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1、1考点规范练考点规范练 1616 导数的综合应用导数的综合应用基础巩固基础巩固1 1.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1 处都取得极值.(1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间;(2)若对于x-1,2,不等式f(x)1 时,g(x)0;(3)确定a的所有可能取值,使得f(x)g(x)在区间(1,+)内恒成立.23 3.(2017 四川成都模拟)已知函数f(x)=(x-k)ex+k,kZ Z.(1)当k=0 时,求函数f(x)的单调区间;(2)若当x(0,+)时,不等式f(x)+50 恒成立,求k的最大值.4 4.(2017 全国,文 21)已知函数f(x)=ln x+a
2、x2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(2)证明:存在a(0,1),使得f(x)0 在区间(1,+)内恒成立,且f(x)=0 在区间(1,+)内有唯一解.5高考预测高考预测8 8.已知函数f(x)=xln x,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a为实数).(1)当a=5 时,求函数y=g(x)在x=1 处的切线方程;(2)求f(x)在区间t,t+2(t0)上的最小值;(3)若方程g(x)=2exf(x)存在两个不等实根x1,x2,且x1,x2,求实数a的取值范围.答案：1 1.解:(1)f(x)=x3+ax2
3、+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b.又f(x)在x=-与x=1 处都取得极值,fa+b=0,f(1)=3+2a+b=0,两式联立解得a=-,b=-2,f(x)=x3-x2-2x+c,f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),令f(x)=0,得x1=-,x2=1,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-1(1,+ ) f( x)+0-0+f(x )极 大 值极 小 值函数f(x)的递增区间为与(1,+);递减区间为.(2)f(x)=x3-x2-2x+c,x-1,2,当x=-时,f+c为极大值,而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值,6要使f(x)f(2)=2+c
4、,解得c2.c的取值范围为(-,-1)(2,+).2 2.(1)解:f(x)=2ax-(x0).当a0 时,f(x)0 时,由f(x)=0 有x=.当x时,f(x)0,f(x)单调递增.(2)证明:令s(x)=ex-1-x,则s(x)=ex-1-1.当x1 时,s(x)0,所以 ex-1x,从而g(x)=0.(3)解:由(2),当x1 时,g(x)0.当a0,x1 时,f(x)=a(x2-1)-ln xg(x)在区间(1,+)内恒成立时,必有a0.当 01.由(1)有f0,所以此时f(x)g(x)在区间(1,+)内不恒成立.当a时,令h(x)=f(x)-g(x)(x1).当x1 时,h(x)=
5、2ax-e1-xx-=0.因此,h(x)在区间(1,+)内单调递增.又因为h(1)=0,所以当x1 时,h(x)=f(x)-g(x)0,即f(x)g(x)恒成立.综上,a.3 3.解:(1)当k=0 时,f(x)=xex,f(x)=ex+xex=ex(x+1),当x(-,-1)时,f(x)0;f(x)在(-,-1)内是减函数,在(-1,+)内是增函数.(2)不等式f(x)+50 恒成立(x-k)ex+k+50 在x(0,+)时恒成立,令F(x)=(x-k)ex+k+5,F(x)=ex(x-k+1)(xR R),当x(-,k-1)时,f(x)0;f(x)在(-,k-1)内是减函数,在(k-1,+
6、)内是增函数.若k-10,即k1,当x(0,+)时,F(x)F(0)0.而F(0)=50 恒成立,k1 符合题意.若k-10,即k1,当x(0,+)时,只需F(x)min=F(k-1)=-ek-1+5+k0 即可.令h(k)=-ek-1+5+k,h(k)=1-ek-10,h(3)=-e2+80,h(4)=-e3+90,故f(x)在(0,+)单调递增.若a0;当x时,f(x)0;当x(1,+)时,g(x)0 时,g(x)0.从而当a0;当x(-1+,+)时,f(x)0),因此h(x)在0,+)内单调递减,而h(0)=1,故h(x)1,所以f(x)=(x+1)h(x)x+1ax+1.当 00(x0
7、),所以g(x)在0,+)内单调递增,而g(0)=0,故 exx+1.当 0(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=,则x0(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)ax0+1.当a0 时,取x0=,则x0(0,1),f(x0)(1-x0)(1+x0)2=1ax0+1.综上,a的取值范围是1,+).6 6.解:(1)f(x)=x2+bx-aln x,f(x)=2x+b-(x0).x=2 是函数f(x)的极值点,f(2)=4+b-=0.1 是函数f(x)的零点,f(1)=1+b=0.由解得a=6,b=-1.f(x)=x2
8、-x-6ln x,f(x)=2x-1-.令f(x)0,得x2,8f(x)在(0,2)内单调递减,在(2,+)内单调递增.故函数f(x)至多有两个零点,其中 1(0,2),x0(2,+).f(2)0,x0(3,4),故n=3.(2)令g(b)=xb+x2-aln x,b-2,-1,则g(b)为关于b的一次函数,且为增函数,根据题意,对任意b-2,-1,都存在x(1,e),使得f(x)0,故(x)在(1,e)内单调递增,(x)(1)=1-a.当 1-a0,即a1 时,(x)0,即h(x)0,h(x)在(1,e)内单调递增,h(x)h(1)=0,不符合题意.当 1-a1 时,(1)=1-a1,则(e
9、)a1,则(e)0,在(1,e)上一定存在实数m,使得(m)=0,在(1,m)内(x)1 时,对任意b-2,-1,都存在x(1,e),使得f(x)0,(e)=-2f(x0)=0;当x(x0,+)时,f(x)0,从而f(x)f(x0)=0.所以,当x(1,+)时,f(x)0.综上所述,存在a(0,1),使得f(x)0 在区间(1,+)内恒成立,且f(x)=0 在区间(1,+)内有唯一解.8 8.解:(1)因为当a=5 时,g(x)=(-x2+5x-3)ex,所以g(1)=e,g(x)=(-x2+3x+2)ex.所以切线的斜率为g(1)=4e.所以所求切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex
10、-3e.(2)f(x)=ln x+1,令f(x)=0,得x=.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x f( x)-0+f(x )单调 递减极 小 值 ( 最 小 值)单调 递增当t时,f(x)在区间t,t+2上为增函数,所以f(x)min=f(t)=tln t.当 0t时,f(x)在区间内为减函数,在区间上为增函数,所以f(x)min=f=-.(3)由g(x)=2exf(x),可得 2xln x=-x2+ax-3.所以a=x+2ln x+.令h(x)=x+2ln x+,则h(x)=1+.当x变化时,h(x),h(x)的变化情况如下表:x1(1, e) h( x)-0+h(x )单调 递减极 小 值 ( 最 小 值)单 调 递 增10因为h+3e-2,h(1)=4,h(e)=+e+2,所以h(e)-h=4-2e+0.所以方程g(x)=2exf(x)存在两个不等实根时,实数a的取值范围为 4ae+2+.
