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1、第三章 平均数、标准差 与变异系数第一节 平均数下一张 主 页 退 出 上一张 平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数主要包括有：算术平均数（arithmetic mean）中位数（median） 众数（mode）几何平均数（geometric mean）调和平均数（harmonic mean）下一张 主 页 退 出 上一张 一、算术平均数算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为。算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。(一)直接法 主要用于样本含量n30以下、未经分组资料平均数的计算。下
2、一张 主 页 退 出 上一张 设某一资料包含n个观测值： x1、x2、xn，则样本平均数可通过下式计算： （3-1）其中，为总和符号； 表示从第一个观测 值x1累加到第n个观测值xn。当 在意义上已明 确时，可简写为x，（3-1）式可改写为： 下一张 主 页 退 出 上一张 【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体 重分别为500、520、535、560、585、600、 480、510、505、490（kg），求其平均数。由于 x=500+520+535+560+58 +600+480+510+505+49=5285，n=10下一张 主 页 退 出 上一张 得：即10头种公牛平均体重为
3、528.5 kg。 （二）加权法对于样本含量 n30 以上且已分组的资 料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计 算平均数，计算公式为： （3-2） 下一张 主 页 退 出 上一张 式中： 第i组的组中值；第i组的次数；分组数第i组的次数fi是权衡第i组组中值xi在资料中所占比重大小的数量，因此将fi 称为是xi的“权”，加权法也由此而得名。【例3.2】 将100头长白母猪的仔猪一月窝重（单位：kg）资料整理成次数分布表如下，求其加权数平均数。下一张 主 页 退 出 上一张 表31 100头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表下一张 主 页 退 出 上一张 利用（32）式得：即这100头长白母猪仔猪
4、一月龄平均窝重为45.2kg。计算若干个来自同一总体的样本平均数的平均数时，如果样本含量不等，也应采用加权法计算。 下一张 主 页 退 出 上一张 【例3.3】 某牛群有黑白花奶牛 1500头，其平均体重为750 kg ，而另一牛群有黑白花奶牛1200头，平均体重为725 kg，如果将这两个牛群混合在一起，其混合后平均体重为多少？此例两个牛群所包含的牛的头数不等，要计算两个牛群混合后的平均体重，应以两个牛群牛的头数为权，求两个牛群平均体重的加权平均数，即 下一张 主 页 退 出 上一张 即两个牛群混合后平均体重为738.89 kg。（三）平均数的基本性质1、样本各观测值与平均数之差的和为零，即
5、离均差之和等于零。 或简写成下一张 主 页 退 出 上一张 2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即离均差平方和为最小。 (xi- )2 几何平均数调和平均数上述五种平均数，最常用的是算术平均数。第二节 标准差一、标准差的意义用平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。仅用平均数对一个资料的特征作统计描述是不全面的，还需引入一个表示资料中观测值变异程度大小的统计量。下一张 主 页 退 出 上一张 全距（极差）是表示资料中各观测值变异程度大小最简便的统计量。但是全距只利用了资料中的最大值和最小值，并不能准确表达资料中各观测值的变异程度，比较粗略。当资料很多而又
6、要迅速对资料的变异程度作出判断时，可以利用全距这个统计量。 下一张 主 页 退 出 上一张 为 了 准 确 地 表示样本内各个观测值的变 异程度 ，人们 首 先会考虑到以平均数为标准， 求出各个观测值与平均数的离差，（ ） ， 称为离均差。虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的 性质和程度，但因为离均差有正、有负 ，离均 差之和 为零，即（ ） = 0 ，因 而 不 能 用离均差之和（ ）来 表 示 资料中所有 观测值的总偏离程度。下一张 主 页 退 出 上一张 为了解决离均差有正 、有负，离均差 之和为零的问 题 ， 可先求 离 均 差的绝 对 值 并 将 各 离 均 差 绝对 值 之 和
