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1、- 1 -第一章第一章 计数原理计数原理能力深化提升能力深化提升类型一 两个计数原理【典例 1】(1)从集合1,2,3,10中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列共有 ( )A.3 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个(2)如图所示,要用 4 种颜色给四川、青海、西藏、云南四省(区)的地图染色,每一省(区)一种颜色,只要求相邻的省(区)不同色,则不同染色的方法有多少种?【解析】(1)选 D.以 1 为首项的等比数列为 1,2,4;1,3,9;以 2 为首项的等比数列为 2,4,8;以 4 为首项的等比数列为 4,6,9,共 4 个.把这四个数列的顺序颠倒,又得到 4 个
2、数列,故所求数列共有 8 个.(2)给四川染色有 4 种方法,给青海染色有 3 种方法,给西藏染色有 2 种方法,给云南染色有 2 种方法,根据分步乘法计数原理,不同的染色方法共有 4322=48(种).【方法总结】运用两个计数原理解题时的三个关注点(1)运用分类加法计数原理时,按事件的性质进行分类,每类办法中的任意一种方法都可以独立完成这件事,分类必须满足两个条件:类与类必须互斥(做到不重);总类必须完备(保证不漏).(2)分步乘法计数原理在运用时,要确定好次序,并且每一步都是独立,互不干扰的;还要注意元素是否可以重复选取.分步乘法计数原理的特征是按事件发生的连续过程分步,其中,每一个步骤中
3、的任意一种方法只能完成这件事的一部分,几个步骤依次完成,这件事才算完成,分步也必须满足两个条件:步与步相互独立,互不干扰;步与步确保连续.(3)对于比较复杂的问题,可同时运用这两个计数原理,借助列表、画图分析的方法来完成.【巩固训练】某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O 型血的共有 28 人,A 型血的共有 7 人,B 型血的共有 9 人,AB 型血的共有 3 人.(1)从中任选 1 人去献血,有多少种不同的选法?(2)从四种血型的人中各选 1 人去献血,有多少种不同的选法?- 2 -【解析】从 O 型血的人中选 1 人有 28 种不同的选法,从 A 型血的人中选 1 人有 7 种不同的选
4、法,从 B 型血的人中选 1 人有 9 种不同的选法,从 AB 型血的人中选 1 人有 3 种不同的选法.(1)任选 1 人去献血,即无论哪种血型的哪一个人,“任选 1 人去献血”这件事情已完成,所以用分类加法计数原理,有 N=28+7+9+3=47 种不同的选法.(2)要从四种血型的人中各选 1 人,即要在每种血型的人中依次选出 1 人后,“各选 1 人去献血”这件事情才完成,所以用分步乘法计数原理,有 N=28793=5292 种不同的选法.【补偿训练】已知集合 A=a1,a2,a3,a4,集合 B=b1,b2,其中 ai,bi(i=1,2,3,4,j=1,2)均为实数.(1)从集合 A
5、到集合 B 能构成多少个不同的映射?(2)能构成多少个以集合 A 为定义域,集合 B 为值域的不同函数?【解析】(1)因为集合 A 中的元素 ai(i=1,2,3,4)与集合 B 中元素的对应方法都有 2 种,由分步乘法计数原理,构成 AB 的映射有 N=2222=24=16 个.(2)在(1)的映射中,a1,a2,a3,a4均对应同一元素 b1或 b2的情形构不成以集合 A 为定义域,以集合 B 为值域的函数,这样的映射有 2 个,所以构成以集合 A 为定义域,以集合 B 为值域的函数有 N=16-2=14 个.类型二 排列组合问题【典例 2】(1)(2015上海高考)在报名的 3 名男教师
6、和 6 名女教师中,选取 5 人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为_.(结果用数值表示)(2)从 7 名男生和 5 名女生中,选出 5 人,分别求符合下列条件的选法数.A,B 必须被选出;至少有 2 名女生被选出;让选出的 5 人分别担任体育委员、文娱委员等 5 种不同职务,但体育委员由男生担任,文娱委员由女生担任.【解析】(1)由题意可分男 1,女 4,男 2,女 3 和男 3,女 2 三种情况,可以共有+=45+60+15=120.答案:120(2)除 A,B 选出外,从其他 10 人中再选 3 人,共有选法数为=120(种);按女生的选取情况分类:选 2 名女生
7、3 名男生;选 3 名女生 2 名男生;选 4 名女生 1 名男生;选 5 名女生.所有选法数为+=596(种);选出 1 名男生担任体育委员,再选出 1 名女生担任文娱委员,剩下的在 10 人中任选 3 人担任其他 3 个职- 3 -务.由分步乘法计数原理可得到所有选法数为=25200(种).【方法总结】解排列、组合应用题的解题策略(1)特殊元素优先安排的策略.(2)合理分类和准确分步的策略.(3)排列、组合混合问题先选后排的策略.(4)正难则反、等价转化的策略.(5)相邻问题捆绑处理的策略.(6)不相邻问题插空处理的策略.(7)定序问题除法处理的策略.(8)分排问题直排处理的策略.(9)“
