《2019版高考数学一轮复习第十九章推理与证明（数学归纳法）讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学一轮复习第十九章推理与证明（数学归纳法）讲义（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第十九章第十九章 推理与证明推理与证明( (数学归纳法数学归纳法) )考纲解读五年高考统计考点内容解读要求20132014201520162017常考题型 预测热度数学归纳法利用数学归纳法证明 有关结论23 题 10 分23 题 10 分解答题分析解读 数学归纳法主要用来解决与正整数有关的命题,是命题的热点内容.通常与推理、数列、不等式证 明、二项式定理等知识结合来考查逻辑推理能力.命题探究(1)由已知,得 f1(x)=f 0(x)=-,于是(sin)cossin2f2(x)=f 1(x)=-=-+,所(cos)(sin2)sin2cos22sin3以 f1=-, f2=- +.(2)42(
2、2)2 163故 2f1+ f2=-1.(2)2(2) (2)证明:由已知,得 xf0(x)=sin x,等式两边分别对 x 求导,得 f0(x)+xf 0(x)=cos x,即 f0(x)+xf1(x)=cos x=sin,类似可得( +2) 2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+),3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sin,( +32) 4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2). 下面用数学归纳法证明等式 nfn-1(x)+xfn(x)=sin对所有的 nN*都成立.( +2)(i)当 n=1 时,由上可知等式成立. (ii)假设当 n=k 时等式成
3、立,即 kfk-1(x)+xfk(x)=sin.( +2)因为kfk-1(x)+xfk(x)=kf k-1(x)+fk(x)+xf k(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x),=cossin( +2)( +2)=sin,( +2) +( + 1)2所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin. +( + 1)2因此当 n=k+1 时,等式也成立. 综合(i),(ii)可知等式 nfn-1(x)+xfn(x)=sin对所有的 nN*都成立.( +2)令 x= ,可得 nfn-1+ fn=sin(nN*).4(4)4(4)(4+2)所以=(nN*).| - 1(4)+4(4)|222五
4、年高考考点 数学归纳法 1.(2017 浙江,22,15 分)已知数列xn满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(nN*). 证明:当 nN*时, (1)00. 当 n=1 时,x1=10. 假设 n=k 时,xk0,那么 n=k+1 时,若 xk+10,则 00. 因此 xn0(nN*).所以 xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1. 因此 00(x0).22+ + 1函数 f(x)在0,+)上单调递增,所以 f(x)f(0)=0,因此-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)0,2 + 1故 2xn+1-xn(nN*). + 12(3)因为 xn
5、=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1+xn+1=2xn+1,所以 xn.12 - 1由2xn+1-xn得- 20, + 121 + 112(1 -12)所以- 22n-1=2n-2,1 12(1 - 1-12)(1 1-12)故 xn.综上,xn(nN*).12 - 212 - 112 - 22.(2014 广东节选,19,14 分)设数列an的前 n 项和为 Sn,满足 Sn=2nan+1-3n2-4n,nN*,且 S3=15. (1)求 a1,a2,a3的值; (2)求数列an的通项公式.解析 (1)依题有1= 1= 22- 3 - 4, 2= 1+ 2= 43- 12 - 8, 3=
6、 1+ 2+ 3= 15,?解得 a1=3,a2=5,a3=7.3(2)Sn=2nan+1-3n2-4n, 当 n2 时,Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1).-并整理得 an+1=.(2 - 1)+ 6 + 12由(1)猜想 an=2n+1,下面用数学归纳法证明. 当 n=1 时,a1=2+1=3,命题成立; 假设当 n=k 时,ak=2k+1 命题成立.则当 n=k+1 时,ak+1=(2 - 1)+ 6 + 12=(2 - 1)(2 + 1) + 6 + 12=2k+3=2(k+1)+1, 即当 n=k+1 时,结论成立. 综上,nN*,an=2n+1.3.(2014
7、 重庆,22,12 分)设 a1=1,an+1=+b(nN*).2- 2+ 2(1)若 b=1,求 a2,a3及数列an的通项公式; (2)若 b=-1,问:是否存在实数 c 使得 a2nf(a2k+1)f(1)=a2,即 1ca2k+2a2. 再由 f(x)在(-,1上为减函数得 c=f(c)f(a2k+1)=a2k+2, a2(k+1)=f(a2k+1)f(a2n+1), 即 a2n+1a2n+2,所以 a2n+1-1,解得 a2n+1 .2 2 + 1- 22 + 1+ 214综上,由、知存在 c= 使 a2n1 时,对 x(0,a-1有 (x)1 时,存在 x0,使 (x)n-ln(n
