线性代数实践教师班第三讲

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1、线性代数实践（第三讲）第7章 矩阵运算法解方程7.1 矩阵运算的规则 在MATLAB入门中已讲过的，不再重复。 由于其乘法不符合交换律，有些公式不能乱用 ； 单列向量与单行向量的左右两种乘法要加区别 ，而且往往有特别的用途。 例如向量长度（范数）的计算； 例如二维坐标网格的生成； X=ones(21,1)*-10:10,Y= - 10:10*ones(1,21) 矩阵的乘幂An, eA和(I-A) -1的级数展开，都要求 A是方阵。矩阵乘法不满足交换律 有许多我们习惯的公式，其中隐含地包含 了交换律，这些公式在矩阵运算中也不能 直接使用。比如： 正确的做法是展开时不交换次序平面上网格坐标系的产

2、生用列矩阵乘行矩阵生成网格坐标 这两个矩阵都是21行21列的，都有441个 元素，如何快捷地输入呢？这时可以用到 列乘行的乘法运算。可用下面的语句： h10:10; lhlength(h) % 输入均分行向量 % 用全么列乘均分行生成XXones(lh,1)*h % 用均分列乘全么行生成YYh*ones(1,lh)7.2 初等变换乘子矩阵的生成行交换E1gen(n,i,j)：使n行矩阵中的第i,j两行交换 function E=E1gen(n,i,j) n=size(A); E=eye(n); E(i,i)=0; E(j,j)=0; E(i,j)=1; E(j,i)=1; 乘子矩阵E2gen

3、(n,i,k),使n行矩阵中的第i行乘以k function E=E2gen(n,i,k) n=size(A); E=eye(n); E(i,i)=k; E3gen(n,i,j,c)使n行矩阵中的第i行乘以k加到第j行 上 function E=E3gen(n,i,j,k) n=size(A); E=eye(n); E(j,i)=k;初等变换乘子矩阵示例 E=E1gen(8,4,6) E2=E2gen(8,4,6) E3=E3gen(8,4,6,5) 例如E3=E3gen(3,1,3,4)例7.2.4 求消元所需的乘子矩阵 要消去下列矩阵的A(2,1),求乘子矩阵E3 在第二行加以第一行乘A(

4、2,1)/A(1,1)3， 故令B E3gen（A,1,2,3） 行阶梯生成等价于矩阵左乘 因此，整个行阶梯形式U的生成过程，可以看作 把原矩阵左乘以一系列的初等变换矩阵E1和E3 。把这些初等矩阵的连乘积写成Ex，设其逆为 L:从而有L*UA （7.10） 就是说，A可以分解为一个准下三角矩阵L和一 个上三角（即行阶梯）矩阵U的乘积。MATLAB 提供了三角分解的函数lu，它的调用方法是： L,Ulu(A) lu分解是求行阶梯的一个方法 用lu函数求出的U实际上就是A的行阶梯形 式（不是简化行阶梯形式）。所以，求简 化行阶梯形式用rref函数，而求行阶梯形 式可以用lu 函数。不过，它和我们

5、用消元 运算所得U的数据不一定相同，尽管得出 的阶次和阶梯形状相同。但因为行阶梯形 式可以有无数种，用不同步骤算出的结果 也不同。只有变成简化行阶梯形式，才能 进行比较，看它是不是惟一的。7.3 行列式的定义和计算 两种定义方法： 1。按全排列求和定义，其中tj为第j种排列的逆序数。行列式第2种定义方法2。按解的分母项，从低阶到高阶用归纳法定义二阶：三阶：两种定义方法的比较第一种定义的两个数学难点全排列和逆序数， 是绝大多数工科学生一生不会用的。 第二种定义方法自然地得出了行列式按行（或按 列）展开的公式。美国教材都用第二种定义方 法，成电教材（全国精品课程）也用这种方法 。 两种方法都不能用

6、来计算，因为其计算效率都 极低，2525矩阵要算上万年。 第8章将指出，行列式的几何意义是面积或体积， 可否从这方面探索，因为它的用途很单一，就 是判断奇异性，连正负号都不必关心。行列式的计算方法 计算行列式的最好方法还是行阶梯法，可 以利用lu分解 L,Ulu(A) 把A分解为一个准下三角矩阵L和一个上三 角矩阵U的乘积。因为det(L)1，所以U和 A的行列式相等。 det(A) det(U) 而三角矩阵U的det(U)很好求。只要把U的 主对角线元素连乘就可得到它的行列式。 此法所需的乘法次数仅为定义1法的10 -23 行列式计算实例7.3.1 程序如下 l,ulu(A), du dia

7、g(u) Dprod(du) 结果为du 104.8 10.6259.4824 1.2349 D 5.9720e003 59727.4 矩阵的秩和矩阵求逆 按定义，矩阵的秩是矩阵A中行列式不等于零的 最高阶子式的阶次。是用以衡量联立方程中有 效方程数目的指数。 按照定义来计算矩阵的秩，可能遇到的问题也 是子矩阵的数量很大，每个矩阵的行列式计算 又非常麻烦，其计算量也将是不可接受的天文 数字。 计算矩阵的秩的最好方法仍然是行阶梯法，如 第6章所述，行阶梯化简后非全为零的行数，就 是该矩阵的秩。用MATLAB函数rrank(A)可以 检验A的秩，rank函数对A是否是方阵没有要求 ，即可以有mn。

