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1、 1复数的概念是掌握复数并解答复数有关问题的基础，其中有虚数单位 i，复数的代数形式，实部与虚部、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数等有关复数题目的解答是有别于实数问题的，应根据有关概念求解典例 1 (1)复数的虚部是( )12i112iA. i B. C i D15151515(2)若复数(a23a2)(a1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为( )A1 B2 C1 或 2 D1解析：(1)选 B i，故虚部为 .12i112i2i2i2i12i12i12i2i512i5151515(2)选 B 由纯虚数的定义，可得Error!解得 a2.2对点训练1设 z1a2i，z234i，且为纯虚数，则实
2、数 a 的值为_z1z2解析：设bi(bR 且 b0)，所以 z1biz2，即 a2ibi(34i)4b3bi.所以z1z2所以 a .83答案：832设复数 zlg(m22m2)(m23m2)i，试求实数 m 的取值，使(1)z 是纯虚数；(2)z 是实数；(3)z 在复平面上的对应点在复平面的第二象限解：(1)由Error!得 m3.当 m3 时，z 是纯虚数(2)由Error!得 m1 或 m2.当 m1 或 m2 时，z 是实数(3)由Error!得1m1或 1m3.33当1m1或 1m3 时，复数 z 在复平面上的对应点在复平面的第二象33限1.复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加
3、减乘除，加减法是对应实、虚部相加减；乘法类比多项式乘法；除法类比分式的分子分母有理化，注意 i21.2复数四则运算法则是进行复数运算的基础，同时应熟练掌握 i 幂的周期性变化，即i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1，复数的四则运算常与复数的概念、复数的几何意义等结合在一起考查另外计算要注意下面结论的应用：(1)(ab)2a22abb2，(2)(ab)(ab)a2b2，(3)(1i)22i，(4) i，1i(5)i，i，1i1i1i1i(6)abii(bai)3典例 2 复数等于( )i2i3i41iA. i B. i12121212C i D i12121212解析：选 D i2i3i
4、41ii1ii1i2 i.1212典例 3 已知复数 z1，z2a3i(aR)155i2i2(1)若 a2，求 z1；z2(2)若 z是纯虚数，求 a 的值z1z2解：由于 z113i.155i2i2155i34i155i34i34i34i2575i25(1)当 a2 时，z223i，z12(13i)(23i)23i6i9113i.z(2)若 z为纯虚数，则应满足Error!z1z213ia3i13ia3ia3ia3ia933aia29解得 a9.即 a 的值为9.对点训练3设复数 z 满足(1i)z2i，则 z( )A1i B1iC1i D1i解析：选 A z1i，故选 A.2i1i1i1i
5、4设 a，bR，abi(i 为虚数单位)，则 ab 的值为_117i12i解析：abi，abi53i.根据复数相等的充要条件可117i12i117i12i12i12i得 a5，b3，故 ab8.答案：845计算：(1)(1i)(1i)；(1232i)(2)；(3)(2i)2.2 3i3 2i解：(1)法一：(1i)(1i)(1232i)(1i)(1232i12i32i2)(1i)(312312i)iii23123123123121i.3法二：原式(1i)(1i)(1232i)(1i2)(1232i)21i.(1232i)3(2)2 3i3 2i 2 3i 3 2i 3 2i 3 2i 2 3i
6、 3 2i 32 2262i3i 65 i.5i5(3)(2i)2(2i)(2i)44ii234i.复数 zabi(a，bR)和复平面上的点 Z(a，b)一一对应，和向量 OZ一一对应，正确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键典例 4 若 i 为虚数单位，如图中复平面内点 Z 表示复数 z，则表示复数的点是( )z1i5AE BF CG DH解析：选 D 由题图可得 z3i，所以2i，则其z1i3i1i3i1i1i1i42i2在复平面上对应的点为 H(2，1)典例 5 已知 z 是复数，z2i，均为实数(i 为虚数单位)，且复数(zai)2在复平z2i面上对应的点在第一象限，求实数 a 的
