《2018版高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算学案新人教a版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算学案新人教a版选修2-1（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、13.1.13.1.1 空间向量及其加减运算空间向量及其加减运算学习目标 1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.知识点一 空间向量的概念思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.梳理 (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a a的起点是A，终点是B，则向量a a也可记作，其模记为|a a|或|.ABA
2、B(2)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为 0 的向量叫做零向量，记为 0 0单位向量模为 1 的向量称为单位向量相反向量与向量a a长度相等而方向相反的向量，称为a a的相反向量，记为a a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量知识点二 空间向量的加减运算及运算律思考 1 下面给出了两个空间向量a a、b b，作出b ba a，b ba a.2答案 如图，空间中的两个向量a a，b b相加时，我们可以先把向量a a，b b平移到同一个平面内，以任意点O为起点作a a，b b，则a ab b，b ba a.OAOBOCOAOBABO
3、BOA思考 2 由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？答案 先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图 1 是三角形法则，图 2 是平行四边形法则.梳理 (1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.a ab b，OBOAABa ab b.CAOAOC(2)空间向量加法交换律a ab bb ba a，空间向量加法结合律(a ab b)c ca a(b bc c).类型一 有关空间向量的概念的理解例 1 给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向
4、量a a，b b满足|a a|b b|，则a ab b；在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有；若空间向量m m，n n，p p满足ACA1C1m mn n，n np p，则m mp p.其中不正确的个数是( )3A.1 B.2 C.3 D.4答案 B解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故不正确；若空间向量a a，b b满足|a a|b b|，则不一定能判断出a ab b，故不正确；在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有成立，故正确；显然正确.故选 B.ACA1C1反思与感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个
5、向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.跟踪训练 1 (1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，下列四对向量：与；与ABC1D1AC1；与；与.其中互为相反向量的有n对，则n等于( )BD1AD1C1BA1DB1CA.1 B.2 C.3 D.4答案 B解析 对于与，与长度相等，方向相反，互为相反向量；对于与ABC1D1AD1C1BAC1长度相等，方向不相反；对于与长度相等，方向相同.故互为相反向量的有 2BD1A1DB1C对.(2)如图，在长方体ABCDABCD中，AB3，AD2，AA1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：单位向量共有多少个？试写出
6、模为的所有向量.5试写出与向量相等的所有向量.AB试写出向量的所有相反向量.AA解 由于长方体的高为 1，所以长方体的四条高所对应的向量，AAAABBBB4，共 8 个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为 1，故单位向量CCCCDDDD共有 8 个.由于长方体的左右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，55ADDAADDA，.BCCBBCCB与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及.ABABDCDC向量的相反向量有，.AAAABBCCDD类型二 空间向量的加减运算例 2 如图，已知长方体ABCDABCD，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.(1)；AACB(2).AAABBC解
7、 (1).AACBAADAAAADAD(2)().向量、如图AAABBCAAABBCABBCACADAC所示.引申探究利用例 2 题图，化简.AAABBCCA解 结合加法运算，0 0.AAABABABBCACACCA故0 0.AAABBCCA反思与感悟 (1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即.A1A2A2A3A3A4An1AnA1An5(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为 0 0.如图，OBBCCD0 0.DEEFFGGHHO(3)空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算，即a ab ba a(b b).(4)由于空间任意
8、两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量，而平面向量满足加法交换律，因此空间向量也满足加法交换律.(5)空间向量加法结合律的证明：如图，(a ab b)c c()OAAB，a a(b bc c)()，BCOBBCOCOAABBCOAACOC所以(a ab b)c ca a(b bc c).跟踪训练 2 在如图所示的平行六面体中，求证：2.ACABADAC证明 平行六面体的六个面均为平行四边形，ACABADABABAAADADAA()()()2().ACABADABADABAAADAAABADAA又，AACCADBC.ABADAAABBCCCACCCAC2.ACABADAC1.
9、下列命题中，假命题是( )A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同6C.只有零向量的模等于 0D.空间中任意两个单位向量必相等答案 D2.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，与向量相等的向量共有( )ADA.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个答案 C解析 与相等的向量有， ，共 3 个.ADA1D1BCB1C13.向量a a，b b互为相反向量，已知|b b|3，则下列结论正确的是( )A.a ab b B.a ab b为实数 0C.a a与b b方向相同 D.|a a|3答案 D解析 向量a a，b b互为相反向量，则a a，
10、b b模相等、方向相反.故 D 正确.4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知下列各式：()；()；()；().其ABBCCC1AA1A1D1D1C1ABBB1B1C1AA1A1B1B1C1中运算的结果为的有_个.AC1答案 4解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：()；ABBCCC1ACCC1AC1()；AA1A1D1D1C1AD1D1C1AC1()；ABBB1B1C1AB1B1C1AC1().AA1A1B1B1C1AB1B1C1AC1所以 4 个式子的运算结果都是.AC15.化简 2233_.ABBCCDDAAC答案 0 0解析 223322220 0.ABBCCD
11、DAACABBCCDDACDDAAC1.一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的.(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是 1.7(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量.2.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.4040 分
12、钟课时作业分钟课时作业一、选择题1.下列说法正确的是( )A.零向量是有方向的向量B.将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C.四点A，B，C，D构成平行四边形ABCD的充要条件是ABDCD.若与是相反向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上ABCD答案 A解析 规定零向量的方向是任意的，故 A 正确；B 中所有单位向量的终点构成球面而不是圆，故 B 错误；对于选项 C，是必要条件，不是充分条件，因为时，有可能ABDCA，B，C，D四点共线，故 C 错误；相反向量指的是方向相反，不一定在同一条直线上.2.已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，则为( )ABBCCDA.
13、B. C. D.0 0ADBDAC答案 A解析 .ABBCCDACCDAD3.如图所示，点D是空间四边形OABC的边BC的中点，a a，b b，c c，则为( )OAOBOCAD8A. (a ab b)c c B. (c ca a)b b C. (b bc c)a a D.a a (b bc c)1 21 21 21 2答案 C解析 ()a a (b bc c).ADAOODOA1 2OBOC1 24.在正方体ABCDA1B1C1D1中，向量表达式化简后的结果是( )DD1ABBCA. B. C. D.BD1D1BB1DDB1答案 A解析 如图所示，DD1AA1DD1ABAA1ABBA1BA1BCBD1.DD1ABBCBD15.在空间平移ABC到ABC，连接对应顶点，设a a，b b，c c，M是AAABACBC的中点，N是BC的中点，如图所示，用向量a a，b b，c c表示向量等于( )MNA.a ab bc c B.a ab bc c C.a ab b D.a a1 21 21 21 21 21 21 2答案 D解析 a a.故选 D.MN1 2BB1 2AA1 26.判断下列各命题的真假：向量a
