自考概率论课件第一章事件及其概率1

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1、概率论与数理统计 （经管类）武汉大学出版社【2006年版】Date1目目 录录1.1.随机事件与概率随机事件与概率 2.2.随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 3.3.多维随机变量及其概率分布多维随机变量及其概率分布 4.4.随机变量的数字特征随机变量的数字特征 5.5.大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理 6.6.统计量及其抽样分布统计量及其抽样分布 7.7.参数估计参数估计 8.8.假设检验假设检验 9.9.回归分析回归分析Date2引 言一、概率论的发展史1.起源阶段17世纪中叶，赌博已风靡了欧洲。摩纳哥的蒙特卡洛城是世界闻名的大赌城，那里云集了世界各国的赌徒们.他们提出了

2、一些赌博中的难题求教于当时的数学家：帕斯卡、费马、高斯等，希望他们能揭示其中的弊端，指点迷津.为此数学家们进行了探讨，从而开创了一门新的数学分支概率论.1657年荷兰的惠更斯发表的论赌博中的计算大概要算古典概率中的最早的著作.Date32.直观认识阶段概率论的蓬勃发展是19世纪末的事情，随着生产和自然科学的发展，概率论在物理学、社会保险事业（人寿保险）和大规模的工业生产中得到应用，应用的同时使之得到发展，广泛地应用了微积分、微分方程、代数和几何的工具。但此时概率论不是一门成熟的学科，它的基本概念缺乏严格定义，仅仅停留在直观的基础上。Date43.公理化阶段20世纪30年代，概率论建立了严格的公

3、理化系统（柯尔莫哥洛夫）。具体地说：用集合定义了事件，用测度定义概率，用可测函数定义随机变量和随机过程，用积分定义数学期望等，使概率论日趋成熟与完善。应用概率论解决实际问题的方法称为统计方法。Date5二、应用1.大批产品的质量估计与控制2.误差理论3.气象、地震的预测（如：气象统计学）4.水文“水文统计学”5.公共服务事业：保险（保险精算）、排队论6.投资理论Date6三、概率论研究的对象概率论与数理统计是一门研究随机现象量的规律性的数学学科。那么，什么叫随机现象？请看下面两个试验：试验1.一个盒子有10个完全相同的白球，搅匀从中任取一个球。结果如何？试验2.一个盒子有10个大小、质地完全相

4、同的球,其中5个白球，5个黑球,搅匀从中任取一个球。结果又如何?试验1的结果是确定性现象，试验2的结果就是随机现象。Date7确定性现象：在给定条件下一定会发生或一定不会发生的现象.随机现象：在给定条件下可能发生也可能不发生的现象. 例 1 (1)太阳从东方升起；(2)边长为a的正方形的面积为a2 ；(3)一袋中有10个白球，今从中任取一球为白球；例 2 (4)掷一枚硬币，正面向上；(5)掷一枚骰子，向上的点数为2 ；(6)一袋中有5个白球3个黑球，今从中任取一球为白 球.确定性现象与随机现象Date8第一章 随机事件及其概率1.1 随机事件及其运算试验：为了研究随机现象，对客观事物进行观察的

5、过程.1. 随机试验随机试验：具有以下特点的试验称为随机试验，用E表示.（1）在相同的条件下可以重复进行；（可重复性）（2）每次试验的结果不止一个，并且在试验之前可以明确 试验所有可能的结果；（结果的非单一性或多结果性）（3）在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一 种结果。（随机性） 注意：今后所说的试验 均指随机试验，且是广泛的术语.一、随机事件Date92. 随机事件：随机试验的结果称为事件. 每次试验中，可能发生也可能不发生，而在大量试 验中具有某种规律性的现象称为随机事件.用 A,B,C等表示.注意：1.今后所指的事件均指随机事件.2.试验的结果也叫随机现象，随机现象即 随机事

6、件.Date10随机事件的分类：(1)基本事件：对于试验目的而言不可再细分的试验结果. (2)复合事件：由若干个基本事件构成的事件. (3)必然事件：每次试验中一定发生的事件. (4)不可能事件：每次试验中一定不发生的事件. 例1. 掷一枚均匀的骰子，=点数小于等于6, A=点数为4, B=偶数点，C=点数不大于3, =点数为8 则基本事件为? 复合事件为？必然事件为？不可能事件为？ 注意：（1）基本事件、复合事件、必然事件、不可能事件是相对 于试验条件而言.（2）必然事件、不可能事件是确定性事件，是随机事件的 极端情况.（3）事件A发生：当且仅当事件A中的一个基本事件出现.Date113.

7、样本空间：所有的基本事件组成的集合，用表示.样本点：样本空间中的每一个元素为一个样本点.用表示. 例:掷硬币=正面，反面；“正面”是一个样本点.掷骰子=1,2,3,4,5,6；“1”是一个样本点.可见：样本空间作为事件即必然事件；样本点即基本事件. Date12例1. 掷一枚均匀的骰子，观察向上的点数， =？=1，2，3，4，5，6 例2 .在某段时间内，考察车站候车的旅客数， =？=0，1，2，3. 例3 .向区间a, b内随机的投一质点，观察落点的坐标， =a, b 例4 .同时掷两枚均匀的硬币， 1表示“正面向上”， 0表 示“反面向上”，=？=(0 , 0 ), (1 , 0 ), (

