金融数学的理论和应用II

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1、1金融数学的理论和应用证券投资与风险管理浙江大学数学系 李 胜 宏21世纪数学技术和计算机技术一样成为任何 一门科学发展过程中的必备工具。1995年3月6日,美国花旗银行副总裁柯林斯 （Collins）在英国剑桥大学牛顿数学科学研究所 的讲演中叙述到：“在18世纪初，和牛顿同时代 的著名数学家伯努利曾宣称：从事物理学研究而 不懂数学的人实际上处理的是意义不大的东西。那时候，这样的说法对物理学而言是正确的,但对于银行业而言不一定对。在18世纪，你可 以没有任何数学训练而很好地运作银行。 过去对物理学而言是正确的说法现在对 于银行业也正确了。于是现在可以这样说：从事银行业工作而不懂数学的 人实际上

2、处理的是意义不大的东西。”他 还指出：花旗银行70%的业务依赖于数 学，他还特别强调，如果没有数学发展 起来的工具和技术，许多事情我们是一 点办法也没有的没有数学我们不可 能生存。” 这里银行家用他的经验描述了数学的重要 性。在冷战结束后，美国原先在军事系 统工作的数以千计的科学家进入了华尔 街，大规模的基金管理公司纷纷开始雇 佣数学博士或物理学博士。这是一个重 要信号：金融市场不是战场，却远胜于 战场。但是市场和战场都离不开复杂艰 深，迅速的计算工作。v自从1952年马柯维茨（Markowitz）提出了用 随机变量的特征变量来描述金融资产的收益性 ，不确定性和流动性以来，已经很难分清世界 一

3、流的金融杂志是在分析金融市场还是在撰写 一篇数学论文。再回到Collins的讲话，在金融 证券化的趋势中，无论是我们采用统计学的方法分析历史数据，寻找价格波动规律，还是 用数学分析的方法去复制金融产品，谁最先发现了内在规律，谁就能在瞬息万变的金融 市场中获取高额利润。尽管由于森严的进入堡垒，数学进入金融领域受到了一定的排斥 和漠视，然而为了追求利润，未知的恐惧显得不堪一击。v金融市场存在巨大的利润和高风险，需要计算 机技术帮助分析，然而计算机不可能大概，左 右等描述性语言，它本质上只能识别由0和1构 成的空间，金融数学在这个过程中正好扮演了 一个中介角色，它可以用精确语言描述随机波 动的市场。

4、比如，通过收益率状态矩阵在无套 利的情形下找到了无风险贴现因子。因此，金 融数学能帮助IT产业向金融产业延伸，并获取 自己的利润空间. 我们可以想象有这样一个充 满美好前景的产业链：金融市场-金融数学-计算机技术。 v金融数学（Financial Mathematics），又称数理金融学、数学金融学、分析金融学，是利 用数学工具研究金融资产及其衍生资产定价、 复杂投资技术与公司金融政策的一门学科。 通 过进行数学建模、理论分析、数值计算等定量 分析，以求找到金融运动内在规并用以指导实 践。金融学（或金融经济学）本质上是研究非确定环境下经济资源在地域上和跨时间的有效配置，7金融数学简介v其主要对

5、象是金融市场上的投资和交易。金融 数学通过建立金融市场如何运作的数学模型， 利用数学工具（如概率论、数理统计、偏微分 方程和随机控制）研究风险资产（包括衍生金 融产品和金融工具）的定价和套期保值、风险 管理和最优消费投资组合策略的选择。近二 十多年来，金融数学在金融学的发展中起了决 定性作用。可以说，金融数学是现代金融学的 核心。金融数学不仅对金融工具的不断创新和 对金融市场的有效运作产生直接的影响，而且 对公司的投资决策和对研究开发项目的评估（ 如实物期权）以及在金融机构的风险管理中得 到广泛应用。 v金融数学的历史可以追溯到1900 年法国 数学家巴歇里埃（Bachelier,L.）的博士

