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1、7.67.6 卷积（卷积和）卷积（卷积和） 1 1一、卷积的定义一、卷积的定义2 2二、离散卷积的性质二、离散卷积的性质3 3三、卷积计算三、卷积计算 4 4四、常用因果序列的卷积和四、常用因果序列的卷积和5 5( (见下册见下册P P34)34)返回返回一一卷积的定义卷积的定义任意序列任意序列x x( (n n) )可可表示为表示为d d( (n n) )的加权移位之线性组合的加权移位之线性组合: :从序列关系中我们已知：从序列关系中我们已知：对于零状态的离散线性时不变系统，若对于零状态的离散线性时不变系统，若就必有：就必有：时不变时不变均匀性均匀性则输出则输出卷积和的公式表明：卷积和的公式
2、表明：返回返回h h( (n n) )将输入输出联系起来，即零状态响应将输入输出联系起来，即零状态响应= =x x( (n n)*)*h h( (n n) )系统对系统对x x( (n n) )的响应的响应y y( (n n)=)=每一样值产生的响应之和，每一样值产生的响应之和，在各处由在各处由x x( (mm) )加权。加权。可加性可加性那么，对于任意两个序列的卷积和我们可以定义为：那么，对于任意两个序列的卷积和我们可以定义为：二离散卷积的性质二离散卷积的性质1 1交换律交换律 x x1 1( (n n)* )* x x2 2( (n n)=)= x x2 2( (n n)* )* x x1
3、 1( (n n) ) 2 2结合律结合律 x x1 1( (n n)* )* x x2 2( (n n) ) * * x x3 3( (n n)= )= x x1 1( (n n)* )* x x2 2( (n n) * ) * x x3 3( (n n) ) 证明：证明： x x1 1( (n n)* )* x x2 2( (n n)=)= 证明证明: : x x1 1( (n n)* )* x x2 2( (n n) * ) * x x3 3( (n n)=)= = = x x2 2( (n n)* )* x x1 1( (n n) )令令mm= =n-kn-k n-m=kn-m=k令令
4、r r= =k-mk-m k= m+rk= m+r= =x x1 1( (n n)* )* x x2 2( (n n)* )* x x3 3( (n n) )4其它一些性质其它一些性质 x x( (n n)* )* d d( (n n)=)= x x( (n n) )返回返回x x( (n n)* )* u u( (n n)=)=y y( (n-nn-n1 1-n-n2 2) )=x=x1 1( (n-nn-n1 1)* )* x x2 2( (n-nn-n2 2) )y y( (n n) )= x= x1 1( (n n)* )* x x2 2( (n n)= )= x x1 1( (n n
5、)* )* x x2 2( (n n) )x x1 1( (n n)* = )* = x x1 1( (n n)* )* x x2 2( (n n) )= *= *x x2 2( (n n)=)= x x1 1( (n n)*)* 3 3分配律分配律 x x1 1( (n n)* )* x x2 2( (n n)+ )+ x x3 3( (n n)=)= x x1 1( (n n)*)*x x2 2( (n n)+ )+ x x1 1( (n n)* )* x x3 3( (n n) )证明证明: : x x1 1( (n n)* )* x x2 2( (n n)+ )+ x x3 3( (n
6、 n)=)= = = x x1 1( (n n)*)*x x2 2( (n n)+ )+ x x1 1( (n n)* )* x x3 3( (n n) )三三. .卷积计算卷积计算mm的的范围由范围由x x( (n n) )、h h( (n n) )的的范围共同决定。范围共同决定。 1. 1.y y( (n n) )的的序列序列元素个数元素个数? ?若：若： 例如：例如：若若x x( (n n) )的序列长度为的序列长度为n n1 1、 h h( (n n) )的序列长度为的序列长度为n n2 2，则则y y( (n n) )的序列长度为的序列长度为n n1 1+ n+ n2 2-1-1返回
7、返回1 1. .解析式解析式( (表达表达式）式）法法求卷积求卷积（例例7-6-17-6-1、例例7-6-27-6-2）2. 2.图解法图解法求卷积求卷积: :（例例7-6-37-6-3）3. 3.对位相乘求和法求卷积对位相乘求和法求卷积（例例7-6-47-6-4）4. 4.利用性质利用性质求卷积求卷积（例例7-6-57-6-5 、例例7-6-67-6-6 ）5. 5.利用单位样值信号利用单位样值信号d d( (n n) )求卷积求卷积（例例7-6-77-6-7）6. 6.利用利用z z变换求卷积变换求卷积7. 7.利用计算机利用计算机求卷积求卷积（FFTFFT快速傅氏变换）快速傅氏变换）2.