7、除 以 观 测 值 个 数 n 求 得 平 均 绝 对 离 差，即| |/n。虽然平均绝对离差可 以表示资料中各观测值的变异程度 ，但由 于平均绝对离差包含绝对值符号 ，使用很 不方便，在统计学中未被采用。我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题。先将各 个离 均差平方，即 ( )2 ，再求 离均差平方和 ， 即 ，简称平方和，记为SS； 由 于 离差平方和 常 随 样 本 大 小 而 改 变 ，为 了 消 除 样 本大小 的 影 响 ， 用平方和 除 以 样 本 大 小， 即 ，求出离均差平方和的平均数 ；下一张 主 页 退 出 上一张 为了使所得的统计量
8、是相应总体参数的无 偏估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均数时，分母不用样本含量n，而用自由度 n-1， 于是，我们 采 用统计量 表示资料的变异程度。统计量 称 为 均 方 （ mean square缩写为MS）,又称样本方差，记为S2，即S2= （39） 下一张 主 页 退 出 上一张 相应的总体参数叫 总体方差 ，记为2。对于有限总体而言，2的计算公式为：（310）由于 样本方差 带有原观测单位的 平 方单位，在仅表示一个资料中各观测值的 变异程度而不作其它分析时 ， 常需要与 平均数配合使用 ，这 时应 将平方单位还 原，即应求出样本方差的平方根。统计学 上把样本方差 S2 的平
9、方根叫做样本标准 差，记为S，即： （3-11） 下一张 主 页 退 出 上一张 由于 所以（3-11）式可改写为：（3-12） 下一张 主 页 退 出 上一张 相应的总体参数叫总体标准差，记为。对于有限总体而言，的计算公式为：（3-13）在统计学中，常用样本标准差S估计总体标准差。 下一张 主 页 退 出 上一张 二、标准差的计算方法（一）直接法 对于未分组或小样本资料 ， 可直 接利用（311）或（3-12）式来计 算标准差。【例3.9】 计算10只辽宁绒山羊产绒量 ： 450， 450， 500， 500， 500， 550， 550， 550， 600， 600，650（ g）的标准差
10、。 此例n=10，经计算得：x=5400， x2=2955000，代入（312）式得：(g) 即10只辽宁绒山羊产绒量的 标准差 为 65.828g。下一张 主 页 退 出 上一张 （二）加权法 对于已制成次数分布表的大样本资料，可利用次数分布表，采用加权法计算标准差。计算公式为： （314）式中，f为各组次数；x为各组的组中值；f = n为总次数。下一张 主 页 退 出 上一张 【例3.10】 利用某纯系蛋鸡200枚蛋重资 料的次数分布表（见表3-4）计算标准差。将表3-4中的f、fx、 代入（3 14）式得： (g ) 即某 纯 系 蛋 鸡200枚 蛋 重的标准差为 3.5524g。下一张
11、 主 页 退 出 上一张 表34 某纯系蛋鸡200枚蛋重资料次数分布及标准差计算表下一张 主 页 退 出 上一张 三、标准差的特性 （一）标准差的大小，受资料中每个观测值的影响，如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则小。（二）在计算标准差时，在各观测值加上或减去一个常数，其数值不变。（三）当每个观测值乘以或除以一个常数a，则所得的标准差是原来标准差的a倍或1/a倍。 下一张 主 页 退 出 上一张 （四）在资料服从正态分布的条件下，资料中约有68.26%的观测值在平均数左右一倍标准差（ S）范围内；约有95.43%的观测值在平均数左右两倍标准差（ 2S）范围内；约有99.73%的观测值在平
12、均数左右三倍标准差（ 3S） 范 围内。也就是说全距近似地等于6倍标准差，可用（全距/6）来粗略估计标准差。 下一张 主 页 退 出 上一张 第三节 变异系数 变异系数是衡量资料中各观测值变异 程度的另一个统计量 。标 准差与平均数的比值称为 变异系 数，记为CV。变异系数可以消除单位 和 （或）平 均数不同对两个或多个资料变异程度比较 的影响。 下一张 主 页 退 出 上一张 变异系数的计算公式为： （315）【例3.11】 已知某良种猪场长白成年母猪平均体重为 190kg， 标准差为10.5kg，而大约克成年母猪平均体重为196kg，标准差为8.5kg，试问两个品种的成年母猪，那一个体重变异程度大。 下一张 主 页 退 出 上一张 由于，长白成年母猪体重的变异系数：大约克成年母猪体重的变异系数：所以，长白成年母猪体重的变异程度大于 大约克成年母猪。下一张 主 页 退 出 上一张 注意，变异系数的大小，同时受平均数和标准差两个统计量的影响，因而在利用变异系数表示资料的变异程度时，最好将平均数和标准差也列出。下一张 主 页 退 出 上一张