6、 论文“投机的理论”，在文中他首次用布 朗运动来描述股票价格的变化和研究期 权定价，尽管当时有关布朗运动的严格 数学理论还未建立。遗憾的是，直到 1965年该论文才由著名经济学家萨缪尔 逊（Samuelson, P.）推荐给金融学界知 晓 金融数学也可以说是华尔街两次革命的产物，是现代 数学与计算技术在金融领域的应用，因此，金融数学 是一门新兴的交叉学科，发展很快，是目前十分活跃 的前沿学科之一。 金融数学是一门新兴学科，是“金融高技术 ”的重要 组 成部分。研究金融数学尤其在我国有着重要的意义。 金融数学总的研究目标是利用我国数学界某些方面的 优势，围绕金融市场的均衡与有价证券定价的数学理

7、论进行深入剖析，10金融数学-简介v 建立适合我国国情的数学模型，编写一定的计算机软 件，对理论研究结果进行仿真计算，对实际数据进行 计量经济分析研究，为实际金融部门提供较深入的技术分析咨询。 v（1）.投资组 合的选择 方面的重要成就v1）1952年马柯维茨（markowtz, H.M. ）的博士论文“投资组 合的选择 ”是现代 金融学的第一个突破。他在该文中提出 了用于投资分析的均值方差分析方法 。他认为 ，投资者的目标应 是收益的期 望效用最大化，而不单单 是期望收益最 大化。他用收益率的方差作为风险 的度 量，先从各证券收益率的联合统计 特性 用二次规划确定可供投资者选择 的有效 投资

8、组 合边界，然后根据投资者的效用 函数（对收益和风险 的权衡）确定最优 投资组 合。 v这是一单期投资组合问题，后来许多学者进一 步研究了更为实际的跨期投资组合问题，这样 可以动态地考虑最优消费和投资。 v 2）公司财务理论 1958年莫迪里亚尼（ Modigliani, F.）和米勒（Miller, M.H.）首次从 金融市场均衡理论出发研究了公司财务决策。 他们在假定金融市场处于均衡状态和公司不赋 税及无破产成本的前提下，证明了公司的市场 价值与公司的资本结构（即债权和股权之比） 无关（这一结果在文献上被称为MM定理） 。这是公司财务领域的一个理论突破。 v他们是从“套利推理”得出这一与常

9、人直觉 大相径庭的结论的：即假设定理不成立 ，则可在金融市场中构造套利投资策略 。套利推理对日后的金融数学的发展（ 如套利定价思想和期权定价的鞅方法） 产生了重要影响。 v 3）60年代中期，在马柯维茨的均值方差分析基础 上，夏普（Sharpe W. F. ）、 林特纳（Lintner J. ） 和毛新（MOssin J.）研究了在竞争均衡市场中金融资 产的价格形成。 他们假定投资者都是风险厌恶 者， 对证券的收益率的统计特性有相同的预测，并采用各 自的均值方差效用函数确定各自的最优投资组合。 在这一理想假定下，他们证明了在均衡市场中，市场 投资组合（即按每种证券的市值与市场中证券总市 值之比

10、确定权重的投资组合）是有效投资组合，并且 每种资产的期望超额收益率（即期望收益率和无风险 利率之差，亦称风险溢价）与市场投资组合的期望超 额收益率之比等于该资产 的收益率与市场投资组合收 益率之间的协方差与市场投资组合收益率方差的平方 之比（即所谓的资产的值）。这就是著名的资本资 产定价模型（CAPM）。资产的系数是资产的相 对系统风险 的一个度量。CAPM在证券估价、投资组 合绩效的测定、资本预算及投资风险 分析中得到广泛 应用。 v世纪年代初，马科维茨(H.Markowitz) 提出的投资组合理论是金融定量分析的开始,可 以看成是金融数学的开端。在这之前的金融学 通常以定性研究为主，很少有

11、精致的定量分析 。年诺贝尔经济学奖授予马科维茨、 夏普(W.Sharpe)和米勒(M.Miller)，奖励他们在 金融经济学中的先驱工作。这些工作包括：马 科维茨的投资组合理论、夏普的资本资产定价 理论和米勒的公司财务理论。这些理论都是非 常数学化的。v4）有效市场假设 v一个健全的金融市场应该 具备如下特征：与 市场交易有关的信息能很快获得；市场流动 性好（容易随时买卖 金融产品）；交易成本 低。这样的市场称为有效的。1970年法玛（ Fama E. ）提出一个理想化的“有效市场假设 （EMH）”：当前的市场价格充分反映所有的 市场信息。 他依据信息是单指历史价格的信 息，还是包含所有公开的

