离为 m 千米起步价内
5、行驶的路程为 a 千米显然当 ma 时，选起步价为 8 元的出租车比较合适当 ma 时，设 max(x0)，乘坐起步价为 10 元的出租车费用为 P(x)元乘坐起步价为 8 元的出租车费用为 Q(x)元，则 P(x)101.2x，Q(x)81.4x.P(x)Q(x)20.2x0.2(10x)当 x10 时，P(x)Q(x)，此时选择起步价为 8 元的出租车较为合适当 x10 时，P(x)Q(x)，两种出租车任选，费用相同对应学生用书P18 一、选择题1下列关系中对任意 ab0 的实数都成立的是( )Aa2b2 Blgb21 Da2b2ba(12)(12)解析：ab0，ab0.(a)2(b)20
6、.即 a2b20.1.b2a2又 lg b2lg a2lglg 10.b2a2lg b2lg a2.答案：B2已知 P，Qa2a1，那么 P、Q 的大小关系是( )1a2a12017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案5APQ BPp BmnpCnmp Dnmp解析：由已知，知 m，n，得 ab0 时 mn，可否定 B、C.比较abbaabA、D 项，不必论证与 p 的关系取特值 a4，b1，则 m4 ，n213，1292mn.可排除 D.答案：A4若 a，b 为不等的正数，则(abkakb)(ak1bk1)(kN)的符号( )A恒正 B恒负C与 k 的奇偶性有关 D与
7、 a，b 大小无关解析：(abkakb)ak1bk1bk(ab)ak(ba)(ab)(bkak)a0，b0，若 ab，则 akbk，(ab)(bkak)0，MN0.即 MN.答案：MN6设 0a2，a0，b0，得 ba.又 cb(1x)0，11x11x21xx21x得 cb，知 c 最大答案：c7如果 a0，b0，则下列两式的大小关系为 lg(1)_ lg(1a)lg(1b)ab12(填不等关系符号)解析：(1a)(b1)1abab， lg(1a)lg(1b)12lg .1abab(1)2()22(ab)，ab1ababab又 ab2，2(ab)0.abablg(1) lg(1a)lg(1b)
8、ab12答案：8一个个体户有一种商品，其成本低于元如果月初售出可获利 100 元，再将3 5009本利存入银行，已知银行月息为 2.5%，如果月末售出可获利 120 元，但要付成本的 2%的保管费，这种商品应_出售(填“月初”或“月末”)解析：设这种商品的成本费为 a 元月初售出的利润为 L1100(a100)2.5%，月末售出的利润为 L21202%a，则 L1L21000.025a2.51200.02a0.045，(a3 5009)a0.abab所以 a3b3(a2b2)ab11设 mR，ab1，f(x)，比较 f(a)与 f(b)的大小mxx1解：f(a)f(b).maa1mbb1mbaa1b1ab1，ba0，b10，0 时，0，f(a)f(b)；mbaa1b1当 m0 时，0，f(a)f(b)mbaa1b1