8、0 , 1 ), (1 , 1 ) 例5 .向平面上随机的投一质点，观察落点的坐标，=？=(x,y)Date13二、事件的集合表示我们用点集的概念与图示方法来研究事件之间的关系和运算 ，会比较直观，容易理解.规定：样本空间 全部样本点的集合 全集基本事件 一个样本点的集合，即单点集.复合事件 多个样本点的集合不可能事件 不含任何样本点的集合 空集所谓事件A发生，当且仅当A中的某个样本点出现.Date14三、事件间的关系及运算因为任一随机事件都是样本空间的一个子集，所以事 件的关系和运算与集合的关系和运算完全类似.1.事件的包含与相等事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B 包含事件A，或称事件

9、A包含于事件B ，记为A B 或 B A.样本空间BA属于 A 的 必然属于 B 注：对任一事件 A 有： A 当事件包含事件且事件也包含事件时，则称事件与事件相等.记为=.Date15样本空间2. 事件的并（和）“两事件与中至少有一个发生” 这一事件称为事件与的并（和）.记为：或+.中的样本点是中的样 本点与中的样本点的合并例如：掷一枚骰子，A =奇数点，B=点数小于4.则：AB=1，3，51，2，3注意=1，2，3，5(1)+A, A+A=A, A+ = .Date16样本空间A B3. 事件的交（积）“两事件与都发生” 这一事件称为事件与的交（积）.记为：或.是由与中公共 的样本点构成.

10、A BA则=1, 3, 51, 2, 3 =1， 3例如：掷一枚骰子，A =奇数点，B=点数小于4.注意 A，A=A， = ， =A .事件的并与交可推广：Date174.事件的差事件发生而事件不发生，这一事件称为事件A与事 件B的差，记为：AB.即：AB是把A中属于B的元素去 掉.5. 事件的互不相容（互斥）若两事件与不能同时发生，即AB=，则称事件与是互不相容的（或互斥的）.注：任意两个基本事件之间互不相容,样本空间AB如：掷一枚骰子，A=偶数点，B=小于5的奇数点，A与B互斥.注意 一般地AB=AABDate18若 n 个事件 A1，A2，An 中任两个都不可能同时发生，即：AiAj=，

11、(1i0，在事件B已经发生的条件下,事件A发生的概率,称为事件A对B的条件概率, 记P(A|B). 注(1) P(A)称为无条件概率，一般 P(A)P(A|B).(2)性质：设P(B)0，P(|B)=1， P(|B)=0.对于任一事件A,都有 0P(A|B)1.2. 条件概率的计算两种方法：按定义直接计算；按公式计算Date38例1 全年级100名学生中，有男生（A表示）80人，女生20人；来自北京的（B表示）有20人，其中男生12人，女生8人；免修英语的（C表示）40人中有32名男生.求下列事件的概率：P(A),P(B),P(C)，P(AB), P(AC), P(A|B), P(B|A),

12、P(C|A),解：P(A|B)=12/20，P(B|A)=12/80，=12/80.P(AB)=12/100， P(AC)=32/100.P(C|A)=32/80，Date39例2 在全部产品中，有4%是废品，有72%为一等品 .现从其中任取一件为合格品，求它是一等品的概率.解：设A表示“合格品”，B“一等品”.P14例1-18由题设知，P(A)=1-4%=96%, P(AB)=72%,练习：P14例1-19,1-20.Date40对任意两事件A、B，都有P(AB)=P(A)P(B|A) ( P(A)0 )2.乘 法 公 式P(AB)=P(B)P(A|B) ( P(B)0 ) 推广P(ABC)

13、= P(A)P(B|A)P(C|AB) 例1-21 在10个产品中，有2个次品，不放回抽取2次，每 次取一个，求取到的2件都是次品的概率.解：设A“第一次取到次品”，B“第二次取到次品”AB由乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A) 再求第二次才取到次品的概率？练习：P15例1-22Date41例1-23 设P(A)=0.8, P(B)=0.4, P(B|A)=0.25，求P(A|B). 解：P(AB)=P(A)P(B|A) =0.80.25=0.2P17习题1.3解：0.3=0.5-P(AB),P(AB)=0.2，P(AB)=P(A)P(B|A)解：=1/12，P(B)=1/2P(AB)=

14、P(A)+P(B)-P(AB)=2/3Date42例 市场上供应的灯泡中，甲厂占60%，乙厂占40%.甲厂 产品的合格品率为90%，乙厂产品的合格品率为80%.求 ：(1)从市场上买一灯泡是甲厂生产的合格品的概率；(2) 从市场上买一灯泡是乙厂生产的合格品的概率.解:记A“甲厂生产的灯泡”, B“合格灯泡”. 由已知: (1) P(AB)= P(A)P(B|A) AB“甲厂产的合格品”, “乙厂产的合格品”= 0.60.9 = 0.54 . (2) = 0.40.8 = 0.32 . 问题：如何求市场上灯泡的合格品率P(B)？全概率公式= 0.60.9+0.40.8=0.86.Date43二、

15、全概率公式与Bayes公式全概率公式 设A1, A2, , An 构成一个完备事件组，并且 P(Ai)0, i=1,2, n, 则任意事件B的概率为证明：Bayes公式Date44使用全概率公式时，应注意以下三点：1.在较复杂情况下直接计算P(B)不易，将B分解成互斥事件AiB的和，所以在使用全概率公式时，关键在于寻找完备事件组A1，A2，就是寻找导致B发生的各种原因，或伴随B发生的各种情况.2.定理的条件可以降低为 ：3.若试验可看作分两个阶段进行，而第一阶段有多种可能的结果（即不确定的），要求的是第二阶段中某个结果B发生的概率，就用全概率公式.Date45解： 设A“第一次取出的是白球；例1-24（P15）盒中有5个白球3个黑球，连续不放回地从 中取两次，每次取一个球，求第二次取到白球的概率.“第一次取出的球是黑球.B“第二次取出的球是白球”.由全概率公式得：Date46例1-25（P16