2017-2018版高中数学第三章概率2.3互斥事件学案北师大版必修3

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1、12 23 3 互斥事件互斥事件学习目标 1.理解互斥事件、对立事件的定义,会判断所给事件的类型.2.掌握互斥事件的概率加法公式并会应用.3.正确理解互斥、对立事件的关系,并能正确区分判断知识点一 集合间的基本关系描述关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同AB子集A中任意一元素均为B中的元素AB或BA空集空集是任何集合的子集B知识点二 集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为U,则集合A的补集为UA图形表示意义x|xA,或xBx|xA,且xBx|xU,且xA知识点三 互斥事件与对立事件定义公式互斥事件在一个随机试验中,我们把一次试验

2、下不可能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件.(1)若A与B互斥,则P(AB)P(A)P(B);(2)若A1,A2,An中任意两个事件互斥,则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)对立事件事件“A不发生”称为A的对立事件,记作 ,对立事件也称为逆事件,在每A一次试验中,相互对立的事件A与 不A会同时发生,并且一定有一个发生.P( )1P(A)A给定事件A,B,我们规定AB为一个事件,事件AB发生是指事件A和事件B至少有一2个发生思考 (1)在掷骰子的试验中,事件A出现的点数为 1,事件B出现的点数为奇数,事件A与事件B应有怎样的关系?答 因为 1 为奇数,所以AB.(2)判断两个事件

3、是对立事件的条件是什么?答 看两个事件是不是互斥事件;看两个事件是否必有一个发生若满足这两个条件,则是对立事件;否则不是知识点四 概率的几个基本性质1概率的取值范围(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在 01 之间,从而任何事件的概率在 01 之间,即 0P(A)1.(2)必然事件的概率为 1.(3)不可能事件的概率为 0.2互斥事件的概率加法公式当事件A与事件B互斥时,AB发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和,从而AB的频率fn(AB)fn(A)fn(B),则概率的加法公式为P(AB)P(A)P(B)3对立事件的概率公式若事件A与事件B互为对立事件,则AB为必然事件

4、,P(AB)1.再由互斥事件的概率加法公式P(AB)P(A)P(B),得P(A)1P(B)题型一 互斥事件、对立事件的概念例 1 从 40 张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从 110 各 10 张)中,任取一张(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃” ;(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌” ;(3)“抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数大于 9” 判断上面给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由解 (1)是互斥事件,不是对立事件理由是:从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张, “抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件同时,不能保证其中必有一个发生,这是由

5、于还可能抽出“方块”或者“梅花” ,因此,二者不是对立事件(2)既是互斥事件,又是对立事件理由是:从 40 张扑克牌中,任意抽取 1 张, “抽出红色牌”与“抽出黑色牌” ,两个事件不可能同时发生,但其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件3(3)不是互斥事件,当然不可能是对立事件理由是:从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张, “抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数大于 9”这两个事件可能同时发生,如抽得牌点数为 10,因此,二者不是互斥事件,当然不可能是对立事件反思与感悟 1.要判断两个事件是不是互斥事件,只需要分别找出各个事件包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生在互

6、斥的前提下,看两个事件的和事件是否为必然事件,从而可判断是否为对立事件2考虑事件的结果间是否有交事件可考虑利用 Venn 图分析,对于较难判断的关系,也可考虑列出全部结果,再进行分析跟踪训练 1 从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是( )A至少有一个红球与都是红球B至少有一个红球与都是白球C至少有一个红球与至少有一个白球D恰有一个红球与恰有两个红球答案 D解析 根据互斥事件与对立事件的定义判断A 中两事件不是互斥事件,事件“三个球都是红球”是两事件的交事件;B 中两事件是对立事件;C 中两事件能同时发生,如“恰有一个红球和两个白球” ,故

7、不是互斥事件;D 中两事件是互斥而不对立事件题型二 和事件的概念例 2 在掷骰子的试验中,可以定义许多事件例如,事件C1出现 1 点,事件C2出现 2 点,事件C3出现 3 点,事件C4出现 4 点,事件C5出现 5 点,事件C6出现 6 点,事件D1出现的点数不大于 1,事件D2出现的点数大于 3,事件D3出现的点数小于 5,事件E出现的点数小于 7,事件F出现的点数为偶数,事件G出现的点数为奇数,请根据上述定义的事件,回答下列问题:(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件;(2)利用和事件的定义,判断上述哪些事件是和事件解 (1)因为事件C1,C2,C3,C4发生,则事件D3必发生,所以C

8、1D3,C2D3,C3D3,C4D3.同理可得,事件E包含事件C1,C2,C3,C4,C5,C6;事件D2包含事件C4,C5,C6;事件F包含事件C2,C4,C6;事件G包含事件C1,C3,C5.且易知事件C1与事件D1相等,即C1D1.(2)因为事件D2出现的点数大于 3出现 4 点或出现 5 点或出现 6 点,所以D2C4C5C6.4同理可得,D3C1C2C3C4,EC1C2C3C4C5C6,FC2C4C6,GC1C3C5.反思与感悟 事件间运算方法:(1)利用事件间运算的定义列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算(2)利用 Venn 图借助集合间运算的

