2.1-2.2随机变量

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1、第二章 随机变量及其分布2.1 随机变量 2.2 离散型随机变量 例 掷一颗质地均匀的骰子, 若用变 量 X 表示出现的点数, 则 X 所有可 能取值为1, 2, 3, 4, 5, 6 .有些随机试验, 其结果直接表现为数量. 在这个试验中, 变量 X 具有如下两种特性：1. 取值的随机性2. 概率的确定性投掷之前不能确定它究竟 取哪个值.什么是随机变量 也有些随机试验, 其结果并不直接表现为数量. 但是, 若我们规定, “ X = 1” 表示出现正面, 其 概率为 0.5, 即可记作 PX = 1= 0.5 ;规定, “ X = 0” 表示出现反面, 其概率也为 0.5, 即可记作 PX =

2、 0= 0.5.例 掷一枚质地均匀的硬币, 观察 正、反面出现的情况, 其结果为出 现正面或反面, 并不是数量. 有了这样的规定, 变量 X 就能表示 掷一枚质地均匀的硬币的试验结果. X 同样也具有上述两种特性:“ X = 1” 表示出现正面, 且 PX = 1 = 0.5 ;“ X = 0” 表示出现反面, 且 PX = 0 = 0.5.把具有这两种特性的变量 X , 称为随机变量 .(1) 取值具有随机性, (2) 取每一个值的概率是确定的.(2) 概率的确定性, 即它取某一个值或在某 个区间内取值的概率是确定的. 随机变量的定义(1) 取值的随机性, 即它所取的不同数值要由 随机试验的

3、结果而定;以后会说明称这样的变量为随机变量. 随机变量常用大写 字母一个变量, 若满足如 掷一颗质地均匀的骰子, 若用变量 X 表示出现的点数, 则引入随机变量后,可以将随机事件数量化, 不必再用文字表示. 事件 A =至少出现 4 点, 可用 A = X 4 表示;事件 B =出现的点数不小于2, 又不超过4 , 可用 B = 2 X 4 表示.事件至少取到 1 件次品 , 事件至多取到 2 件次品 , 可用 X 1 表示;可用 X 2 表示.如 在10 件同类型产品中, 有 3 件 次品. 现从中任取 2 件. 若用变 量 X 表示任取 2 件产品中所含次 品的件数,X 可能取值为 0,

4、1, 2 .连续型随机变量它可能取到的值是有 限个或可列个它可能取到的值不能一 一列举出来, 只能取某一 个或若干个有限或无限 区间上所有的值离散型随机变量非离散型随机变量随机变量按其取值情况分为两大类:随机变量的分类 例 在单位时间内, 网站收到的点击次数为 变 量 X , 由于 X 可能取值为 0, 1, 2, (可列个), 所以 X 是离散型随机变量 .例 抛掷一枚匀均的骰子,用随机变量 X 表示 “出现的点数”, X 所有可能取的值为 1, 2, 3, 4, 5, 6 (共 6 个), 这样的变量 X 就是离散型随机 变量 .例 两人相约8点到9点见面， 到达时间X 不是离散型随机变量

5、.第二章 随机变量及其分布2.2 离散型随机变量 一、离散型随机变量的分布律和性质对于随机变量, 我们不仅关心它可能取些什么 值, 而且关心它取这些值的概率.它可能取值分别为 0, 1, 2, , 10 .那么它取这些值的概率: P X = 0, P X = 1, P X= 2, , P X = 10 又是多少呢?通常把随机变量 X 取值的概率称为随机变量 的分布律（分布列）.称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或 分布律, 简称分布.离散型随机变量的分布律称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分 布律, 简称分布.X 的分布律也可以用表格形式表示:X P公式型表格型分布列 的两种 形式例