8、+1). 证明如下:证法一:上述不等式等价于 + +,x0.1 + 6令 x= ,nN+,则,x0.1 + 令 x= ,nN+,则 ln.1 + 11 + 1故有 ln 2-ln 1 ,ln 3-ln 2 ,1213 ln(n+1)-ln n,1 + 1上述各式相加可得 ln(n+1) + +.结论得证.12131 + 16.(2014 大纲全国,22,12 分)函数 f(x)=ln(x+1)-(a1). + (1)讨论 f(x)的单调性;(2)设 a1=1,an+1=ln(an+1),证明:0, f(x)在(-1,a2-2a)上是增函数; 若 x(a2-2a,0),则 f (x)0, f(x
9、)在(0,+)上是增函数.(4 分) (ii)当 a=2 时, f (x)0, f (x)=0 成立当且仅当 x=0, f(x)在(-1,+)上是增函数. (iii)当 a2 时,若 x(-1,0),则 f (x)0, f(x)在(-1,0)上是增函数; 若 x(0,a2-2a),则 f (x)0, f(x)在(a2-2a,+)上是增函数.(6 分) (2)由(1)知,当 a=2 时, f(x)在(-1,+)上是增函数.当 x(0,+)时, f(x)f(0)=0,即 ln(x+1)(x0).2 + 2又由(1)知,当 a=3 时, f(x)在0,3)上是减函数.当 x(0,3)时, f(x)l
10、n=,(2 + 2+ 1)2 2 + 22 + 2+ 22 + 3ak+1=ln(ak+1)ln0,f(x)=,令 a1=1,an+1=f(an),nN*. + (1)写出 a2,a3,a4的值,并猜想数列an的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的结论.解析 (1)a1=1,a2=f(a1)=f(1)=;1 + a3=f(a2)=;a4=f(a3)=.2 + 3 + 猜想 an=(nN*).( - 1) + (2)证明:易知,n=1 时,猜想正确. 假设 n=k(kN*)时猜想正确,即 ak=,( - 1) + 则 ak+1=f(ak)=. + ( - 1) + +( - 1) + ( -
11、1) + + 1( + 1) - 1 + 所以 n=k+1 时猜想正确.由知,对于任何 nN*,都有 an=.( - 1) + 3.(2017 江苏苏北四市摸底)设 nN*,f(n)=3n+7n-2. (1)求 f(1),f(2),f(3)的值; (2)证明:对任意正整数 n,f(n)是 8 的倍数. 解析 (1)f(1)=31+71-2=8,f(2)=32+72-2=56,f(3)=33+73-2=368. (2)证明:当 n=1 时,f(1)=8 是 8 的倍数,命题成立. 假设当 n=k 时命题成立,即 f(k)=3k+7k-2 是 8 的倍数, 当 n=k+1 时,f(k+1)=3k+
12、1+7k+1-2=3(3k+7k-2)+4(7k+1), 因为 7k+1 是偶数,所以 4(7k+1)是 8 的倍数, 又由归纳假设知 3(3k+7k-2)是 8 的倍数, 所以 f(k+1)是 8 的倍数, 所以当 n=k+1 时,命题也成立. 根据知命题对任意 nN*成立. 4.(2017 江苏南通中学质检)在数列 a0,a1,a2,an,中,已知 a0=a1=1,a2=3,an=3an-1-an-2-2an-3(n3). (1)求 a3,a4; (2)证明:an2n-1(n2). 解析 (1)a3=3a2-a1-2a0=6,a4=3a3-a2-2a1=13. (2)证明:易知 a5=3a
13、4-a3-2a2=27,猜想当 n4 时,an2an-1. (i)当 n=4,5 时,上述不等式成立,即有 a42a3,a52a4, (ii)假设当 n=k(k5)时,ak2ak-1,ak-12ak-2, 则当 n=k+1 时, ak+1=3ak-ak-1-2ak-2=2ak+(ak-ak-1-2ak-2) =2ak+(ak-2ak-1)+(ak-1-2ak-2)2ak. 即 n=k+1(k5)时,ak+12ak, 综上,当 n4 时,an2an-1. an2an-122an-22n-3a3=2n-362n-1, 即 an2n-1(n4), 又 a2=322-1,a3=623-1,所以 an2
14、n-1(n2).B 组 20162018 年模拟提升题组 (满分:30 分 时间:15 分钟)9解答题(共 30 分)1.(苏教选 21,二,13,变式)已知数列an的前 n 项和 Sn满足:Sn=+-1,且 an0,nN*.21 (1)求 a1,a2,a3,并猜想an的通项公式; (2)证明通项公式的正确性. 解析 (1)当 n=1 时,由已知得 a1=+-1, +2a1-2=0.121 121a10,a1=-1.3当 n=2 时,由已知得 a1+a2=+-1,221 2将 a1=-1 代入并整理得 +2a2-2=0.3223a20,a2=-.53同理可得 a3=-.75猜想 an=-(nN*).2 + 12 - 1(2)证明:由(1)知,当 n=1,2,3 时,通项公式成立. 假设当 n=k(k3,kN*)时,通项公式成立, 即 ak=-.2 + 12 - 1ak+1=Sk+1-Sk=+-, + 121 + 121 将 ak=-代入上式并整理得2 + 12 - 1+2ak+1-2=0,
