《2019版高考数学一轮复习第二十二章选修4系列22.3不等式选讲讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学一轮复习第二十二章选修4系列22.3不等式选讲讲义（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、122.322.3 不等式选讲不等式选讲五年高考考点 不等式的解法与证明 1.(2017 课标全国理,23,10 分)选修 45:不等式选讲 已知 a0,b0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)4; (2)a+b2. 证明 (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)24. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+(a+b)3( + )24=2+,3( + )34所以(a+b)38,因此 a+b2.2.(2017 课标全国理,23,10 分)选
2、修 45:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式 f(x)1 的解集; (2)若不等式 f(x)x2-x+m 的解集非空,求 m 的取值范围.解析 (1)f(x)=- 3, 2.?当 x2 时,由 f(x)1解得 x2. 所以 f(x)1 的解集为x|x1. (2)由 f(x)x2-x+m 得 m|x+1|-|x-2|-x2+x. 而|x+1|-|x-2|-x2+x|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-+ ,(| -32)25454且当 x= 时,|x+1|-|x-2|-x2+x= .3254故 m 的取值范围为.(- ,543.(2017 课标全国理,23
3、,10 分)选修 45:不等式选讲 已知函数 f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)g(x)的解集; (2)若不等式 f(x)g(x)的解集包含-1,1,求 a 的取值范围. 解析 (1)当 a=1 时,不等式 f(x)g(x)等价于 x2-x+|x+1|+|x-1|-40. 当 x1 时,式化为 x2+x-40,从而 10,|x-1|-1;(3 分)12当- 1 的解集.3解析 (1)f(x)=(4 分) - 4, - 1,3 - 2, - 1 32,?y=f(x)的图象如图所示.(6 分) (2)由 f(x)的表达式及图象知
4、,当 f(x)=1 时,可得 x=1 或 x=3;当 f(x)=-1 时,可得 x= 或 x=5,(8 分)13故 f(x)1 的解集为x|1 5所以|f(x)|1 的解集为.(10 分)| 58.(2016 课标全国理,24,10 分)选修 45:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x-a|+a. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)6 的解集; (2)设函数 g(x)=|2x-1|.当 xR 时, f(x)+g(x)3,求 a 的取值范围. 解析 (1)当 a=2 时, f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+26 得-1x3. 因此 f(x)6 的解集为x|-1x3.(5
5、 分) (2)当 xR 时, f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当 x= 时等号成立,所以当 xR 时, f(x)+g(x)3 等价于|1-a|+a3.(7 分)12 当 a1 时,等价于 1-a+a3,无解. 当 a1 时,等价于 a-1+a3,解得 a2. 所以 a 的取值范围是2,+).(10 分)9.(2015 江苏,21D,10 分)解不等式 x+|2x+3|2.解析 原不等式可化为或 0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)1 的解集; (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.
6、解析 (1)当 a=1 时,f(x)1 化为|x+1|-2|x-1|-10. 当 x-1 时,不等式化为 x-40,无解;当-10,解得 0,解得 1x1 的解集为.(5 分)|23.?所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A,B(2a+1,0),C(a,a+1),ABC 的面积为(2 - 13,0)(a+1)2.23由题设得 (a+1)26,故 a2.23 所以 a 的取值范围为(2,+).(10 分) 11.(2015 课标,24,10 分)(选修 45:不等式选讲) 设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,证明: (1)若 abcd,则+;(2)+是|
7、a-b|cd 得(+)2(+)2.因此+.(2)(i)若|a-b|cd. 由(1)得+.(ii)若+,则(+)2(+)2,即 a+b+2c+d+2.因为 a+b=c+d,所以 abcd.于是 (a-b)2=(a+b)2-4ab+是|a-b|0,b0,且 a+b= + .证明:1 1 (1)a+b2; (2)a2+a0,b0,得 ab=1.1 1 + (1)由基本不等式及 ab=1,有 a+b2=2,即 a+b2.(2)假设 a2+a0 得 00,y0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)9xy. 证明 因为 x0,y0, 所以 1+x+y230,321+x2+y30,32故(1+x+y2)(