6、如, 掷一枚质地均匀的硬币, 若 “ X= 1” 表 示出现正面, “ X= 0” 表示出现反面, 则X PP X = k = 0.5 ( k = 0, 1 )X 的分布律也可以表示为:PX = 1= 0.5 , PX= 0= 0.5 , 由此可得变量 X 的分布律公式型表格型分布律的性质X P由定义易知分布律具有如下的性质X P如下面这个分布律练习：下列各表是否可作为某个随机变量的 分布律 ? 为什么 ?X P(1 )X P(2 )可以不可以, 不满足性质2例 在 10 件同类型产品中, 有 3 件次品. 现任 取 2 件, 用变量 X 表示 “这 2 件中的次品数 ”, 写出变量 X 的分

7、布律.方法: 要求 X 的分布律, 只须把 X 可能取到的 每一个值及取每一个值的概率求出来并写成 表格的形式即可.解: 变量 X 所有可能取的值为 0, 1, 2.求离散型随机变量 X 的分布列例 在 10 件同类型产品中, 有 3 件次品. 现任 取 2 件, 用变量 X 表示 “这 2 件中的次品数 ”, 写出变量 X 的分布律.解: 变量 X 所有可能取的值为 0, 1, 2.X 取每一个数值的概率分别是用什么方法 计算这三个 概率的值? 由概率的古典定义公式得,同理可得,这就是所求 的分布律还可以记为X 的分布律也可写成表格的形式X P求 X 分布律的步骤 求出 X 所有可能的取值;

8、 求出 X 取每一个值的概率; 写出表格式的分布律.P26：例3，例4练习 设盒中 5 个球, 其中 2 个白球, 3 个黑球, 从中任取 3 个, 求“取到白球数”的分布律.解：设随机变量 X 为任取 3 个球中取到的“ 白球数”, X 的所有可能取值为 .方法: 设随机变量 X 为取到的“白球数”. 并 按所说的三个步骤求解.0, 1, 2取到白球数的分布律为X P每一个 p 值请同学们自己计算出来.1. X 的分布律, 把 X 取的值和与其相应的概 率 P 一一对应的表示出来, 从概率的角度指出 了随机变量在随机试验中的分布规律 . 看起来 一目了然.X P2. 如果知道了一个离散型随机

9、变量 X 的分布 律 , 就可求 X 对应的概率空间中任何事件的 概率 . 归纳:练习 已知随机变量 X 的分布律为X P方法: (1) 根据分布律的性质 2 直接计算; 方法 : 离散型随机变量 X 在某一范围内取值的 概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.X PX P举例 100件产品中, 有 95 件正品, 5 件次品,现从中任取 1 件,考察取出的产品是正品还是次品, 试用随机变量叙述该试验的结果, 并写出其概率分布.试验的结果只有两种可能二、常见的离散型随机变量的概率分布X 只能取 0 和 1 两个值X P0 1 0.95 0.05 这样的分布称为则称随机变量 X 服从参数为 p

10、的两点分布 (又称( 0 1) 分布 ).X P0 1 ( 0 0表示,(2)命中 3 次靶心的事件可用X = 3表示 ,X P0 1 2 3 4 5(3)最多命中 4 次靶心的事件为或若其中是常数，则称X服从参数为 的泊松分布，记作在一定时间间隔内：一匹布上的疵点个数；大卖场的顾客数；应用场合电话总机接到的电话次数；泊松（Poisson）分布一个容器中的细菌数；放射性物质发出的粒子数； 一本书中每页印刷错误的个数；某一地区发生的交通事故的次数市级医院急诊病人数；等等应用场合(续)P28:例7练习 电话交换台每分钟接到的呼叫次数X为 随机变量，设 ，求一分钟内呼叫 次数（1）恰为5次的概率；（2）至少1次的 概率。P29:例8练习 某单位为职工投保险，已知某险种的事 故率为0.0025，该单位有职工800人，试求在 未来一年里该单位事故人数恰有2人的概率。B（800，0.0025）麻烦！作业习题2(A) P40 2, 4，5，7，8