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1、第二节 正态分布的 数字特征数学与信息技术系回顾连续型随机变量的数学期望、方差设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x), X的数学期望可按下面的公式计算X的方差可按或利用简便公式因为X ,从而 故正态分布的期望即E(X)=因为被积函数 为奇函数并注意到置换积分变量分部 积分 公式.正态分布的方差可得从而由此可见，如果随机变量X服从正态分布，则它的概率密度完全由数学期望与标准差或者方差来决定。所以，正态分布的参数 就是随机变量X的数学期望, 正态分布的另一参数 就是随机变量X的标准差置换积分变量正态分布的k阶中心矩k 阶中心 矩的定义所以当k为奇数时，因为被积函数是奇函数.当k为偶数时，因
2、为被奇函数是偶函数特别是，正态分 布的四阶中心矩P83置换积分变量例 设随机变量X服从N(0,1)，求随机变量 函数Y=X2的数学期望和方差解 本题可以用三种方法计算数学期望 E(Y)法1 用4.1节例2求得的Y的概率密度直接用定义，因为所以置换积分变量这恰好是X的二阶中心矩(=0)，因此可以直 接计算法2 由随机变量函数的期望定义，我们有法3：由方差的简化公式 知 D(X)=E(X2)-E(X)2 E(X2) = D(X) +E(X)2 E(X) =0，D(X) =1而E(Y) =E(X2) = 1所以法1 由随机变量函数的期望定义可得下面计算Y的方差，我们利用方差的简化公式 D(Y)=E(Y2)-E(Y)2 关键在于计算E(Y2)，下面用两种方法来计算它置换积分变量法2 由k阶中心矩，因为 所以从而所以小结： 这一讲，我们介绍了正态分布的数 学期望，方差和k阶中心矩。我们知道了： 如果随机变量X服从正态分布，则它的概率密度完全有数学期望与标准差或者方差来决 定。并且我们通过一个例题展示了求期望和 方差的方法