7、取值范围解：设 zxyi(x，yR)，则 z2ix(y2)i， (xyi)(2i)z2ixyi2i15 (2xy) (2yx)i.1515由题意知Error!Error!z42i.(zai)24(a2)i2(124aa2)8(a2)i，由已知得Error!2a6.实数 a 的取值范围是(2,6)对点训练6若复数 z 满足 iz24i，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( )A(2,4) B(2，4)C(4，2) D(4,2)解析：选 C 由 iz24i，可得 z42i，24ii24iiii所以 z 对应的点的坐标是(4，2)7已知等腰梯形 OABC 的顶点 A、B 在复平面上对应的复数分别为1
8、2i，26i，OABC.求顶点 C 所对应的复数 z.6解：设 zxyi，x，yR，如图，A(1，2)，B(2,6)，C(x，y)OABC，|OC|BA|，kOAkBC，|zC|zBzA|，即Error!解得Error!或Error!|OA|BC|，x3，y4(舍去)，故 z5.复数 zabi(a，bR)对应复平面上的点 Z，则复数的模|z|OZ|，即a2b2Z(a，b)到原点的距离典例 6 已知复数 z 满足|z22i|1，求|z32i|的最小值解：法一：设 zxyi(x，yR)，则|xyi22i|1，即|(x2)(y2)i|1.(x2)2(y2)21.|z32i|x32y22，x321x2
9、210x6由(y2)21(x2)20，得 x24x30.3x1，1610x636.46.10x6当 x1 时，|z32i|取最小值 4.法二：由复数及其模的几何意义知：满足|z22i|1，即|z(22i)|1 的复数 z 所对应的点是以 C(2,2)为圆心，半径 r1 的圆，而|z32i|z(32i)|的几何意义是：复数 z 对应的点与点 A(3,2)的距离由圆的知识可知|z32i|的最小值为|AC|r.又|AC|5，322222所以|z32i|的最小值为 514.对点训练78在复平面内，点 P，Q 分别对应复数 z1，z2，且 z22z134i，|z1|1，则点 Q 的轨迹是( )A线段 B
10、圆C椭圆 D双曲线解析：选 B z22z134i，2z1z2(34i)|z1|1，|2z1|2，|z2(34i)|2，由模的几何意义可知点 Q 的轨迹是以(3，4)为圆心，2 为半径的圆9已知复数 z，且|z|2，求|zi|的最大值，以及取得最大值时的 z.解：法一：设 zxyi(x，yR)，|z|2，x2y24，|zi|xyii|x(y1)i|x2y12.4y2y1252yy24x24，2y2.故当 y2 时，52y 取最大值 9，从而取最大值 3，此时 x0，52y即|zi|取最大值 3 时，z2i.法二：方程|z|2 表示以原点为圆心，以 2 为半径的圆，而|zi|表示圆上的点到点A(0
11、,1)的距离如图，连接 AO 并延长与圆交于点 B(0，2)，显然根据平面几何的知识可知，圆上的点 B 到点 A 的距离最大，最大值为 3，即当 z2i 时，|zi|取最大值 3.(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知1i(i 为虚数单位)，则复数 z( )1i2zA1i B1i8C1i D1i解析：选 D 由1i，得 z1i，故选 D.1i2z1i21i2i1i2i1i1i1i2复数 zi(i1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( )A1i B1iC1i D1i解析：选 A
12、 zi(i1)1i， 1i.z3设 z134i，z223i，则 z1z2在复平面内对应的点位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选 D 由已知，得 z1z234i(23i)57i，则 z1z2在复平面内对应的点为(5，7)4设 a 是实数，且是实数，则 a 等于( )a1i1i2A. B1 C. D21232解析：选 B i，a1i1i2a1i21i2a121a2由题意可知0，即 a1.1a25a 为正实数，i 为虚数单位，2，则 a( )|aii|A2 B. C. D132解析：选 B 由已知2 得|(ai)(i)|ai1|2，所以 |aii|aii|2，a0，a.1a236复数2abi(a，bR，i 是虚数单位)，则 a2b2的值为( )(1i2)A1 B0 C1 D2解析：选 A 2iabi，所以 a0，b1，所以(1i2)12ii22a2b2011.7已知 f(n)inin(i21，nN)，集合f(n)|nN的元素个数是( )A2 B3 C4 D无数个9解析：选 B f(0)i0i00，f(1)ii1i 2i，1if(2)i2i20，f(3)i3i32i，由 in的周期性知f(n)|nN0，2i,2i8复数 z12，z22i3分别对应复平面内的点 P，Q，则向量对应的复数是(1i1i)( )A. B
