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1、第四章 数值积分与数值微分n4.1 引言n4.2 牛顿柯特斯公式n4.3 复化求积公式n4.4 龙贝格求积公式n4.5 高斯求积公式n4.6 数值微分4.1 引言n本章讨论问题：1)计算定积分 的数值方法，这里， 。2)利用函数值的线性组合,计算函数 在某点的 导数的近似值。n数值积分的意义当 为连续函数时，积分一定存在。但具体计 算时由于 的原函数不易求得或根本找不到初等形 式的原函数；或者 只是由测量或计算给出的一张 数据表。不能应用Newton-Leibniz公式。因此研究数值 积分。4.1 引言n求积的基本思路由积分中值定理 我们得到：存在 一个底为 而高为 的矩形，其面积恰等于所求的
2、 定积分。我们称 为 在区间 的平均高度。这样，只要对平均高度 提供一种算法，就获 得一种数值求积方法。n梯形公式、矩形公式用两个端点的函数值 和 的算术平均值作 为 的近似，就是梯形公式：用区间中点的函数值 作为 的近似， 就的所谓中矩形公式。 4.1 引言n求积节点、求积系数在区间 上适当选取某些节点 ，用 加 权平均得到 的近似值，这样得到如下形式的公式： ，其中 称为求积节点； 称为求积系数，亦称为伴随节点 的权。本方法为机械求积。将求积分归结为计算函数值。n代数精度定义：如果 对所有不超过 的多项式 准确成立，而对某一次数为 的多项式不 准确成立，则称此近似公式具有 次代数精度。4.
3、1 引言设 ，则计算 的梯形公式和矩形公式分别为： ， ，我们选择几个初等函数计算，结果如下：梯形公式和矩形公式对1，x是精确成立的，从而对所有的次数 的多项式 精确成立。f (x)1xx2ex 准确值222.676.389 梯形公式2248.389 矩形公式2225.4364.1 引言n代数精度的确定 欲使求积公式 具有 次代数精度， 只要令它对于 都能准确成立，即将 这些函数代入，有 即有下式成立：构造求积公式，是一个确定参数 和 的代数问题。4.1 引言n插值型的求积公式设给定一组节点 ，且已知函 数 在这些节点上的值，作插值多项式 ，由于的原函数容易求出，我们取 作为所求 积分的近似值
4、，这样求出的求积公式称为插值型的。n插值型的求积公式的系数插值型求积公式 中的求积系数 通过基函数 求积得出4.1 引言n插值型的求积公式的余项由插值余项定理得插值型求积公式的余项为式中 与变量 有关，按此余项公式，对于次数不超过 的多项式 ， 余项 等于零，至少具有 次代数精度。反之，若求积公式至少具有 次代数精度，则必定 是插值型的。这是因为此时有 综上所述，我们得到结论：定理1 求积公式 有 次代数精度的充要条件是：它是插值型的。4.1 引言n求积公式的收敛性定义2 在求积公式 中，若其中 ，则称该求积公式是收敛的。n求积公式的稳定性定义3 对任给 ，若 ，只要 就有 ，则称该求积公式是
5、稳定的。其中 是理论值 和实际值 的误差的最大值。4.1 引言定理2 若求积公式中的系 ， ， 则此求积公式是稳定的。证明：对任给 ，若取 ，对 都有 ，则有故求积公式稳定。 结论： ，计算稳定。 Cotes 系数设将积分区间 划分为 等分，步长 ， 选取等距节点 构造出的插值型求积公式 称为Newton-Cotes公式，式中 称为Cotes系数。 Cotes 系数的计算根据求积公式： 引入变换 ，得到由于被积函数是多项式，因此可以积分。4.2 Newton-Cotes公式Cotes 系数的具体计算当 时， 此时的求积公式就是我们讨论过的梯形公式。 当 时，Cotes系数为 此时的求积公式就是
6、下列的simpson公式。4.2 Newton-Cotes公式123456784.2 Newton-Cotes公式当 时，Newton-Cotes系数出现负值，于是有： , 特别地，假定 ，且 ，则有：此公式表明，当 时，计算不稳定。n偶数阶求积公式的代数精度阶Newton-Cotes公式至少为 ，可否 ？对于 Simpson公式，我们用 进行验证，发现公式精确成 立，再用 进行验证时，发现不精确成立，因此Simpson公式具有3次代数精度，一般可得：4.2 Newton-Cotes公式定理3：当阶 为偶数时， Newton-Cotes公式至少 有 次代数精度。只需验证，当 为偶数时，N-C公
