《2017-2018学年高中数学人教a版选修4-5教学案：第三讲本讲知识归纳与达标验收》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教a版选修4-5教学案：第三讲本讲知识归纳与达标验收（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2017-2018 学年高中数学人教 A 版选修 4-5 教学案 1对应学生用书 P37考情分析从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，可也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方” ，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两端是“齐次式”形式的不等式问题真题体验1(陕西高考)设 a，b，m，nR ，且 a2b25，manb5，则 的最小m2n2值为_解析：由柯西不等式得(a2b2)(m2n2)(manb)2，将已知代入得 m2n25 ，当且仅当“ ”时等号成立m2n25ambn答案：52(福建高考)已知定义在 R 上的函数 f(x)|x1|x2|的最小值为 a.(1)求
2、a 的值；(2)若 p，q，r 是正实数，且满足 pqra，求证：p2q2r23.解：(1)因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当1x2 时，等号成立，所以 f(x)的最小值等于 3，即 a3.(2)由(1)知 pqr3，又因为 p，q，r 是正实数，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，即 p2q2r23.对应学生用书 P37利用柯西不等式证明有关不等式问题柯西不等式的一般形式为(a a a )(b b b )(a1b1a2b2anbn)2 12 22 n2 12 22 n2(ai，biR，i1,2，n)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等
3、式，可以2017-2018 学年高中数学人教 A 版选修 4-5 教学案 2使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解例 1 已知 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证：.1a21b21c21d21ab1bc1cd1da证明 由柯西不等式()()()2，1a21b21c21d21b21c21d21a21ab1bc1cd1da于是1a21b21c21d21ab1bc1cd1da等号成立 1a1b1b1c1c1d1d1abacbdcadabcd.又已知 a，b，c，d 不全相等，则中等号不成立即.1a21b21c21d21ab1bc1cd1da利用排序不等式证明有关的不等式问题排序不等式具有自己独特
4、的体现：多个变量的排列与其大小顺序有关，特别是与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷例 2 设 a，b，c 为实数，求证：a10b10c10.a12bcb12cac12ab证明 由对称性，不妨设 abc，于是 a12b12c12，.1bc1ca1ab由排序不等式：顺序和乱序和得.a12bcb12cac12aba12abb12bcc12caa11bb11cc11a又因为 a11b11c11， ，1a1b1c再次由排序不等式：反序和乱序和得.a11ab11bc11ca11bb11cc11a由得2017-2018 学年高中数学人教 A 版选修 4-5 教学案 3a10b1
5、0c10.a12bcb12cac12ab利用柯西不等式或排序不等式求最值问题有关不等式问题往往要涉及到对式子或量的范围的限定其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易例 3 已知 5a23b2，求 a22abb2的最大值158解 (a)2(b)2(55)2(33)2532(555a333b)(ab)2a22abb2，当且仅当 5a3b 即 a ，b 时取等号3858(5a23b2)a22abb2.815a22abb2(5a23b2)8151.815158a22abb2的最大值为 1.例 4 已知正实数 x1，x2，xn满足 x1x2xn
6、P，P 为定值，求F的最小值x2 1x2x2 2x3x 2n1xnx2 nx1解不妨设 001x11x21xn且 00，12，2f(x)2x1232x 22 32(x12)2 2x2 .5 3212 30当且仅当3，22xx12即 2(2x)3(x )即 x时等号成立121110答案：C7设 a，b，c 为正数，ab4c1，则2的最大值是( )abcA. B.53C2 D.332解析：1ab4c()2()2(2)2abc ()2()2(2)2(121212)13abc(2)2 ，abc13(2)23.即当且仅当 ab4c 时等式成立，所求为.abc3答案：B8函数 f(x)cos x，则 f(
7、x)的最大值是( )1cos 2xA. B.322017-2018 学年高中数学人教 A 版选修 4-5 教学案 7C1 D2解析：由 f(x)cos x，1cos 2x所以 f(x) cos x2 sin2x 21sin2xcos2x.当且仅当 cos x时取等号333答案：A9已知 abc1，且 a，b，cR，则的最小值为( )2ab2bc2caA1 B3C6 D9解析：abc1，2ab2bc2ca2(abc)(1ab1bc1ca)(ab)(bc)(ca)(111)29.(1ab1bc1ca)答案：D10设 c1，c2，cn是 a1，a2，an的某一排列(a1，a2，an均为正数)，则的最
8、小值是( )a1c1a2c2ancnA. Bn1nC1 D不能确定解析：不妨设 0a1a2an，则， ， ，是， ，1a11a21an1c11c21cn1a11a2的一个排列，又反序和乱序和，所以n.1ana1c1a2c2ancna1a1a2a2anan答案：B二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把正确答案填写在题中横线上)11x，yR，若 xy1，则 x2y2的最小值为_解析：令 a(1,1)，b(x，y)，则 abxy1，又|ab|a|b|，1()2()22(x2y2)当且仅当 xy 时取等号1212x2y2122017-2018 学年高中数学人教 A 版选修 4-
9、5 教学案 8x2y2 .12答案：1212已知 A，B，C 是三角形三个内角的弧度数，则 的最小值是_1A1B1C解析：(ABC)(111)29，而 ABC，故 ，当且(1A1B1C)1A1B1C9仅当 ABC 时，等号成立3答案：913函数 y2的最大值是_2x2x3解析：y242x2x3.当且仅当 x 时取等号 22142x2x3353答案：314已知 a，b，x，y 均为正数，且 ，xy，则与的大小关系是1a1bxxayyb_解析： ，ba0.又 xy0，由排序不等式知，bxay.1a1b又0，.xxayybbxayxaybxxayyb答案：xxayyb三、解答题(本大题共 4 小题，
10、共 50 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 12 分)已知实数 a，b，c 满足 a2bc1，a2b2c21，求证： c1.23证明：因为 a2bc1，a2b2c21，所以 a2b1c，a2b21c2.由柯西不等式：(1222)(a2b2)(a2b)2，5(1c2)(1c)2，2017-2018 学年高中数学人教 A 版选修 4-5 教学案 9整理得，3c2c20，解得 c1.23 c1.2316(本小题满分 12 分)求函数 y的最大值1sin x4sin x1解：由 1sin x0,4sin x10，得 sin x1，14则 y22(1sin x2 sin
11、 x14)(14)(1sin xsin x14)，即 y，154152当且仅当 4(1sin x)sin x 即 sin x时等号成立，所以函数 y1417201sin x的最大值为.4sin x115217(本小题满分 12 分)设 a，b，cR，求证：.a2bcb2cac2ababc2证明：(bc)(ca)(ab)(a2bcb2cac2ab)2(bcabc cabca abcab)(abc)2，即 2(abc)(abc)2.(a2bcb2cac2ab)又a，b，cR，.a2bcb2cac2ababc218(本小题满分 12 分)(1)已知：a，bR，ab4，证明： 1；1a1b(2)已知： a，b，cR，abc9，证明： 1；并类比上面的结论，写出1a1b1c推广后的一般性结论(不需证明)2017-2018 学年高中数学人教 A 版选修 4-5 教学案 10证明：(1)根据柯西不等式：(ab)(1a1b)24，(a1a b1b)ab4， 1.1a1b(2)根据柯西不等式：(abc)(1a1b1c)29，(a1a b1b c1c)abc9， 1.1a1b1c可以推广：若 a1a2ann2，则1.1a11a21an2017-2018 学年高中数学人教 A 版选修 4-5 教学案 11
