数字信号处理第三版学习指导 第6章

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1、有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计第章第6章 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计6.1 学习要点6.2 教材第7章习题与上机题解答有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计第章6.1 学 习 要 点6.1.1 线性相位概念与具有线性相位的FIR数字滤波器的特点1 线性相位概念设H(ej)=FTh(n)为FIR滤波器的频响特性函数。 H(ej)可表示为H(ej)=Hg()ej()有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计第章Hg()称为幅度函数， 为的实函数。 应注意Hg()与幅频特性函数|H(ej)|的区别， |H(ej)|为的正实函数， 而Hg()是一个可取负值的实函数。 ()称为相位

2、特性函数， 当()=时， 称为第一类（A类）线性相位特性； 当()=0时， 称为第二类（B类）线性相位特性。 0=/2是第二类线性相位特性常用的情况， 所以本书仅考虑这种情况。 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计第章2 具有线性相位的FIR滤波器的特点（h(n)长度为N）1） 时域特点(6.1.1)(6.1.2)有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计第章群延时, 为常数， 所以将A类和B类线性相位特性统称为恒定群延时特性。 2） 频域特点有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计第章3） 结论掌握以上特点， 就可以得出如下结论， 这些结论对 FIR滤波器的设计很重要。 （1） 情况1：

3、可以实现所有滤波特性（低通、 高通、 带通、 带阻和点阻等）。 （2） 情况2： Hg()=0， 不能实现高能、 带阻和点阻滤波器。 （3） 情况3： 只能实现带通滤波器（因为Hg(0)=Hg()=Hg(2)=0）（4） 情况4： 不能实现低能、 带阻和点阻滤波器。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计第章6.1.2 FIR数字滤波器设计方法教材中主要介绍了FIR-DF的3种设计方法， 即窗函数法、 频率采样法、 等波纹最佳逼近法。这3种设计方法的设计原理及设计步骤教材中讲得很清楚， 本书不再重复， 读者只要认真学习教材， 并参考例题和 习题解答， 就可以掌握本章的知识和方法。 下面仅举一个

4、例子， 用窗函数设计法的概念证明一个重要的结论， 使读者正确理解所谓的最佳设计法， 其设计效果与设计的最佳准则有关， 以一个最佳准则设计的最佳滤波器， 在另一个最佳准则下可能就不是最佳的， 甚至很差， 以至于无实际应用价值。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计第章例6.1.1 试证明在窗函数设计法中， 当h(n)长度N值固定时， 矩形窗设计结果满足频域最小均方误差逼近准则。 解: 仿照窗函数设计法的过程， 设Hd(ej)表示期望逼近的理想滤波器频率响应， 其单位脉冲响应为hd(n)。 用w(n)表示窗函数， 长度为N; 用h(n)表示用窗函数法设计的实际FIR滤波器单位脉冲响应（即h(n)

5、=hd(n)w(n)， 其频率响应函数为H(ej)。 定义H(ej)与Hd(ej)的均方误差为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计第章本例题就是要求证明： 当w(n)=RN(n)时， 2最小。 由于证明的条件与窗函数w(n)的类型（形状）有关， 所以， 将2转换到时域表示， 有利于证明。 证明如下： （1） 令误差函数E(ej)=Hd(ej)H(ej)由于E(ej)为周期函数， 所以可展开为幂级数有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计第章（2） 用系数e(n)表示均方误差2。 （3） 证明只有当w(n)=RN(n), h(n)=hd(n)Rn(n)时， 2最小。下面按三步证明： （1）

6、因为，所以有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计第章由于h(n)长度为N， 即当n 20 kHz， 衰减大于40 dB（2=0.01）； 希望分别设计性价比最高的FIR和IIR两种滤波器进行滤除干扰。 请选择合适的滤波器类型和设计方法进行设计， 最后比较两种滤波器的幅频特性、 相频特性和阶数。 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计第章题19*图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计第章解： 本题以模拟频率给定滤波器指标， 所以， 程序中先要计算出对应的数字边界频率， 然后再调用MATLAB工具箱函数fir1设计数字滤波器。 由题意确定滤波器指标（边界频率以模拟频率给出）：fp =15

7、kHz，1 = 0.02， p=20 lg dBfp =20 kHz， 2 = 0.01， s=40 dB（1） 确定相应的数字滤波器指标。 根据信号带宽， 取系统采样频率Fs=80 kHz。 ，1 = 0.02，p =20 lg dB， 2 = 0.01，s =40 dB 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计第章（2） 设计数字低通滤波器。 为了设计性价比最高的FIR和IIR滤波器， IIR滤波器选择椭圆滤波器， FIR滤波器采用等波纹最佳逼近法设计。 设计程序为ex719.m。 %ex719.m： 设计性价比最高的FIR和IIR滤波器Fs=80000； fp=15000； fs=200