7、式对 的 余项为零。按余项公式，由于 ，从而有 ，引入变换 ，并注意到 ，我们得到若 为偶数，则 为整数，再令 ，进一步有，据此即可断定 ， 这是因为被积函数 是奇函数。证毕 4.2 Newton-Cotes公式n几种低阶求积公式的余项 梯形公式的余项：因为 在区间 保号，由积分中值定 理可得： 使得Simpson公式的余项：因为 在区间 保号，由积分中值定理可得： 使得我们可以找到 使 4.2 Newton-Cotes公式关于柯特斯公式的余项，我们仅列出结果如下：4.3 复化求积公式前面已经指出高阶牛顿柯特斯公式是不稳的， 因此，为了提高精度采用将区间分为小区间，每个小 区间分别积分的方法，
8、即采用所谓复化求积方法。本节讨论复化梯形和复化辛普森公式。n复化梯形公式把区间 划分为 等分，分点 ， ，采用梯形公式，得到：记：称为复化梯形公式。4.3 复化求积公式其余项为：由于 ，且所以， 使 ，于是复化梯形公式余项为： ，可以看出误差是 阶，且由上式得到，当 时，有即复化梯形公式收敛。事实上 即有收敛性，因为只要把 改写为： ， 当 时，括号内两项均收敛到 ，故收敛。因为所有系数0，故公式稳定。4.3 复化求积公式n复化辛普森求积公式把区间 划分为 等分，在每个子区间 采用辛普森公式，若记 ，则得：记：称为复化辛普森求积公式。其余项为：4.3 复化求积公式例：用复化辛普森公式(n=10
9、)计算4.3 复化求积公式例：利用复化梯形公式和复化辛普森公式计算积分，并估计误差。解：将积分区间0,1划分为8等分，应用复化梯形公式 求得： ，应用复化辛普森公式求得：这两个结果都利用了9个点的数据，但精 度却不一样，前者2位有效数字，后者6位。为估计余项，要求 的高阶导数，由于，所以有于是4.4 龙贝格求积公式复合梯形公式的递推化上节介绍的复化求积方法可提高求积精度，实际计 算时若精度不够可将步长逐次减半。设将区间 分 为 等分，共有 个分点，此时的计算公式为：如果将求积区间再二分一次，则分点增加到 个， 此时，计算公式为：我们将前后公式联系起来，得到递推公式如下4.4 龙贝格求积公式例：
10、计算积分 。解：先对整个区间0,1使用梯形公式，对于函数 先补充定义 ，而 ，据梯形公式算 得：继续二分，求出中点的函数值 ，利用递 推公式得到：将区间再次对分，计算新分点的函数值，利用递推公式得到：4.4 龙贝格求积公式继续二分，得到下表：7位有效数字，二分10次。分点个数为1025个，计算量大。n龙贝格算法梯形法：简单、慢，本节讨论如何提高速度根据复化梯形公式的余项，可知假定 ，则有 ，整理可得，此式表明 的误差大致为 k12345 Tk0.9397933 0.9445135 0.9456909 0.945985 00.946059 6 k678910 Tk0.9460769 0.9460
11、815 0.9460827 0.946083 00.946083 14.4 龙贝格求积公式因此如果用这个误差作为 的补偿，可以得到更好的 结果，这就是公式：把这个方法用于前面的例子，我们得到：，它有6为有效数字。进一步分析可得， ，梯形法前后两个积分值，通过线性组合即得到了辛普生方法的积分值。受此方法方法的启发，我们对辛普生公式使用该 法，得到 ，整理得 ， 可以验证，上式右端等于复化Cotes公式的结果，它的 精度是 ，这就是说，用两个精度为 的公式， 通过线性组合，得到了一个精度为 的公式；4.4 龙贝格求积公式重复上面的方法，可以得到精度更高的龙贝格公式：这种公式，即龙贝格算法，我们称之为加速公式。 例：用加速公式对梯形公式的数据加以处理，得到更 好的结果。解：原始数据和加速过程列表如下：kT2k-1S2k-1C2k-2R2k-3 00.9207355 10.9397933 0.9461459 20.9445135 0.9460869 0.9460830 30.9456909 0.9460833 0.9460831 0.94608314.4 龙贝格求积公式可以看到，这里利用二分三次的数据，计算了9个 值，
