《2017-2018学年高中数学人教b版选修4-5教学案第一章1．51．5.3反证法和放缩法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教b版选修4-5教学案第一章1．51．5.3反证法和放缩法（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案115.3 反证法和放缩法对应学生用书P21读教材填要点1反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来结论是正确的，这种方法称为反证法2放缩法在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简，达到证明目的，这种方法称为放缩法小问题大思维1用反证法证明不等式应注意哪些问题？提示：用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能
2、要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的2运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应
3、的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式对应学生用书P21用反证法证明否定性结论例 1 设 a，b，c，d 都是小于 1 的正数，求证：4a(1b)，4b(1c)，4c(1d)，4d(1a)这四个数不可能都大于 1.思路点拨 本题考查反证法的应用解答本题若采用直接法证明将非常困难，因此2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案2可考虑采用反证法从反面入手解决精解详析 假设 4a(1b)1,4b(1c)1,4c(1d)1，4d(1a)1，则有a(1b) ，b(1c) ，1414c(1d) ，d(1a) .1414
4、， ，a1b12b1c12 ， .c1d12d1a12又，a1ba1b2b1cb1c2，c1dc1d2d1ad1a2 ， ，a1b212b1c212 ， .c1d212d1a212将上面各式相加得 22，矛盾4a(1b)，4b(1c)，4c(1d)，4d(1a)这四个数不可能都大于 1.(1)当证明的结论中含有“不是” ， “不都” ， “不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式与已知相矛盾，与假设矛盾，与显然成立的事实相矛盾1已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 anSn2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证数
5、列an中不存在三项按原来顺序成等差数列解：(1)当 n1 时，a1S12a12，则 a11.又 anSn2，所以 an1Sn12，两式相减得 an1 an，12所以an是首项为 1，公比为 的等比数列，122017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案3所以 an.12n1(2)反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为 ap1，aq1，ar1(p0，且(x1)2(y1)2(z1)0abc0 这与 abc0 矛盾因此，a，b，c 中至少有一个大于 0.(1)在证明中含有“至少” 、 “至多” 、 “最多”等字眼时，或证明否定性命题、惟一性命题时，可使用反证法证明在证明
6、中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾，也可以自相矛盾(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾2实数 a，b，c，d 满足 abcd1，acbd1.求证：a，b，c，d 中至少有一个是负数证明：假设 a，b，c，d 都是非负数，即 a0，b0，c0，d0，则 1(ab)(cd)(acbd)(adbc)acbd.这与已知中 acbd1 矛盾，原假设错误，2017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案4故 a，b，c，d 中至少有一个是负数.用放缩法证明不
7、等式例 3 求证： 12 (nN*且 n2)321n11221n21n思路点拨 本题考查放缩法在证明不等式中的应用，解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式精解详析 k(k1)k2k(k1)，.1kk11k21kk1即 (kN且 k2)1k1k11k21k11k分别令 k2,3，n 得 1 ， ，12131221213141321213 ，将这些不等式相加得1n1n11n21n11n 1 ，121313141n1n11221321n21212131n11n即 1 .121n1122
8、1321n21n1 111 .121n11221321n21n即 12 (nN且 n2)成立321n11221321n21n(1)放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证 ab，可换成证 ac且 cb，欲证 a1 DM 与 1 大小关系不定解析：2101210,2102210，2111210，M12101210112102121112)，则( )1a2Apq Bp0，1a2p224，而 q(a2)24，由 a2，可得 qq.答案：A二、填空题5给出下列两种说法：已知 p3q32，求证 pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知 a，bR，|a|b|2，所以错误；对于，其假设正确答
9、案：6用反证法证明“已知平面上有 n(n3)个点，其中任意两点的距离最大为 d，距离为 d 的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为 n 条”时，假设的内容为_解析：对“至多”的否定应当是“至少” ，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为 n1 条” 答案：直径的数目至少为 n1 条7A1与(nN)的大小关系是_12131nn解析：A.1112131n111+nnnn1 4 44 2 4 4 43 项nnn答案：An8设 a0，b0，M，N，则 M 与 N 的大小关系是_abab2aa2bb2解析：a0，b0，N aa2bb2aab2bab2M.abab2
10、M1 且 y(2z)1 且 z(2x)1 均成立，则三式相乘有：xyz(2x)(2y)(2z)1.由于 0x2xyy2y2yzz2z2zxx2(xyz)32证明：x2xyy2 (xy2)234y2(xy2)2|x |x .y2y2同理可得：y ，y2yzz2z2z .z2zxx2x2由于 x、y、z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式累加得： (xyz)x2xyy2y2yzz2z2zxx2(xy2) (yz2) (zx2)3211设数列an的前 n 项和为 Sn，a11，Snnan2n(n1)(1)求数列an的通项公式 an；(2)设数列的前 n 项和为 Tn，1anan1求证： Tn .1514解：(1)由 Snnan2n(n1)得an1Sn1Sn(n1)an1nan4n，即 an1an4.数列an是以 1 为首项，4 为公差的等差数列，an4n3.(2)证明：Tn1a1a21a2a31anan111 515 919 1314n3 4n12017-2018 学年高中数学人教 B 版选修 4-5 同步教学案914(11515191911314n314n1) .14(114n1)14又易知 Tn单调递增，故 TnT1 ，15得 Tn .1514
