《2019版高考数学一轮复习第十一章推理与证明11.1合情推理与演绎推理讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学一轮复习第十一章推理与证明11.1合情推理与演绎推理讲义（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、111.111.1 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理命题探究考纲解读五年高考统计考点内容解读要求20132014201520162017常考题型 预测热度1.合情推理由相关背景进行结论 推测B填空题2.演绎推理相关结论的证明B填空题 解答题分析解读 推理与证明是新课标新增加的内容,江苏高考一般很少单独考查,但是演绎推理是解答试题必需的 过程,所以仍需要认真掌握.五年高考考点一 合情推理 1.(2017 课标全国文改编,9,5 分)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们 四人中有 2 位优秀,2 位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看
2、后甲对大家说: 我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则以下四种说法正确的是 . 乙可以知道四人的成绩; 丁可以知道四人的成绩; 乙、丁可以知道对方的成绩; 乙、丁可以知道自己的成绩. 答案 2.(2016 山东,12,5 分)观察下列等式:+= 12;(sin3)- 2(sin23)- 243+= 23;(sin5)- 2(sin25)- 2(sin35)- 2(sin45)- 243+= 34;(sin7)- 2(sin27)- 2(sin37)- 2(sin67)- 243+= 45;(sin9)- 2(sin29)- 2(sin39)- 2(sin89)- 243 2照此规律,+= .
3、(sin2 + 1)- 2(sin22 + 1)- 2(sin32 + 1)- 2(sin22 + 1)- 2答案 4( + 1)3考点二 演绎推理 1.(2017 北京理,14,5 分)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点 Ai的横、纵坐 标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数,点 Bi的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和 加工的零件数,i=1,2,3. 记 Qi为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数,则 Q1,Q2,Q3中最大的是 ; 记 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则 p1,p2,p3中最大的是 . 答案 Q1
4、 p22.(2013 重庆理,22,12 分)对正整数 n,记 In=1,2,n,Pn=.?| , (1)求集合 P7中元素的个数; (2)若 Pn的子集 A 中任意两个元素之和不是整数的平方,则称 A 为“稀疏集”.求 n 的最大值,使 Pn能分成两个 不相交的稀疏集的并.解析 (1)当 k=4 时,中有 3 个数与 I7中的 3 个数重复,因此 P7中元素的个数为 77-3=46.| 7(2)先证当 n15 时,Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并.若不然,设 A,B 为不相交的稀疏集,使 AB=PnIn. 不妨设 1A,则因 1+3=22,故 3A,即 3B.同理 6A,10B,又推得 1
5、5A,但 1+15=42,这与 A 为稀疏集矛盾.再证 P14符合要求.当 k=1 时,=I14可分成两个稀疏集之并,事实上,只要取 A1=1,2,4,6,9,11,13,| 14B1=3,5,7,8,10,12,14,则 A1,B1为稀疏集,且 A1B1=I14.当 k=4 时,集中除整数外剩下的数组成集,可分解为下面两稀疏集的并:A2=,B2=| 1412,32,52,13212,52,92,112.32,72,132当 k=9 时,集中除正整数外剩下的数组成集, , , ,可分解为下面两稀疏集的并:| 1413234353133143A3=,13,43,53,103,133B3= .23
6、,73,83,113,143最后,集 C=mI14,kI14,且 k1,4,9 中的数的分母均为无理数,它与 P14中的任何其他数之和都不是整数,因此,令 A=A1A2A3C,B=B1B2B3.则 A 和 B 是不相交的稀疏集,且 AB=P14. 综上,所求 n 的最大值为 14. 注:对 P14的分拆方法不是唯一的.三年模拟3A 组 20162018 年模拟基础题组考点一 合情推理 1.(苏教选 22,二,1,5,变式)观察下列等式:1- = ,12121- + - = + ,12131413141- + - + - = + + ,1213141516141516 , 据此规律,第 n 个等
7、式可为 . 答案 1- + - +-=+12131412 - 1121 + 11 + 2122.(苏教选 22,二,1,4,变式)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数 1,3,6,10,第n 个三角形数为= n2+ n,记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k3),以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表( + 1)21212达式:三角形数 N(n,3)= n2+ n,1212 正方形数 N(n,4)=n2,五边形数 N(n,5)= n2- n,3212 六边形数 N(n,6)=2n2-n, , 可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)= . 答
