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1、- 1 -课后提升训练课后提升训练 十九十九 数学归纳法数学归纳法(45(45 分钟分钟 7070 分分) )一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)1.用数学归纳法证明对 n 为正偶数时某命题成立,若已假设 n=k(k2 为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证 ( )A.n=k+1 时等式成立B.n=k+2 时等式成立C.n=2k+2 时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立【解析】选 B.相邻的两个偶数,若前一个为 k,则下一个为 k+2.2.(2017海口高二检测)用数学归纳法证明+1(nN*),在验证 n=1 时,左边的代数式为 ( )A. + +B. +C.D.1【解析】选 A
2、.在+1(nN*)中,当 n=1 时,3n+1=4,故 n=1 时,等式左边的项为:+ + .【补偿训练】(2017长春高二检测)用数学归纳法证明等式 1+2+3+(n+3)=(nN*)时,第一步验证 n=1 时,左边应取的项是 ( )A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4【解析】选 D.在等式 1+2+3+(n+3)=(nN*)中,当 n=1 时,n+3=4,而等式左边是起始为 1 的连续的正整数的和,故当 n=1 时,等式左边的项为 1+2+3+4.3.观察下列各式:已知 a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,则归纳猜测 a7+b7= (
3、)- 2 -A.26B.27C.28D.29【解析】选 D.观察发现,1+3=4,3+4=7,4+7=11,7+11=18,11+18=29,所以 a7+b7=29.4.(2017潍坊高一检测)若把正整数按如图所示的规律排序,则从 2016 到 2018 的箭头顺序方向依次为 ( )A.B.C.D.【解析】选 B.从题图可看出是以 4 为周期的循环,2016 能被 4 整除,因此2016201720185.下列四个判断中,正确的是 ( )A.式子 1+k+k2+kn(kN*,nN*)中,当 n=1 时式子值为 1B.式子 1+k+k2+kn-1(kN*,nN*)中,当 n=1 时式子值为 1+
4、kC.式子 1+ + +(nN*)中,当 n=1 时式子值为 1+ +D.设 f(k)=+(kN*),则 f(k+1)=f(k)+【解析】选 C.A 错,n=1 时式子值为 1+k;B 错,n=1 时式子值为 k0=1;C 正确;D 错,f(k+1)=f(k)+-.6.设凸 k 边形的内角和为 f(k),则凸 k+1 边形的内角和 f(k+1)=f(k)+_.( )- 3 -A.2B.C.D.【解析】选 B.将 k+1 边形 A1A2AkAk+1的顶点 A1与 Ak相连,则原多边形被分割为 k 边形 A1A2Ak与三角形A1AkAk+1,其内角和 f(k+1)是 k 边形的内角和 f(k)与三
5、角形 A1AkAk+1的内角和 的和.7.设 f(n)=1+ + +(nN*),那么 f(n+1)-f(n)等于 ( )A.B.+C.+D.+【解析】选 D.因为 f(n)=1+ + +,f(n+1)=1+ + +,所以 f(n+1)-f(n)=+.【补偿训练】用数学归纳法证明不等式+的过程中,由 n=k 推导 n=k+1 时,不等式的左边增加的式子是_.【解析】不等式的左边增加的式子是+-=.答案:8.(2017衡水高二检测)用数学归纳法证明“5n-2n能被 3 整除”的第二步中,n=k+1 时,为了使用假设,应将 5k+1-2k+1变形为 ( )A.(5k-2k)+45k-2kB.5(5k
6、-2k)+32kC.(5-2)(5k-2k)D.2(5k-2k)-35k【解析】选 B.5k+1-2k+1=5k5-2k2=5k5-2k5+2k5-2k2=5(5k-2k)+32k.- 4 -二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)9.(2017合肥高二检测)用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(nN*),“从 k 到 k+1”左端增乘的代数式为_.【解析】令 f(n)=(n+1)(n+2)(n+n),则 f(k)=(k+1)(k+2)(k+k),f(k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2),所以=2(2k+1).答案:2(2k+1)【
7、补偿训练】(2017武汉高二检测)用数学归纳法证明 12+22+(n-1)2+n2+(n-1)2+22+12=(nN*)时,由 n=k 的假设到证明 n=k+1 时,等式左边应增加的式子是_.【解析】根据等式左边的特点,各数是先递增再递减,由于 n=k,左边=12+22+(k-1)2+k2+(k-1)2+22+12,n=k+1 时,左边=12+22+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+ (k-1)2+22+12,比较两式,可知等式左边应增加的式子是(k+1)2+k2.答案:(k+1)2+k210.对任意 nN*,34n+2+a2n+1都能被 14 整除,则最小的自然数 a=_.【解析】当
8、n=1 时,36+a3能被 14 整除的数为 a=3 或 5,当 a=3 且 n=2 时,310+35不能被 14 整除,故 a=5.答案:5三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)11.用数学归纳法证明:1+1),如何证明?【证明】(1)当 n=2 时,左边=1+ + ,右边=2,左边1,kN*)时,不等式成立,即 1+ + +0(nN*),(1)求 a1,a2,a3的值,并猜想数列an的通项公式.(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.【解析】(1)由 2Sn=+n 得当 n=1 时,2a1=+1,所以 a1=1.当 n=2 时,2S2=+2,所以 a2=2.当 n=3 时,2S3=+3
9、,所以 a3=3.猜想:数列an的通项公式为 an=n.(2)当 n=1 时,a1=1 满足 2S1=+1,所以 an=n 成立.假设 n=k(k1,kN*)时,ak=k 成立,则当 n=k+1 时,2Sk+1=+k+1.所以 2(a1+a2+ak+ak+1)=+k+1,2(1+2+3+k+ak+1)=+k+1,2+2ak+1=+k+1,整理得-2ak+1+(k+1)(1-k)=0,即ak+1-(k+1)ak+1-(1-k)=0.- 7 -因为 an0,所以 ak+1=k+1,所以当 n=k+1 时,等式成立.由知对 nN*,an=n 成立.【拓展延伸】“观察归纳 猜想证明”模式的题目的解法(
10、1)观察:由已知条件写出前几项.(2)归纳:找出前几项的规律,找到项与项数的关系.(3)猜想:猜想出通项公式.(4)证明:用数学归纳法证明猜想的形式,因为猜想不一定正确,所以要通过数学归纳法给出证明.【能力挑战题】等比数列an的前 n 项和为 Sn,已知对任意的 nN*,点(n,Sn)均在函数 y=tx+r(t0 且 t1,t,r 均为常数)的图象上.(1)求 r 的值.(2)当 t=2 时,记 bn=2(log2an+1)(nN*),证明:对任意的 nN*,不等式成立.【解析】(1)由题意:Sn=tn+r,当 n2 时,Sn-1=tn-1+r.所以 an=Sn-Sn-1=tn-1(t-1),由于 t0 且 t1,所以 n2 时,an是以 t 为公比的等比数列.又 a1=t+r,a2=t(t-1),=t,即=t,解得 r=-1.(2)当 t=2 时,由(1)知 an=2n-1,因此 bn=2n(nN*),所证不等式为.当 n=1 时,左式= ,右式=.- 8 -左式右式,所以结论成立,假设当 n=k(kN*)时结论成立,即,则当 n=k+1 时,=.要证当 n=k+1 时结论成立,只需证,即证,由基本不等式=成立,故成立,所以当 n=k+1 时,结论成立.由可知,nN*时,不等式成立.
