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1、第1页 共 17 页20162016 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷 数学三试题数学三试题一一、选择题选择题：1 18 8 小题小题，每小题每小题 4 4 分分，共共 3232 分分，下列每小题给出的四个选项中下列每小题给出的四个选项中，只有只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上指定位置上. .（1 1）设函数）设函数( )yf x 在在(,) 内连续，其导数如图所示，则（内连续，其导数如图所示，则（）（A）函数有 2 个极值点，曲线( )yf x 有 2 个拐点（B）函数有 2
2、个极值点，曲线( )yf x 有 3 个拐点（C）函数有 3 个极值点，曲线( )yf x 有 1 个拐点（D）函数有 3 个极值点，曲线( )yf x 有 2 个拐点2 2、已知函数、已知函数( , )xef x yxy，则，则（A）0xyff（B）0xyff（C）xyfff（D）xyfff（ 3 3 ） 设） 设(i, , )ii DTxydxdy 31 2 3， 其 中， 其 中 ( , ),Dx yxy101 01， ( , ),( , ),Dx yxyxDx yxxy2 2301 0011，则，则（A）TTT123（B）TTT312（C）TTT231（D）TTT213（4 4）级数为
3、）级数为sin()nnknn 1111，（，（K K 为常数）为常数）（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与 K 有关（5 5）设）设,A B是可逆矩阵，且是可逆矩阵，且A与与B相似，则下列结论错误的是（相似，则下列结论错误的是（）（A）TA与TB相似（B）1A与1B相似（C）TAA与TBB相似（D）1AA与1BB相似（6 6）设二次型）设二次型222 123123122313( ,)()222f x x xa xxxx xx xx x的正负惯性指数分别为的正负惯性指数分别为1,2，则（，则（）（A）1a （B）2a （C）21a （D）1a 或2a 第2页 共 17 页7 7、
4、设、设,A B为随机事件，为随机事件，0( )1,0( )1,P AP B若若()1P A B 则下面正确的是（则下面正确的是（）（A）()1P B A （B）()0P A B （C）()1P AB（D）()1P B A 答案：（A）解：根据条件得()( )P ABP B()()1()()1( )1( )1( )P ABP ABP ABP B AP AP AP A8、设随机变量,X Y独立，且(1,2),(1,4)XNY，则()D XY为（A）6（B）8（C）14（D）15二、填空题：二、填空题：9 9 1414 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2424 分，请将答案写在分，请
5、将答案写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上. .(9)已知函数( )f x满足( )sinlimxxf xx e 3012121，则lim( )_ xf x 0(10)极限limsinsinsin_ xnnnnnn201122(11)设函数( , )f u v可微，( , )zz x y 有方程()(, )xzyx f xz y221确定，则 ,_dz 0 1(12)缺（13）行列式1000100014321_.14、设袋中有红、白、黑球各 1 个，从中有放回的取球，每次取 1 个，直到三种颜色的球都取到为止，则取球次数恰为 4 的概率为第3页 共 17 页三三、解答题解答题：15152323
6、 小题小题，共共 9494 分分. .请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上. .解答应写出文字解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤. .1515 （本题满分（本题满分 1010 分）求极限分）求极限410lim cos22 sinx xxxx 1616、（本题满分、（本题满分 1010 分）分）设 某商 品 的最大需求量为设 某商 品 的最大需求量为 12001200 件，该商品的需求函数件，该商品的需求函数( )QQ p，需求弹性，需求弹性(0)120p p，p为单价（万元）为单价（万元）(1)(1)求需求函数的表达式求需求函数的表达式(2)(2
7、)求求100p 万元时的边际收益，并说明其经济意义。万元时的边际收益，并说明其经济意义。第4页 共 17 页（1717）（本题满分（本题满分 1010 分）分）设函数设函数 ,01022xdtxtxf求求 xf ，并求，并求 xf的最小值。的最小值。（1818）（本题满分（本题满分 1010 分分）设函数设函数 xf连续连续，且满足且满足 1 00xxxedttftxdttxf，求求 xf第5页 共 17 页（1919）（）（本题满分本题满分 1010 分）求分）求 幂级数幂级数220121nnx nn的收敛域和和函数。的收敛域和和函数。（2020）（本题满分本题满分 1111 分分）设矩阵设