8、案 1 0003.(2017 江苏南京溧水中学质检,11)观察下列式子:1+a2a3a40,若对任意的 i,j(1ij4,且 i,jN*),ai-aj仍是数列an中的某一项.现有下列命题:数列an一定是等差数列;存在 1ij4,使得 iai=jaj;数列an中一定存在一项为 0.其中,真命题的序号有 .(请将你认为正确命题的序号都写上)答案 7.(2018 江苏淮安、宿迁高三期中)设命题 p:对任意的 x,sin xax+btan x 恒成立,其中 a,bR.0,2)(1)若 a=1,b=0,求证:命题 p 为真命题; (2)若命题 p 为真命题,求 a,b 的所有值.解析 (1)证明:若 a
9、=1,b=0,则命题 p:对任意的 x,sin xxtan x 恒成立.0,2)如图,设MOP=x.则 sin x=|MP|,cos x=|OM|,tan x=|AT|,x=l . x时,SAOP= |OA|MP|= sin x,(0,2)1212S扇形 AOP= l |OA|= x,12 12SAOT= |OA|AT|= tan x,1212 且 SAOP1,令 h(x)=ax-tan x,x,0,2)则 h(x)=a-,h(x)=0 在 x上有唯一解,记为 x1,120,2) 当 x0,x1)时,h(x)0, 此时 h(x)h(0)=0 恒成立,即 axtan x,矛盾. 故 a=1,b=
10、0.8.(2017 苏锡常镇四市高三教学情况调研(二),20)已知数列an满足 a1=1,an+1=,其中 nN*,2+ + 4 + 2为非零常数. (1)若 =3,=8,求证:an+1为等比数列,并求数列an的通项公式; (2)若数列an是公差不等于零的等差数列. 求实数 , 的值; 数列an的前 n 项和 Sn构成数列Sn,从Sn中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问:是否存 在首项为 S1的四项子数列,使得该子数列中的所有项之和恰好为 2 017?若存在,求出所有满足条件的四项子数 列;若不存在,请说明理由. 解析 (1)当 =3,=8 时,an+1=3an+2,32 + 8+
11、 4 + 2(3+ 2)(+ 2) + 2an+1+1=3(an+1), 又 a1+1=2, an+1是以 2 为首项,3 为公比的等比数列, an+1=23n-1,an=23n-1-1. (2)设数列an的公差为 d(d0),则 an=a1+(n-1)d=dn-d+1,由 an+1=得 an+1(an+2)=+an+4,2+ + 4 + 22(dn+1)(dn-d+3)=(dn-d+1)2+(dn-d+1)+4, d2n2+(4d-d2)n-d+3=d2n2+2(1-d)+dn+(1-d)2+(1-d)+4 对任意 nN*恒成立.解得2= 2, 4 - 2= 2(1 - ) + , - +
12、3 = (1 - )2+ (1 - ) + 4,? = 1, = 4, = 2,?=1,=4.由知 an=2n-1,则Sn=n2.(1 + 2 - 1)2 假设存在满足条件的四项子数列,由 2 017 为奇数,知这四项三个奇数一个偶数或者一个奇数三个偶数. 若三个奇数一个偶数,设 S1,S2x+1,S2y+1,S2z是满足条件的四项(x,y,zN*,xy), 则 1+(2x+1)2+(2y+1)2+4z2=2 017, 2(x2+x+y2+y+z2)=1 007,这与 1 007 为奇数矛盾,不合题意,舍去. 若一个奇数三个偶数,设 S1,S2x,S2y,S2z是满足条件的四项(x,y,zN*
13、且互不相等), 则 12+4x2+4y2+4z2=2 017,x2+y2+z2=504. 由 504 为偶数知,x,y,z 中一个偶数两个奇数或者三个偶数. (i)若 x,y,z 中一个偶数两个奇数,不妨设 x=2x1,y=2y1+1,z=2z1+1(y1z1),则 2( +y1+ +z1)=251,这与 251 为奇数矛盾.212121(ii)若 x,y,z 均为偶数,不妨设 x=2x1,y=2y1,z=2z1(x1,y1,z1互不相等),6则 + =126,212121继续奇偶分析知 x1,y1,z1中两个奇数一个偶数,不妨设 x1=2x2,y1=2y2+1,z1=2z2+1(y2z2),
14、则 +y2+ +z2=31.222222因为 y2(y2+1),z2(z2+1)均为偶数,所以 x2为奇数,不妨设 0y20,2(2- 1) 所以函数 f(x)在(1,+)上是增函数.(2)f (x)=(x0),22+ 当 x1,e时,2x2+aa+2,a+2e2. 若 a-2,则 f (x)在1,e上非负(当且仅当 a=-2,x=1 时,f (x)=0),故函数 f(x)在1,e上是增函数,此时 f(x)min=f(1)=1.若-2e20,此时 f(x)是增函数.- 2故 f(x)min=f= ln- .(- 2)2(-2)2若 a-2e2,则 f (x)在1,e上非正(当且仅当 a=-2e2,x=e 时,f (x)=0), 故函数 f(x)在1,e上是减函数,此时 f(x)min=f(e)=a+e2. 综上可知,当 a-2 时,f(x)的最小值为 1,相应的 x 值为 1;当-2e20,因而 a(x1,e),2- 2 - ln令 g(x)=(x1,e),则 g(x)=,2- 2 - ln( - 1)( + 2 - 2ln)( - ln)2
