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1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学一元微积分学 第二十五讲第二十五讲 定积分的概念定积分的概念授课教师：彭亚新高高 等等 数数 学学 A A（1 1）第七章 一元函数的积分本章学习要求： 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法.了解利用建立递推关系式求积分的方法. 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. 熟悉牛顿莱布尼兹公式. 理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法.能熟练运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积分。第三节 定积分的概念第七章 一元函数
2、的积分二. 定积分的定义一. 曲边梯形的面积三. 定积分的性质第七章 一元函数的积分第三节 定积分的概念和性质在我国古代南北朝（公元 429 500 年）时，南朝的科学家祖冲之运用逐渐增加圆内多边形的边 数，算出正多边形的面积，逼近相应的圆的面积， 得到了 近似值.在初等几何中，计算任意多边形面积时，常采用如下方法：首先将任意多边形划分为若干个小三 角形，分别计算各个三角形的面积，然后求和，得 到任意多边形的面积。阿基米德运用这种方法，求得抛物线 与 x 轴及直线 x =1 所围成的平面图形面积的近似值.就是说，在计算复杂图形的面积时，可以先将它划分为若干个容易算得面积的小块，并分别求出 各小
3、块图形的面积，然后求和，即得到原图形的面 积的近似值（边界线为直线时，可得精确值）.如果在上述方法中引入极限过程, 会产生什么效果?一. 曲边梯形的面积曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条 曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点 （这里不排除某直线缩成一点）.1. 曲边梯形2. 求曲边梯形的面积首先，我们重复阿基米德的做法： 分划代替求和得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过程，求出曲边梯形的精确值.第一步：分划第一步：分划任意引入分点称为区间的一个分法 T第二步：代替第二步：代替对每个小曲边梯形均作上述的代替第三步：求和第三步：求和第四步：取极限第四
4、步：取极限二. 定积分的定义任意引入分点定积分符号：关于定积分定义的几点说明定积分的几何意义由极限保号性：面积：定积分的几何意义喂！请问什么样的函数可积？喂！请问什么样的函数可积？下面是几个关于函数可积性的定理.运用定积分的概念及定积分的几何 意义, 由函数的极限运算性质容易证明 它们, 所以我们在这里不进行证明. 喂!定理定理 1 1定理定理 2 2定理定理 3 3定理定理 4 4定理定理 5 5三. 定积分的性质由于定积分是一种和式的极限, 所以极限的某些性质在定积分中将有所反映.在以下的叙述中, 假设所出现的函数均可积, 所出现的定积分均存在. 同时,为方便起见,规定证由定积分定义及极限
5、运算性质：可以推广可以推广 至有限个至有限个 可积函数可积函数 的情形的情形. .证(小于零的情形类似. )由极限的保号性立即可知.代数和代数和例1证/有什么结论？换成例2证请同学们自己在下面做请同学们自己在下面做. ./与性质与性质 3 3 的推论的推论 1 1 不同，不同， 这里的结论是严格不等号！这里的结论是严格不等号！证例3证所以例4证证证从证明的过程中，你是否发现性质从证明的过程中，你是否发现性质 6 6 的的 条件可以减弱？条件可以减弱？条件减弱后，结论是否也要调整？条件减弱后，结论是否也要调整？要真正把书看懂，要真正把书看懂，不下点功夫是不行的！不下点功夫是不行的！例5解由积分中值定理