12、市场信息，以及进一 步所有私人信息，将EMH分为三类：弱、中 强、强有效市场假设。 粗略地说，有效市场 假设是指：市场能如此有效地“消化”新的信息 ，以致当前的市场价格包含关于市场演化的全 部信息。这意味价格过程是马氏过程。1976 年法玛又提出从鞅的概念来表述有效市场假设 ：股票价格经无风险利率折现是一个鞅。 v这一表述基本上等价于市场无套利的，且客观 概率是风险中性的。 5）套利定价理论CAPM是一个均衡定价模型，它假定了投资者 都是风险厌恶者，对证券的收益率和方差有相 同的预期，并且隐含地假定了影响证券收益率 的只是单个市场风险因子，这显然不太切合实 际。在只对市场作无套利机会这一合理假

13、定下 ，1976年罗斯（Ross S. A.）提出了决定风险 资产价格的套利定价理论（APT），它是关于 风险资产收益率的多因子模型， 它提供了度量 股票价格如何随众多的经济因素的改变而变化 的方法，而模型中的经济因素则由经验来确定 。 v 6）期权定价理论 v 期权（option）是一种合约，它的持有者有权利（但 无义务）在一指定日期或一期间内以预先约定的价格 购买或出售指定数量的标的资产。前者称为买权 （ call option），后者称为卖权 （put option ）。 1973 年，布莱克（Black F.）和索尔斯（Scholes M.）在“ 期权定价和公司负债”一文中利用套利推理

14、和随机分析 中的伊藤（It,K）公式证明了股票期权价格过程 可表成股票价格和时间t的函数F（t，S,t），其中F 满足一偏微分方程，并由此导出了一个期权定价公式 ， 即著名的布莱克索尔斯公式。几乎与此同时，默 顿（Merton R. ）在“合理的期权定价理论”一文中对布 莱克索尔斯模型和定价公式作了完善和多方面的推 广，并将他们利用期权来估价公司负债的思想发展成 为所谓的“未定权益分析”。 v年诺贝尔经济学奖授予莫顿 (R.Merton)和修斯(M.Scholes)，以奖励他 们和布莱克(F.Black)在确定衍生证券价值方 法方面的贡献, 就是关于期权定价的著名的 布莱克-修斯公式。马科维茨

15、-夏普理论和布 莱克-修斯公式一起构成了蓬勃发展的新学 科金融数学的主要内容，同时也是研究 新型衍生证券设计和风险管理的新学科 金融工程、金融风险管理的理论基础。20金融数学简介v期权定价理论成为现代金融数学的核心 内容。正如瑞典皇家科学院在1997年度 诺贝尔经济学奖的嘉奖辞中所说：“期权 定价理论和公式可以说是最近25年以来 经济学领域中最为重大的突破和最卓越 的贡献。它不仅为金融衍生市场近10年 的迅猛发展奠定了可靠的理论基础，而 且它在经济生活多个领域中的广泛应用 将为金融业的未来发展带来一场革命性 的变化。”v 考克斯（Cox, J.C.）和罗斯于1976年提 出了风险中性定价理论。

16、在这一思想的 影响下，1979年哈里森（Harrison, J.M. ）和克瑞普斯（Kreps, D.M.）提出了用 鞅方法刻画无套利市场和不完全市场， 并用等价鞅测度对期权进行定价和套期 保值或对冲，这对金融数学的日后发展 产生了深远的影响。 v80年代以来，期权定价和套期保值理论 得到蓬勃发展，主要工作可以归纳为如 下几个方面：1 ）将布莱克索尔斯模型 推广到股票收益率的波幅依赖股票价格 和随机波幅模型，以便解释从观察到的 不同约定价格的期权标价按布莱克索 尔斯定价公式反算出的引伸波幅（ impliedvolatility）出现的“波幅微笑”（ volatitlity smile）和偏斜现象； v2）研究依赖价格变化路径的特异期权的定价 和它的数值计算方法；3）对一般的半鞅模型 ，给出了资产定价基本定理（即证明了存在 等价鞅测度与市场在某种意义下无套利等价） ；4 ）研究不完备市场（主要是带跳的随机过 程或一般的半鞅模型）中的期权定价、套期保 值或对冲