9、思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算跟踪训练 2 盒子里有 6 个红球,4 个白球,现从中任取 3 个球,设事件A3 个球中有一个红球,两个白球,事件B3 个球中有两个红球,一个白球,事件C3 个球中至少有一个红球,事件D3 个球中既有红球又有白球则:(1)事件D与事件A、B是什么样的运算关系?(2)事件C与事件A的交事件是什么事件?解 (1)对于事件D,可能的结果为 1 个红球 2 个白球或 2 个红球 1 个白球,故DAB.(2)对于事件C,可能的结果为 1 个红球 2 个白球,2 个红球 1 个白球或 3 个红球,故CAA.题型三 对立事件、互斥事

10、件的概率例 3 同时抛掷两枚骰子,求至少有一个 5 点或 6 点的概率解 方法一 设“至少有一个 5 点或 6 点”为事件A,同时抛掷两枚骰子,可能的结果如下表:1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)共有 36 种不同的结果,其中至少有一个 5 点或 6

11、 点的结果有 20 个,所以P(A) .20 365 9方法二 设“至少有一个 5 点或 6 点”为事件A, “至少有一个 5 点或 6 点”的对立事件是“既没有 5 点又没有 6 点” ,记为 .A如上表, “既没有 5 点又没有 6 点”的结果共有 16 个,则“既没有 5 点又没有 6 点”的概率为P( ) .A16 364 9所以“至少有一个 5 点或 6 点”的概率为P(A)1P)1 .A4 95 9反思与感悟 1.互斥事件的概率的加法公式P(AB)P(A)P(B)52对于一个较复杂的事件,一般将其分解成几个简单的事件,当这些事件彼此互斥时,原事件的概率就是这些简单事件的概率的和3当

12、求解的问题中有“至多” 、 “至少” 、 “最少”等关键词语时,常常考虑其反面,通过求其反面,然后转化为所求问题跟踪训练 3 某射手在一次射击中,射中 10 环、9 环、8 环、7 环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算这个射手一次射击中射中的环数低于 7 环的概率解 设“低于 7 环”为事件E,则事件 为“射中 7 环或 8 环或 9 环或 10 环” ,而事件“射E中 7 环” “射中 8 环” “射中 9 环” “射中 10 环”彼此互斥,故P( )0.210.230.250.280.97,E从而P(E)1P( )10.970.03.E所以射中的环数低于 7 环的概率

13、为 0.03.求复杂事件的概率例 4 玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共 12 个,从中任取 1 球,设事件A为“取出1 个红球” ,事件B为“取出 1 个黑球” ,事件C为“取出 1 个白球” ,事件D为“取出 1 个绿球” 已知P(A),P(B) ,P(C) ,P(D).5 121 31 61 12(1)求“取出 1 个球为红球或黑球”的概率;(2)求“取出 1 个球为红球或黑球或白球”的概率分析 事件A,B,C,D为互斥事件,AB与CD为对立事件,ABC与D为对立事件,因此可用两种方法求解解 方法一 (1)因为事件A,B,C,D彼此为互斥事件,所以“取出 1 个球为红球或黑球”的概率为

14、P(AB)P(A)P(B) .5 121 33 4(2)“取出 1 个球为红球或黑球或白球”的概率为P(ABC)P(A)P(B)P(C) .5 121 31 611 12方法二 (1)“取出 1 个球为红球或黑球”的对立事件为“取出 1 个球为白球或绿球” ,即AB的对立事件为CD,所以P(AB)1P(CD)1P(C)P(D)1 ,1 61 123 46即“取出 1 个球为红球或黑球”的概率为 .3 4(2)“取出 1 个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出 1 个球为绿球” ,即ABC的对立事件为D,所以P(ABC)1P(D)1,1 1211 12即“取出 1 个球为红球或黑球或白球”的

15、概率为.11 12解后反思 求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和;二是先求对立事件的概率,再求所求事件的概率,即P(A)1P(B)(B是A的对立事件)1给出以下结论:互斥事件一定对立;对立事件一定互斥;互斥事件不一定对立;事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率;事件A与B互斥,则有P(A)1P(B)其中正确命题的个数为( )A0 B1 C2 D3答案 C解析 对立必互斥,互斥不一定对立,正确,错;又当ABA时,P(AB)P(A),错;只有事件A与B为对立事件时,才有P(A)1P(B),错2对同一事件来说,若事件A是必然事件,事件B是不可能事件,则事件A与事件B的关系是( )A互斥不对立 B对立不互斥C互斥且对立 D不互斥、不对立答案 C解析 必然事件与不可能事件不可能同时发生,但必有一个发生,故事件A与事件B的关系是互斥且对立3对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A两次都击中飞机,B两次都没击中飞机,C恰有一弹击中飞机,D至少有一弹击中飞机,下列关系不正确的是( )A

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