8、1+x2+y)33=9xy.323215.(2014 课标,24,10 分)若 a0,b0,且 + =.1 1 (1)求 a3+b3的最小值; (2)是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?并说明理由.解析 (1)由= + ,得 ab2,且当 a=b=时等号成立.1 1 22故 a3+b324,且当 a=b=时等号成立.3322所以 a3+b3的最小值为 4.2(2)由(1)知,2a+3b24.6 3由于 46,从而不存在 a,b,使得 2a+3b=6.316.(2013 江苏,21D,10 分)已知 ab0,求证:2a3-b32ab2-a2b. 证明 2a3-b3-(2ab2-a2b) =2
9、a(a2-b2)+b(a2-b2) =(a2-b2)(2a+b) =(a-b)(a+b)(2a+b). 因为 ab0, 所以 a-b0,a+b0,2a+b0, 从而(a-b)(a+b)(2a+b)0, 即 2a3-b32ab2-a2b. 17.(2013 辽宁理,24,10 分)已知函数 f(x)=|x-a|,其中 a1. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)4-|x-4|的解集; (2)已知关于 x 的不等式|f(2x+a)-2f(x)|2 的解集为x|1x2,求 a 的值.解析 (1)当 a=2 时, f(x)+|x-4|=- 2 + 6, 2, 2,2 -1,且当 x时, f(x)g
10、(x),求 a 的取值范围.-2,12) 解析 (1)当 a=-2 时,不等式 f(x) 1.?从函数图象可知,当且仅当 x(0,2)时,yy,求证:2x+2y+3.12- 2 + 2证明 由题意得 x0,y0,x-y0,因为 2x+-2y=2(x-y)+12- 2 + 21( - )2=(x-y)+(x-y)+3=3,当且仅当 x-y=,即 x-y=1 时取等号,1( - )23( - )21( - )21 - 所以 2x+2y+3.12- 2 + 2B 组 20162018 年模拟提升题组 (满分:40 分 时间:20 分钟) 解答题(共 40 分)1.(2018 江苏淮安、宿迁高三期中)
11、已知正数 x,y,z 满足 x+y+z=4,求+z2的最小值.2429解析 由柯西不等式可知:(x+y+z)2(4+9+1),故+z2= ,(24+29+ 2)2429161487当且仅当 = =z,即 x= ,y=,z= 时,+z2取得最小值 .22338718727242987 2.(2017 江苏南京、盐城一模)若实数 x,y,z 满足 x+2y+z=1,求 x2+y2+z2的最小值. 解析 由柯西不等式,得(x+2y+z)2(12+22+12)(x2+y2+z2),又因为 x+2y+z=1,所以 x2+y2+z2 ,16当且仅当 = = ,即 x=z= ,y= 时取等号.1211613
12、综上,(x2+y2+z2)min= .163.(2017 江苏徐州期末调研)已知 a,b,c 均为正实数,+ +27abc 的最小值为 m,解关于 x 的不等式|x+1|-1313132x0,所以+ +27abc3+27abc=+27abc2=18,13131331313133 3 279当且仅当 a=b=c=时,取“=”,所以 m=18.313所以不等式|x+1|-2x-,193所以原不等式的解集为.(-193, + )4.(2017 江苏苏州期中)已知 a,b,c,d 都是正实数,且 a+b+c+d=1,求证:+ .21 + 21 + 21 + 21 + 15 证明 (1+a)+(1+b)
13、+(1+c)+(1+d)+2=(a+b+c+d)2=1,(21 + +21 + +21 + +21 + )1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 又(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)=5,+ ,当且仅当=时取等号.21 + 21 + 21 + 21 + 151 + 1 + 1 + 1 + C 组 20162018 年模拟方法题组方法 1 不等式的证明 1.(2017 镇江高三第一学期期末)已知 a0,b0,证明:(a2+b2+ab)(ab2+a2b+1)9a2b2. 证明 因为 a0,b0,所以 a2+b2+ab3=3ab0,322ab2+a2b+13=3a
14、b0,3221所以(a2+b2+ab)(ab2+a2b+1)9a2b2, 当且仅当 a=b=1 时等号成立.方法 2 不等式的应用 2.(2017 常州高三期末)已知 x0,y0,且 2x+y=6,求 4x2+y2的最小值. 解析 解法一:根据柯西不等式得(2x)2+y2(12+12)(2x+y)2,即 4x2+y218.当且仅当 2x=y=3,即 x= ,y=3 时取等号.32因此,当 x= ,y=3 时,4x2+y2取得最小值 18.32 解法二:由 2x+y=6 得 y=6-2x.由 x0,y0 得 0x3, 因此,4x2+y2=4x2+(6-2x)2=8x2-24x+36=8+1818,( -32)2所以当 x= ,y=3 时,4x2+y2取得最小值 18. 32