8、小集团”排列问题中先整体后局部的策略.(10)构造模型的策略.简单记成:合理分类 ,准确分步;特殊优先,一般在后;先取后排,间接排除;集团捆绑,间隔插空;抽象问题,构造模型.【巩固训练】在高三一班元旦晚会上,有 6 个演唱节目,4 个舞蹈节目.(1)当 4 个舞蹈节目要排在一起时,有多少种不同的节目安排顺序?(2)当要求每 2 个舞蹈节目之间至少安排 1 个演唱节目时,有多少种不同的节目安排顺序?【解析】(1)第一步先将 4 个舞蹈节目捆绑起来,看成 1 个节目,与 6 个演唱节目一起排,有=5040 种方法;第二步再松绑,给 4 个节目排序,有=24 种方法.根据分步乘法计数原理,一共有 5
9、04024=120960 种.(2)第一步将 6 个演唱节目排成一列(如图中的“”),一共有=720 种方法.第二步,再将 4 个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“”的位置),这样相当于 7 个“”选 4 个来排,一共有=7654=840 种.根据分步乘法计数原理,一共有 720840=604800 种.类型三 二项式定理及其应用【典例 3】(2017杭州高二检测)(1)若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为( )A.-1B.0C.1D.2- 4 -(2)若(3x2-2x+1)5=a10x10+a9x9+a8x8+
10、a1x+a0(xC),求(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2- (a1+a3+a5+a7+a9)2;-a2+a4-a6+a8-a10.【解析】(1)选 C.在(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中,令 x=1,得(2+)4=a0+a1+a2+a3+a4,令 x=-1,得(-2+)4=a0-a1+a2-a3+a4.两式相乘,得(2+)4(-2+)4=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4).所以(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(-4+3)4=1.(2)令 x=1,得 a0+a1+a10=25;令 x=-1,得(a0+a2+a4+a6+a
11、8+a10)-(a1+a3+a5+a7+a9)=65,两式相乘,得(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2=2565=125.令 x=i,得-a10+a9i+a8-a7i-a6+a5i+a4-a3i-a2+a1i+a0=(-2-2i)5=-25(1+i)5=-25(1+i)22(1+i)=128+128i.整理得,(-a10+a8-a6+a4-a2+a0)+(a9-a7+a5-a3+a1)i=128+128i,故-a10+a8-a6+a4-a2+a0=128.因为 a0=1,所以-a10+a8-a6+a4-a2=127.【方法总结】对于二项式定理的考查常有
12、两类问题(1)第一类,直接运用通项公式求特定项或解决与系数有关的问题.(2)第二类,需运用转化思想化归为用二项式定理来处理的问题.【巩固训练】(2017临沂高二检测)若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.(1)求 n 的值及展开式中二项式系数最大的项.(2)此展开式中是否有常数项,为什么?【解析】(1)由展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列,得 2=+,解之得 n=7,由于n=7 为奇数,所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项,它们分别是T4=35,T5=35.- 5 -(2)由 Tr+1=(0r7),令=0 得 r= (舍去),所以无常数项.【补偿训练】在(-)8的展开式中:(1)求系数绝对值最大的项.(2)求二项式系数最大的项.(3)求系数最大的项和系数最小的项.【解析】Tr+1=()8-r(-)r=(-1)r2r.(1)设第 r+1 项系数的绝对值最大.则所以即 5r6,故系数绝对值最大的项是第 6 项和第 7 项.(2)二项式系数最大的项为中间项,即为第 5 项.所以 T5=24=1120x-6.(3)由(1)知,展开式中的第 6 项和第 7 项系数的绝对值最大,而第 6 项的系数为负,第 7 项的系数为正.则系数最大的项为:T7=(-2)6x-11=1792x-11.系数最小的项为 T6=-25=-1792.
