《小学五年级奥数知识讲解+奇怪的无穷多和变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学五年级奥数知识讲解+奇怪的无穷多和变换（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、小学奥数辅导及练习 一 奇怪的无穷多整数有多少个？ 无穷个。偶数有多少个？无穷个。这样的回答是正确的。如果我问你：整数与偶数，哪一种数多？恐怕不少同学都会说，当然整数比偶数多了。进一步，恐怕还会有同学告诉我，“偶数的个数等于整数个数的一半”。什么道理呢？那是因为“奇数与偶数合起来就是整数。而奇数与偶数是相同排列的，所以奇数与偶数一样多，大家都是整数的一半。”整数包括偶数，偶数是整数的一部分，全体大于部分，整数比偶数多，这不是显而易见、再明白不过的事吗？你认为这样的回答有道理吗？16 世纪意大利著名科学家伽利略的看法却与此相反，他曾提出过一个著名的悖论，叫做“伽利略悖论”，悖论的内容是：“整数和
2、偶数一样多”。这似乎违背常识。不过，伽利略所说的，也绝不是没有道理。首先，我们论述的对象都是无穷个，而不是有限个，对于有限个来说，“全体大于部分”无可争议。从 1 到 10 的整数比从 1 到 10 的偶数就是多。但是，把这个用到无穷上就要重新考虑了。对于有限来说，说两堆物体数量一样多，只要把各堆物体数一下，看看两堆物体的数量是否相等就可以。这个办法对“无穷”来说是不适用的，因为“无穷”本身就包括“数不完”的意思在内。看起来，我们得另想办法。小学奥数辅导及练习 据说，居住在非洲的有些部族，数数最多不超过 3，但是他们却知道自己放牧的牛羊是否有丢失。办法是，早上开圈放羊时，让羊一只一只往外出。每
3、出一只羊，牧羊人就拾一块小石头。显然，羊的个数和小石头的个数一样多。傍晚，放牧归来，每进圈一只羊，牧羊人从小石头堆中仍掉一块石头。如果羊全部进了圈，而小石头一个没剩，说明羊一只也没丢。非洲牧羊人实际上采取了“一对一”的办法，两堆物体只要能建立起这种一对一的关系，就可以说明两堆物体的数量一样多。这种办法同样可以用在无穷上，看看要比较的两部分之间能否建立起这种一对一的关系。伽利略在整数与偶数之间建立的对应关系是：0 1 2 3 4 2 4 6 8 10 按这样的一种关系，给出一个整数，就可以找出一个偶数与之对应，给出的整数不同，与之相对应的偶数也不同；反过来，对于每一个偶数，都可以找到一个自然数与
4、之对应，偶数不同，所对应的整数也不同，由此我们称整数与偶数之间建立了一对一的关系，所以我们说：“整数与偶数一样多”是正确的。这告诉我们，“无穷”是不能用“有限”中的法则来衡量的，许多对“有限”成立的性质，对“无穷”却未必成立。二 变换任给一个自然数 n，如果 n 是偶数，则将它除以 2；如果 n 是奇数，则将它乘以 3，再加上 1，我们称这种作法为对于数 n 的变换.例如，对于数 5，按照上述规则进行一次变换得到。35116.对 16 施行变换得 1628.小学奥数辅导及练习 将这种变换继续下去，有824， 422，221， 1314，422， 221，有趣的是，对于数 5，按照上面所要求的规
5、则不断变换下去，最终出现形如421421的重复.还可以以 6 为例按上述指定规则进行变换，得到63105168421421再如 18，18928147221134175226134020105168我们发现在这种指定变换下，无论开始是哪个自然数，最终总得到形如421421 的循环、重复.遗憾的是我们不能仅凭列举若干自然数，就断定对任何自然数 n 都具备这种性质。事实上，到目前为止，还没有谁能证明这一点。小学奥数辅导及练习 在竞赛中我们会遇到一些类似的变换，有时候是对一个数连续进行某种指定变换，有时候是对一组数连续进行某种指定变换。在纷乱多样的变化中，却隐藏着某种规律，而我们解决这些问题的关键，
6、就在于透过表面现象，从“万变”中揭示出“不变”的数量关系。例 1 对任意两个不同的自然数，将其中较大的数换成这两数之差，称为一次变换。如对18 和 42 可进行这样的连续变换：18，4218，2418，612，66，6。直到两数相同为止。问：对 12345 和 54321 进行这样的连续变换，最后得到的两个相同的数是几？为什么？解 如果两个数的最大公约数是 a，那么这两个数之差与这两个数中的任何一个数的最大公约数也是 a。因此在每次变换的过程中，所得两数的最大公约数始终不变，所以最后得到的两个相同的数就是它们的最大公约数。因为 12345 和 54321 的最大约数是 3，所以最后得到的两个相
7、同的数是 3。说明 这个变换的过程实际上就是求两数最大公约数的辗转相除法。例 2 在图 1 中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加 1 或减 1，这算作一次变换。经过若干次变换后，图 1 变为图 2。问：图 2 中 A 格中的数字是几？解 每次变换都是在相邻的两格，我们将相邻的两格染上不同的颜色（如图 3）。因为每次变换总是一个黑格与一个白格的数字同时加上或减 1，所以所有黑格内的数字之和与所有小学奥数辅导及练习 白格内数字之和的差保持不变。因为图 1 的这个差是 13，所以图 2 的这个差也是 13。由（A12）1213 得 A13。例 3 黑板上写着三个整数，任意擦去其中一个，将它改
8、写成为其它两数之和减 1，这样继续下去，最后得到 3，1997，1999，问原来的三个数能否是 2，2，2？解 答案是否定的。注意到 2，2，2 按照题设中的方式首先变换为 2，2，3，再变换下去必定其中两个为偶数，一个为奇数（数值可以改变，但奇偶性不变）。但 3，1997，1999 是三个奇数，所以2，2，2 永远不会按照所述方式变为 3，1997，1999。想想练练1.黑板上写着 115 共 15 个数，每次任意擦去两个数，再写上这两个数的和减 1。例如，擦掉 5 和 11，要写上 15。经过若干次后，黑板上就会剩下一个数，这个数是几？2.在黑板上任意写一个自然数，然后用与这个自然数互质并
9、且大于 1 的最小自然数替换这个数，称为一次变换。问最多经过多少次变换，黑板上就会出现 2？3.口袋里装有 101 张小纸片，上面分别写着 1101。每次从袋中任意摸出 5 张小纸片，然后算出这 5 张小纸片上各数的和，再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中。经过若干次这样做后，袋中还剩下一张纸片，这张纸片上的数是几？4.在一个圆上标出一些数：第一次先把圆周二等分，在两个分点分别标上 2 和 4。第二次把两段半弧分别二等分，在分点标上相邻两数的平均数 3（图 4）。第三次把四段弧再分别二等分，在四个分点分别标上相邻两分点两数的平均数。如此下去，当第 8 次标完后，圆周上所有标出的数的总和是多少？小学奥数辅导及练习
