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1、- 1 -第二章第二章 推理与证明推理与证明能力深化提升能力深化提升类型一 合情推理【典例 1】(1)在矩形 ABCD 中,对角线 AC 与相邻两边所成的角为 ,则 cos2+cos2=1,类比到空间中的一个正确命题是:在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,对角线 AC1与相邻三个面所成的角为 ,则有_.(2)(2017宁波高二检测)两点等分单位圆时,有相应正确关系为 sin+sin(+)=0;三点等分单位圆时,有相应正确关系为 sin+sin+ sin=0,由此可以推知,四点等分单位圆时的相应正确关系为_.【解析】(1)我们将平面中的二维性质,类比推断 到空间中的三维性质.由在长方形中,设
2、一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是 ,则有cos2+cos2=1.我们根据长方形性质可以类比推断出空间性质,因为长方体 ABCD-A1B1C1D1中,对角线 AC1与过点 A 的三个面 ABCD,AA1B1B,AA1D1D 所成的角分别为 ,所以 cos=,cos=,cos=,所以 cos2+cos2+cos2=2.答案:cos2+cos2+cos2=2(2)用两点等分单位圆时,关系为 sin+sin(+)=0,两个角的正弦值之和为 0,且第一个角为 ,第二个角与第一个角的差为(+)-=,用三点等分单位圆时,关系为 sin+sin+sin=0,此时三个角的正弦值之和为 0,且第一个
3、角为 ,第二个角与第一个角的差和第三个角与第- 2 -二个角的差相等,即有-=-=.以此类推,可得当四点等分单位圆时,此四个角正弦值之和为 0,且第一个角为 ,第二个角为+=+,第三个角为+=+,第四个角为 +=+,即其关系为 sin+sin+sin(+)+sin=0.答案:sin+sin+sin(+)+sin=0【方法总结】归纳推理的特点及一般步骤【巩固训练】三角形的面积为 S= (a+b+c)r,其中 a,b,c 为三角形的边长,r为三角形内切圆的半径,利用类比推理可以得出四面体的体积为 ( )A.V= abcB.V= ShC.V= (S1+S2+S3+S4) r(S1,S2,S3,S4分
4、别为四面体的四个面的面积,r 为四面体内切球的半径)D.V= (ab+bc+ac)h(h 为四面体的高)【解析】选 C.此题为平面几何与立体几何的类比,类比的知识有面积与体积,边长与面积,圆与球.【补偿训练】(2017大庆高二检测)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可推出空间下列结论:垂直于同一条直线的两条直线互相平行;- 3 -垂直于同一个平面的两条直线互相平行;垂直于同一条直线的两个平面互相平行;垂直于同一个平面的两个平面互相平行.则正确的结论是 ( )A.B.C.D.【解析】选 C.中两直线也可能相交或异面,错误;中两平面也可能相交,错误,正确.类型二 演绎推理【典
5、例 2】已知:sin230+sin290+sin2150= ,sin25+sin265+sin2125= ,通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题:_= (*)并给出(*)式的证明.【解析】一般形式:sin2+sin2(+60)+sin2(+120)= .证明:左边=+= -cos2+cos(2+120) +cos(2+240)= - (cos2+cos2cos120-sin2sin120+cos2cos240-sin2sin240)= -= =右边,所以原式得证.【方法总结】演绎推理应用的关注点演绎推理是从一般到特殊的推理;其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是
6、大前- 4 -提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略.【巩固训练】若定义在区间 D 上的函数 f(x)对于 D 上的几个值 x1,x2,xn总满足f(x1)+f(x2)+f(xn)f,则称函数 f(x)为 D 上的凸函数,现已知 f(x)=sinx 在(0,)上是凸函数,则在ABC 中,sinA+sinB+sinC 的最大值是_.【解析】因为f(x1)+f(x2)+f(xn)f,(大前提)因为 f(x)=sinx 在(0,)上是凸函数,(小前提)所以 f(A)+f(B)+f(C)3f,(结论)即 sinA+sinB+sinC3sin=,所以 sinA+sinB+sinC 的最大值是.答案:类
7、型三 综合法与分析法【典例 3】(1)已知 a,b,c 为互不相等的非负数.求证:a2+b2+c2(+).(2)(2016马鞍山高二检测)用分析法证明 2cos(-)-=.【证明】(1)因为 a2+b22ab,b2+c22bc,a2+c22ac,又因为 a,b,c 为互不相等的非负数,所以上面三个式子中都不能取“=”,所以 a2+b2+c2ab+bc+ac,因为 ab+bc2,bc+ac2,ab+ac2,- 5 -又 a,b,c 为互不相等的非负数,所以 ab+bc+ac(+),所以 a2+b2+c2(+).(2)要证原等式成立,只需证:2cos(-)sin-sin(2-)=sin .因为式左