8、矩阵111010,111122aAaaaa ，且方程组且方程组Ax无无解，解，（）求）求a的值；（的值；（）求方程组）求方程组TTA AxA的通解的通解第6页 共 17 页（2121）（）（本题满分本题满分 1111 分）分）已知矩阵已知矩阵011230000A . .（）求）求99A；（）设设 3 3 阶矩阵阶矩阵123(,)B ，满足满足2BBA，记记100 123(,)B ，将将123, 分别分别表示为表示为123, 的线性组合。的线性组合。第7页 共 17 页（2222） （本题满分本题满分 1111 分分）设二维随机变量设二维随机变量(, )X Y在区域在区域2,01,Dx yxxy
9、x上服从均匀分布，令上服从均匀分布，令1,0,XYUXY（I I）写出）写出(, )X Y的概率密度；的概率密度；（IIII）问）问U与与X是否相互独立？并说明理由；是否相互独立？并说明理由；（IIIIII）求）求ZUX的分布函数的分布函数( )F z. .第8页 共 17 页（2323）设总体）设总体X的概率密度为的概率密度为 其他, 00 ,3 ,32 xx xf，其中，其中，0为未知参数，为未知参数，321,XXX为来自总体为来自总体X的简单随机样本，令的简单随机样本，令321,maxXXXT 。（1 1）求）求T的概率密度的概率密度（2 2）当）当a为何值时，为何值时，aT的数学期望为
10、的数学期望为第9页 共 17 页20162016 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷 数学三试题答案数学三试题答案一一、选择题选择题：1 18 8 小题小题，每小题每小题 4 4 分分，共共 3232 分分，下列每小题给出的四个选项中下列每小题给出的四个选项中，只有只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上指定位置上. .（1）答案：（B）解：解：由图像易知选 B2、答案：（D）解：2(1)xxexyf xy 2xyef xy ，所以xyfff（3）答案：B解：由积分区域的性质易知选 B.
11、（4）答案：A解：由题目可得，sin()sin()sin()()nnnnnnknknknnn nn nnn 111111 1111因为sin()()()nkn nnnn nnnn n 111111， 由正项级数的比较判别法得，该级数绝对收敛。（5）答案：（C）解：此题是找错误的选项。由A与B相似可知，存在可逆矩阵,P使得1P APB，则111111111111111111(1) ()(),A(2) ()(3)(),TTTTTTTTP APBP APBABP APBP A PBABBPAAPP APP A PBBAABBD故（ ）不选；，故（ ）不选；故（ ）不选；第10页 共 17 页此 外
12、， 在 （ C ） 中 ， 对 于111()TTPAAPP APP A P， 若1=P AP B， 则1()TTTTP APB，而1TP A P未必等于TB，故（C）符合题意。综上可知，（C）为正确选项。（6）答案：（C）解：考虑特殊值法，当0a 时，123122313( ,)222f x x xx xx xx x，其矩阵为011101110 ，由此计算出特征值为2, 1, 1 ，满足题目已知条件，故0a 成立，因此（C）为正确选项。7、答案：（A）解：根据条件得()( )P ABP B()()1()()1( )1( )1( )P ABP ABP ABP B AP AP AP A8、答案：（C
13、）解：因为,X Y独立，则22222()()()()D XYE XYEXYEX EYEXEY222()()()14DXEXDYEYEXEY二、填空题：二、填空题：9 9 1414 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2424 分，请将答案写在分，请将答案写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上. .(9)答案：6解：因为( )sin( )sin( )( )limlimlimlimxxxxxf xxf xxf x xf x exx 3000012121221333所以lim( ) xf x 06(10)答案：sincos 11解：limsinsinsinlimsinsinsincosnxxiniinxxdxnnnnnnn 1200011121211(11)答案： ,dzdxdy 0 12解：()(, )xxyx f xz y221两边分别关于, x y求导得第11页 共 17 页()(, )(, )()()(, )()(, )xxyyzxzxf xz yx fxz yzxzyxfxz yzfxz y 2 12 1212112， 将,xyz011代 入 得 ， ,dzdxdy 0 12(12)（13）答案：432234解