8、 2.几种常用的求卷积方法几种常用的求卷积方法例例7-6-17-6-1从从波形波形图中图中可见求和上限可见求和上限n n, ,下限下限0 0要点： 定上下限返回返回波形波形返回返回已知离散信号已知离散信号 x x1 1( (n n)=)=n n u u( (n n)- )-u u( (n n-6)-6)x x2 2( (n n)=)=u u( (n+n+6)-6)-u u( (n+n+1)1)用函数式求卷积用函数式求卷积y y( (n n)= )= x x1 1( (n n)*)*x x2 2( (n n) )例例7-6-27-6-2由卷积定义由卷积定义返回返回已知离散信号已知离散信号 x x
9、1 1( (n n)=)=n n u u( (n n)- )-u u( (n n-6)-6)x x2 2( (n n)=)=u u( (n+n+6)-6)-u u( (n+n+1)1)用图解法求卷积用图解法求卷积y y( (n n)= )= x x1 1( (n n)*)*x x2 2( (n n) )例例7-6-37-6-3图解法求卷积可分为：图解法求卷积可分为：序列倒置序列倒置移位移位相乘相乘取和取和4 4步步首先将首先将x x2 2( (n n) )反褶，然后确定反褶，然后确定x x2 2( (n-mn-m) )非零值区间的横坐非零值区间的横坐标，其下限为标，其下限为n+n+2 2，上限
10、为上限为n+n+6 6，如图所示。如图所示。根据卷积的定义式根据卷积的定义式: :o o 5 52 2mm1 14 44 43 3x x1 1( (mm) )o o 6 62 21 1mm x x2 2(- (-mm) )o o 6 6+ +n n2 2+ +n n1 1mm x x2 2( (n n- -mm) )再将再将x x2 2( (n-mn-m) )平移，并分区间求出卷积结果。平移，并分区间求出卷积结果。o o 5 52 2mm1 14 44 43 3x x1 1( (mm) )o o 6 6+ +n n2 2+ +n n1 1mm x x2 2( (n n- -mm) )1. 1.
11、当当n+n+6 6 0 0时，即时，即n n-6-6， y y( (n n)= )= x x1 1( (n n)*)*x x2 2( (n n)=0)=02. 2.当当n+n+2 2 6 6时，即时，即n n 4 4， y y( (n n)= )= x x1 1( (n n)*)*x x2 2( (n n)=0)=0 3. 3.当当n+n+6 6 1 1和和n+n+2 2 5 5时，即时，即-5-5 n n 33，为为y y( (n n) )的非的非0 0区间区间（1 1）当当n+n+6 6 1 1和和n+n+6 6 5 5时，即时，即-5-5 n n -1-1，（2 2）当当n+n+6 6
12、6 6和和n+n+2 2 5 5时，即时，即0 0 n n 3 3返回返回则则结果与结果与例例7-6-27-6-2相同相同. .例例7-6-47-6-4使用对位相乘求和法求卷积使用对位相乘求和法求卷积 步骤：步骤： 两序列右对齐两序列右对齐 逐个样值对应相乘但不进位逐个样值对应相乘但不进位 同列乘积值相加（注意同列乘积值相加（注意n n=0=0的点）的点）返回返回利用分配律利用分配律例例7-6-7-6-5 5返回返回已知离散信号已知离散信号 x x1 1( (n n)=)=n n u u( (n n)- )-u u( (n n-6)-6)x x2 2( (n n)=)=u u( (n+n+6)
13、-6)-u u( (n+n+1)1)利用差分性质求卷积利用差分性质求卷积y y( (n n)= )= x x1 1( (n n)*)*x x2 2( (n n) )例例7-6-67-6-6又又* * x x2 2( (n n) )因为：因为：x x1 1( (n n)* )* x x2 2( (n n)= )= x x1 1( (n n)* )* x x2 2( (n n)=)=u u( (n+n+6)-6)-u u( (n+n+1)1)- - u u( (n+n+5)-5)-u u( (n n) )=d=d( (n+n+6)-6)-d d( (n+n+1)1)y y( (n n)= )= x
14、 x1 1( (n n)*)*x x2 2( (n n) )于是于是* * x x2 2( (n n) )这与前面所得结果是相同的，但运算过程比较简单。这与前面所得结果是相同的，但运算过程比较简单。返回返回已知离散信号已知离散信号 x x1 1( (n n)=)=n n u u( (n n)- )-u u( (n n-6)-6)x x2 2( (n n)=)=u u( (n+n+6)-6)-u u( (n+n+1)1)例例7-6-77-6-7利用单位样值信号利用单位样值信号d d( (n n) )求卷积求卷积 y y( (n n)= )= x x1 1( (n n)*)*x x2 2( (n
15、n) )任何一个离散信号可以用单位样值信号表示为任何一个离散信号可以用单位样值信号表示为对于本例对于本例利用单位样值信号的卷积性质利用单位样值信号的卷积性质d d( (n n- -n n1 1)*)*d d( (n n- -n n2 2)=)=d d( (n n- -n n1 1- -n n2 2) )= =d d( (n n-1)+2-1)+2d d( (n n-2)+3-2)+3d d( (n n-3)+4-3)+4d d( (n n-4)+5-4)+5d d( (n n-5)-5)x x2 2( (n n) ) = =d d( (n n+6)+6)+d d( (n n+5)+5)+d d( (n n+4)+4)+d d( (n