8、00； data1=0.02； rp=20*log10(1data1)/(1+1)； data2=0.01； rs=40； wp=2*fp/Fs； ws=2*fs/Fs； %计算数字边界频率（关于归一化）%椭圆DF设计有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计第章Ne， wpe=ellipord(wp， ws， rp， rs)； %调用ellipord计算椭圆DF阶数N和通带截止频率wpBe， Ae=ellip(Ne， wpe， rs， wp)； %调用ellip计算椭圆DF系统函数系数向量Be和Ae%用等波纹最佳逼近法设计FIRDFf=wp， ws； m=1, 0； rip=data1, da

9、ta2； Nr， fo， mo， w=remezord(f， m， rip)； hn=remez(Nr， fo， mo， w)； %以下为绘图部分（省略）有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计第章程序运行结果： 椭圆DF阶数Ne=5， 损耗函数曲线和相频特性曲线如题图19*解图（a）所示。 采用等波纹最佳逼近法设计的FIRDF阶数Nr=29， 损耗函数曲线和相频特性曲线如题19*解图(b)图所示。 由图可见， IIRDF阶数低得多， 但相位特性存在非线性， FIRDF具有线性相位特性。 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计第章题19*解图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计第章20*

10、. 调用MATLAB工具箱函数fir1设计线性相位低通FIR滤波器， 要求希望逼近的理想低通滤波器通带截止频率c=/4 rad， 滤波器长度N=21。 分别选用矩形窗、 Hanning窗、 Hamming窗和Blackman窗进行设计， 绘制用每种窗函数设计的单位脉冲响应h(n)及其损耗函数曲线， 并进行比较， 观察各种窗函数的设计性能。 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计第章题20*解图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计第章解： 本题设计程序ex720.m如下： %ex720.m： 调用fir1设计线性相位低通FIR滤波器clear； close all； N=21； wc=1/

11、4； n=0： 20； hrn=fir1(N1， wc， boxcar(N)； %用矩形窗函数设计hnn=fir1(N1， wc， hanning(N)； %用hanning窗设计hmn=fir1(N1， wc， hamming(N) ； %用hamming窗函数设计hbn=fir1(N1， wc， blackman(N)； %用blackman窗函数设计%以下为绘图部分（省略）有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计第章程序运行结果： 用矩形窗、 Hanning窗、 Hamming窗和Blackman窗设计的单位脉冲响应h(n)及其损耗函数曲线如题20*解图所示。 由图可见， 滤波器长度N固

12、定时， 矩形窗设计的滤波器过渡带最窄， 阻带最小衰减也最小； blackman窗设计的滤波器过渡带最宽， 阻带最小衰减最大。 21*. 将要求改成设计线性相位高通FIR滤波器， 重作题20。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计第章解： 本题的设计程序除了在每个fir1函数的调用参数中加入滤波器类型参数“high”外， 与第20题的程序完全相同， 请读者修改并运行程序， 完成本题。 22*. 调用MATLAB工具箱函数remezord和remez设计线性相位低通FIR滤波器， 实现对模拟信号的采样序列x(n)的数字低通滤波处理。 指标要求： 采样频率为16 kHz； 通带截止频率为4.5 k

13、Hz， 通带最小衰减为1 dB； 阻带截止频率为6 kHz， 阻带最小衰减为75 dB。列出h(n)的序列数据， 并画出损耗函数曲线。 解： 本题设计程序ex722.m如下： 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计第章%ex722.m： 调用remezord和remez设计线性相位低通FIR 滤波器Fs=16000； f=4500， 6000； %采样频率， 边界频率为模拟频率(Hz)m=1， 0； rp=1； rs=75； dat1=(10(rp/20)-1)/(10(rp/20)+1)； dat2=10(-rs/20)； rip=dat1， dat2； M， fo， mo， w=reme

14、zord(f， m， rip， Fs)；M=M+1； %边界频率为模拟频率(Hz)时必须%加入采样频率Fshn=remez(M， fo， mo， w) %以下为绘图部分（省略）有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计第章程序运行结果： h（n） =0.0023 0.0026 0.0207 0.0131 0.0185 0.0032 0.0278 0.03060.0176 0.0705 0.0402 0.10750.2927 0.6227 0.2927 0.1075 0.0402 0.0705 0.0176 0.03060.0278 0.0032 0.0185 0.01310.0207 0.0026 0.0023单位脉冲响应h(n)及其损耗函数曲线如题22*解图所示。 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计第章题22*解图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设 计第章23*. 调用MATLAB工具箱函数remezord和remez设计线性相位高通FIR滤波器， 实现对模拟信号的采样序列x(n)的数字高通滤波处理。 指标要求： 采样频率为16 kHz； 通带截止频率为5.5 kHz， 通带最小衰减为1dB； 过渡带宽度小于等于3.5 kHz， 阻带最小衰减为75 dB。 列出h(n)的序列数据， 并画出损耗函数曲线。 解： 滤波器的阻带截止频率fs=55003500=200