8、 矩阵求逆 对于nn方阵A，当rn时，称A是满秩的 ，若rn，必有det(A)0，称A是欠秩的或 奇异的。奇异矩阵不可以求逆。 矩阵求逆的最简单方法也是行阶梯化简， 其方法是设定一个由A和I组成的增广矩阵 CA,I，求C的简化行阶梯形式 UCrref(A,I)，得出UCI,V。V就显示 出这个逆矩阵的内容。例7.6 求逆矩阵示例 求A的逆阵 解：程序ag706。 A3,0,3,6;5,1,1,5;3,1,4,9;1,3,4,4; CA,eye(4) U0Crref(C) VU0C(:,5:8)程序运行结果 右边四列就是其逆阵：矩阵求逆命令：V=inv(A), 用inv函数求逆 求A的逆阵程序a

9、g707为： A=-16,-4,-6;15,-3,9;18,0,9, V=inv(A)运行结果： Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate. RCOND = 6.042030e-018.条件数衡量奇异程度的量 在用数值方法计算矩阵的逆时，由于计算中的 误差，人们不大可能得到理想的零合理想的全 零行，所以矩阵是否奇异，并不是那么绝对的 。 为了评价矩阵接近奇异的程度，采用了条件数 （Condition Number）作为常用的衡量指标。 它永远大于1。其数值愈接近于1，计算误差愈

10、小； MATLAB中，条件数用cond(A)计算，它达到 104以上时，求逆的误差就可能相当可观。像现 在，条件数达到1016（注：条件数是逆条件数 RCOND的倒数），结果是根本不能用的。7.5 用矩阵除法解线性方程 如果mn，则线性代数方程 Axb （7.21） 中的A是方阵，设det(A)0，则它的逆阵存在。 将上式左右同乘以inv(A) ，由于inv(A) *AI，得 到 xinv(A)*b （7.23） MATLAB创立了矩阵除法的概念，因为 inv(A)相 当于将A放到分母上去，所以可以把上式写成 xA b （7.24） 就称为左除，因为inv(A)是乘在b的左方 。 左除解线性方

11、程的扩展 左除的功能远远超过了矩阵求逆函数inv ，inv(A)函数要求A必须是方阵，所以（ 7.23）式只能用来解适定方程，而（ 7.24）式并不要求A为方阵，在A是mn阶 且mn（欠定）时，它只要求A与b的行数 相等且A的秩为m。所以（7.24）式也可 以用来解欠定方程，在下例中可以看出。 此外，运算符还能用来解超定方程， 左除解欠定方程 例7.8 用矩阵算法解例6.5.1 A3,4,3,2,1;0,6,0,3,3;4,3,4,2,2; 1,1,1,0,1;2,6,2,1,3; b 2; 3; 2; 0; 1; x=Ab 得到x=inf，无解。改用行阶梯方法找有效行。 左除要求的是系数矩阵

12、的行数与秩相同， BA,b,r=rank(B),UB,iprref(B); U0UB(1:r,1:5); dUB(1:3,6); xU0d 本例运行结果r=3,及 它是此欠定方程的一个特解。7.6.1 网络的矩阵分割和连接 在电路设计中，经常要把复杂的电路分割为局 部电路，每一个电路都用一个网络黑盒子来表 示。黑盒子的输入为u1，i1，输出为u2，i2， 其输入输出关系用矩阵A来表示（如图7.1所示 ）： A是22矩阵，称为该局部电路的传输矩阵 两个网络的串联 两个串接的子网络。第一个子网络包含电阻 R1，第二个子网络包含电阻R2，列出第一 个子网络的电路方程为： 由 得矩阵方程两个网络的串联

13、（续） 由第二网络： 写成矩阵方程为： 整个电路的传输矩阵为两者的乘积7.6.2 用逆阵进行保密编译码 在英文中有一种对消息进行保密的措施，就是 把英文字母用一个整数来表示。然后传送这组 整数。这种方法是很容易根据数字出现的频率 来破译，例如出现频率特别高的数字，很可能 对应于字母E。 可以用乘以矩阵A的方法来进一步加密。假如A 是一个行列式等于1的整数矩阵，则A1的元素 也必定是整数。而经过这样变换过的消息，同 样两个字母对应的数字不同，所以就较难破译 。 接收方只要将这个消息乘以A1就可以复原。7.6.3 减肥配方的实现 设脱脂牛奶的用量为x1个单位（100g），大豆面 粉的用量为x2个单

14、位，乳清的用量为x3个单位 ，表中的三个营养成分列向量为：使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等，得到 7.6.4 弹性梁的柔度矩阵 设简支梁如图7.3所示，在梁的三个位置分别施 加力f1，f2和f3后，在该处产生的综合变形为图 示的y1，y2和y3，通常称为挠度。根据虎克定 律，在材料未失去弹性的范围内，力与它引起 的变形呈线性关系，可以写出： 矩阵中的元素d为单位力f引起的挠度，它愈大， 表明这个梁愈柔软。 数字实例 设柔度矩阵（1）在1，2，3处施加的力为30，50和20试求出其挠度 。（2）要在3处产生0.4挠度，其他两处为零，求应加的力。 程序ag764 D0.001*5,2,1;2,

15、4,3;1,3,6 % 输入柔度矩阵 f30;50;20, yD*f （排齐）% 给定力，求挠度 y10;0;0.4 % 给定挠度， Kinv(D), f1K*y1 % 求刚度矩阵,求力梁的刚度矩阵计算 柔度矩阵的逆就是刚度矩阵K，KD 1， 其中7.6.5 网络和图 图为1，2，3，4四个城市之间的空运航线，用有向图 表示。则该图可以用下列航路矩阵表示： 经过一次转机（也就是坐两次航班）能到达的城市， 可以由邻接矩阵的平方A2A12来求得。 第8章 用向量空间解方程组 8.1 向量和向量空间 二维空间R2中的向量用两个沿列向的元素表示 u=2;4; v=3;-1; plot(2,3,4,1,x);hold on % 若用中的子程序drawvec， drawvec(u);hold on draw