8、边=2co s(-)sin-sin(-)+=2cos(-)sin-sin(- )cos-cos(-)sin=cos(-)sin-sin(-)cos=sin=右边,所以成立,即原等式成立.【方法总结】综合法和分析法的特点(1)综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题的常用的方法,综合法是由因导果的思维方式,而分析法的思路恰恰相反,它是执果索因的思维方式.(2)分析法和综合法是两种思路相反的推理方法:分析法是倒溯,综合法是顺推,二者各有优缺点.分析法容易探路,且探路与表述合一,缺点是表述易错;综合法条件清晰,易于表达,因此对于难题常把二者交互运用,互补优缺,形成分析综合法,
9、其逻辑基础是充分条件与必要条件.【巩固训练】已知 (0,),求证:2sin2.【证明】方法一:(分析法)要证明 2sin2成立.只要证明 4sincos.因为 (0,),所以 sin0.只要证明 4cos,上式可变形为 4+4(1-cos).因为 1-cos0,- 6 -所以+4(1-cos)2=4,当且仅当 cos= ,即 =时取等号.所以 4+4(1-cos)成立.所以不等式 2sin2成立.方法二:(综合法)因为+4(1-cos)4,1-cos0,当且仅当 cos= ,即 =时取等号,所以 4cos.因为 (0,),所以 sin0.4sincos,所以 2sin2.【补偿训练】试分别用分
10、析法和综合法证明:已知 a,b,c,dR,求证:ac+bd.【证明】分析法:当 ac+bd0 时,显然成立.当 ac+bd0 时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2).即证a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,即证 2abcdb2c2+a2d2.即证 0(bc-ad)2,因为 a,b,c,dR,所以上式恒成立,故原不等式成立,综合知,原不等式得证.综合法:因为(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2- 7 -=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2bcad+a2d2)=(ac+bd)2+(b
11、c-ad)2(ac+bd)2,所以|ac+bd|ac+bd.类型四 反证法【典例 4】已知 a3+b3=2,求证:a+b2.【证明】方法一:假设 a+b2,则 a2-b,所以 a3(2-b)3=8-12b+6b2-b3,即 a3+b38-12b+6b2.因为 a3+b3=2,所以 8-12b+6b22,则 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)2(a2-ab+b2).因为 a3+b3=2,所以 22(a2-ab+b2),即 a2-ab+b2a2+b22ab,从而 ab2 矛盾,所以假设不成立,故当 a3+b3=2 时,a+b2.【方法总结】反证法的关注点(1)反证法的思维过程:否定结论推理
12、过程中引出矛盾否定假设肯定结论,即否定推理否定(经过正确的推理导致逻辑矛盾,从而达到新的“否定”(即肯定原命题).(2)反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题;涉及“都是” “都不是” “至少”“至多”等形式的命题时,也常用反证法.【巩固训练】已知 f(x)=x2+px+q.(1)求证:f(1)+f(3)-2f(2)=2.(2)求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 .- 8 -【证明】(1)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.(2)假设原命题不成立,则|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 ,则|
13、f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|1+ +=1+ + =1+,f(k+1)=f(k)+ +k+ +k+- 9 -所以 f(k+1) +(k+1),即 n=k+1 时,原式也成立.综合(1),(2)可得:原式成立.【方法总结】在应用数学归纳法证题时应注意以下几点(1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定为 1.(2)递推是关键:正确分析由 n=k 到 n=k+1 时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障.(3)利用假设是核心:在第二步证明中一定要利用归纳假设,这是数学归纳法证明的核心环节,否则这样的证明就不是数学归纳法证明.【巩固训练】用数学归纳法证明:=(n2,nN*).【证明】(1)当 n=2 时,左边=1- = ,右边= ,所以左边=右边,即当 n=2 时等式成立.(2)假设 n=k(k2,kN*)时等式成立,即=.那么 n=k+1 时,利用归纳假设有:=,即 n=k+1 时等式也成立.综合(1)、(2)知,对任意 n2,nN*等式恒成立.
