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1、第 12 讲动态电路的方程及其解 、电路的初始值一、动态电路方程1、动态电路方程：在 动态电路中， 除有电阻、 电源外， 还有动 态元件(电容、电感)，而动态元件的电流与电压的约束关系是导 数与积分关系， 因此根据KCL 、KVL和元件的VCR所建立的电 路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微分积分方程。 如 果电路中的无源元件都是线性时不变的，那么动态电路方程是线 性常系数微分方程。 2、一阶电路：只有一个动态元件的电路， 其电路方程为一阶微 分方程， 故称为一阶电路。3、n阶电路：含有n个独立的动态元件的电路， 其电路方程为n 阶微分方程， 称为n阶电路。R0i(t)Cuoc(t)uR0
2、(t)uc(t)G0i(t)Cisc(t)uc(t)若给定初始条件以及tt0时的uoc(t)或 isc(t),便可由方程解得tt0时的uc(t) ,然后 用置换定理将电容置换为电压源求得所 有的电压、电流。)()()(0tututuoccR=+)()(0tutudtduCRoccc=+)()(0tituGdtduCsccc=+N1i(t)CucN2若给定初始条件以及tt0时的uoc(t)或 isc(t),便可由方程解得tt0时的uL(t) , 然后用置换定理将电感置换为电流 源求得所有的电压、电流。对于电感同理可得：状态变量：电容电压和电感电流状态变量：指一组最少的变量，若已知它们在t0时的数
3、值（初 始条件），则连同所有在tt0时的输入就能确定在tt0时电路中 的任何电路变量。)()(00tiidtdiLGtuiRdtdiLscLLocLL=+=+R0i(t)Luoc(t)uR0(t)uL(t)+-G0i(t)Lisc(t)uL(t)二阶电路GiLCis uLiCiGiC+ iG + iL= iSiC = iGuG=iL-=tduL)(1uG+duLt)(1=+-iSu1 RC+duLCt)(1=+-iSdtdu1 C1 RC+uLC1=+iS dtd2u1 Cdtdudtd建立动态方程的一般步骤是： (1) 根据电路建立 KCL或/和 KVL方程，写出各元件的伏安关 系； (2)
4、 在以上方程中消去中间变 量，得到所需变量的微分方程。二. 电路的过渡过程（是动态电路的一个特征）1、过渡过程： 电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。K未动作前i = 0 , uC = 0i = 0 , uC= Usi+uCUsR CK+uCUsR Cit = 0K接通电源后很长时间2、过渡过程产生的原因换路： 电路中开关的闭合、断开 或电路参数突然变化统称 为换路。使电路由原来的工作 状态转变到另一个工 作状态（稳态）4、 稳态分析和动态分析的区别稳 态 动 态换路发生很长时间换路刚发生iL 、 uC 随时间变化代数方程组描述电路微分方程组描述电路IL、 UC 不变3、 换路时刻：
5、闭合时刻在t=0进行t=0_，开关未合上但将合上的瞬间t=0+，开关合上但刚刚合上的瞬间K+uCUsR Cit = 0 bat0+t0_ 换路经历的时间为t=0_到t=0+=sabUU0三、 固有响应和强迫响应、暂态响应和稳态响应如果将独立源(uS和iS)作为激励， 用f(t)表示， 把电路变量(u或i)作为响应，用y(t)表示，则描述一阶和二阶动态电路的方 程的一般形式可分别写为(有时等号右端还有f(t)的导数)()()( 00tfbtyadttdy=+和)()()()( 00122 tfbtyadttdyadttdy=+对于线性时不 变动态电路， a0、 a1 、 b0等 都是常数。 线性
6、常系数微分方程的解由两部分组成： y(t) = yh(t) + yp(t) 齐次方程的通解 （齐次解）满足非齐次方程的 特解对于)()()( 00tfbtyadttdy=+特征方程为：s+ a0 =0， 特征根 s=- a0 ， 故齐次解为 yh(t)=Kest= Ke - a0 t （ K为待定常数，由初始条件确定）而特解与激励有相似的形式。对于)()()()( 00122 tfbtyadttdyadttdy=+其齐次解yh (t)的函数形式由其特征方程 s2 + a1 s+ a0 =0 的根(即特征根) s1 、 s2确定。 表3 - 1中列出了特征根s1 、 s2为不同取值时的相应齐次解
7、。而特解与激励有相似的形式。表3 -2列出了常用激励形式与其所对应的特解Yp(t)。当特解形 式确定后，将其代入原微分方程，求出待定常数Ai，则特解就确定了。 例 3.2 1 如图3.2 -3的RC电路，当t=0时开关闭合，若电容的 初始电压uC(0)=U0，电压源Us为常数，求t0时的uC (t)。 解： (1) 建立电路方程。当t0时，开关已闭合，由KCL有 uR + uC = Us 由于i=iC=C 故 uR =Ri=RC ， 将它代入上式， 并 除以RC，得 令=RC（称为时间常数）， 则(2) 求齐次解uCh。的特征方程为其特征根s= -1/， 故uC的齐次解为 uCh =Ke st
8、 =Ke -t/(3) 求特解uCp。由于激励US为常数，故特解也是常数。令uCp =A，并将它代入电路方程， 得 故得uS 的特解 uCp (t)=A= US (4) 求完全解。 电容电压的完全解为 uc(t)= uch(t)+ ucp(t)=Ke + US （t0） -t/式中常数K由初始条件确定。 当t=0时， 由上式和给定的初始 电压，得 uc (0)=K+ US = U0 可解得K= U0 - US ，故得完全解为sCR- tsUeUUtuc+-=)()(0（t0）固有响应强迫响应US强迫响应U0-US固有响应U0全响应0tuCU0USUS强迫响应 U0-US固有响应U0全响应固有响
9、应：决定于特征根， 仅 与电路的结构和元件的参数有关 ，反映了电路的固有特征。强迫响应：是外部激励作用的结 果， 它与激励有相同的函数形 式。暂态响应和稳态响应sCR- tsUeUUtuc+-=)()(0（t0）按指数规律衰减，当t趋近 于无限大时， 该项衰减为 零， 称为暂态响应任何时刻都保持稳定， 它是t趋近于无限大时， 暂态响应衰减为零时的 响应，称为稳态响应注意：与把完全响应分为固有响应和强迫响应不同， 将完全响 应区分为暂态响应和稳态响应是从电路响应的波形上来观察的 。 当换路时，如果接入的激励为直流或周期信号(如正弦信号、 方波信号等)， 可将完全响应区分为暂态响应和稳态响应。否则
10、 无意义。四、电路的初始值所描述的线性时不变动态电路的方程是常系数线性微分方程，在求解常微分方程时，需要根据给定的初始条件确定解答中的待定常数。独立初始值与非独立初始值：n阶微分方程就需要n个初始条件，它们是所求变量(电压或电流)及其1， 2， ， (n-1)阶导数在t=0+时的值(设换路时刻t=t0=0)， 也称为初始值。其中电容电压和电感电流的初始值uC(0+)和iL(0+)由初始储能决定，称为独立的初始值或初始状态， 其余各变量(如iC ， uL， iR ， uR等)的初始值称为非独立的初始值，它们将由激励(电压源或电流源)以及独立初始值uC (0+)和iL (0+)来确定。 1、独立初
11、始值换路定律电容电压和电感电流反映了电路储能的状况， 它们都具有连续的性质。设换路时刻为t=t0， 电容电流iC和电感电压uL 在t=t0时为 有限值，则换路前后瞬间电容电压uC和电感电流iL;是连续的，即有uC(t0+)= uC(t0-) iL(t0+)= iL (t0-) 上式称为换路定律。2、 非独立初始值除独立初始值uC(t0+ )、iL(t0+ )以外的各电流、 电压的初始值，称为非独立初始值，可根据激励和已求得的独立初始值求得。方法：采用替代定理 画出初始值等 效电路（0+等 值电路），再 采用求解电阻 电路的各种方 法求解。(2) 由换路定律 uC (0+) = uC (0-)=
12、8V+-10ViiC+ 8V-10k0+等效电路(1) 由0-电路求 uC(0-) +-10V+ uC -10k40kuC(0-)=8V(3) 由0+等效电路求 iC(0+)例1+-10ViiC+ uC -k10k 40k求 iC(0+)iC(0-)=0 iC(0+)iL(0+)= iL(0-) =2A例 2iL+ uL -L 10VK14 t = 0时闭合开关k , 求 uL(0+)+ uL -10V140+电路2A求初始值的步骤1. 由换路前电路（稳定状态）求 uC(0-) 和 iL(0-)。2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。3. 画0+等值电路。电容（电感）用电压源（电流源）替代。取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、电感电流方向。 4. 由0+电路求所需各变量的0+值。例3K(t=0)+uLiLC+uCLRISiC求 iC(0+) , uL(0+)iL(0+) = iL(0-) = ISuC(0+) = uC(0-) = RIS 0+电路uL+iCRISR IS+uL(0+)= - RIS第 12 讲动态电路的方程及其解 、电路的初始值结 束作业：P190 3-14、 3-17预习: 动态电路的响应
