《高等计算流体力学讲义第二章可压缩流动的数值方法-3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等计算流体力学讲义第二章可压缩流动的数值方法-3（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1高等计算流体力学讲义（4） 有需要 DOC 格式的请下载后索取 5. Riemann 问题的近似求解器问题的近似求解器()： HLL方法方法 一一Godunov 格式和格式和 Riemann 问题问题 考虑下列 Euler 方程： ( )0txUF U（1） 要求在适当的初边值条件下求（1）式的数值解。前面已经讲过，求解(1)式的显式格式可以 写为： 11 221nn iiiitUUFFx （2） 在采用 Godunov 格式时： 1122(0)iiFF U（3） 其中1 2(0)iU是 Riemann 问题的精确解1 2( / )iUx t在/0x t 时的值。 而1 2( / )iUx
2、 t是下列初值问题（Riemann 问题）的解： ()00( ,0)0txLRUF UUifxU xUifx （4） 在采用零阶重构时： 1,iLiRUUUU（5） 为了使以后的讨论适用于多维问题，我们考虑多维问题的 x-分裂形式，即在（1）中，认为： 2uuupUFvuvEuH （6） （这里只考虑二维问题，但容易推广到三维问题） 。由于 Riemann 问题须迭代求解计算量很 大；而且一般的非线性双曲型守恒律的 Riemann 问题可能不存在解析解，所以有必要发展2Riemann 问题的近似解法。近似解法可以分为两大类（1）在 Riemann 问题的提法是准确的 条件下求近似解； （2）求
3、近似的 Riemann 问题的精确解。 二二Riemann 问题的问题的 HLL 近似近似(Harten-Lax-van Leer) Harten 等提出， （4）式的解可以近似写为下列形式： ?( , )xtLL hllxtLRxtRRUifDU x tUifDD UifD （7） 其中LD、RD是 Riemann 问题的解中左波和右波运动速度的近似值。hllU是与LD、RD有关的常数。 （7）称为 Riemann 问题的 HLL 近似解。该近似认为 Riemann 问题左右波之间的 区域不存在接触间断，为由左右两波分隔开的三个常数区域。 假定LD、RD已知， 考虑下图所示的控制体, 0,
4、LRxxT， 其中,LLRRxTDxTD。 考虑0LRDD的情况。在上述控制体上积分（1）式，有： 00( , )( ,0)( (, )( (, )RRLLxxTTLRxxU x T dxU xdxF U x t dtF U xt dt（8） 考虑（4）式，且LD波的左侧、RD波的右侧物理量保持其初始值这一事实，上式可以化简为 ( , )()RLxRRLLLRxU x T dxx Ux UT FF（9） 其中(),()LLRRFF UFF U。 （9）式是精确成立的，一般称为相容条件。把（8）式左侧分解为三个积分的和，即： ( , )( , )( , )( , )RLRRLLLRxTDTDxx
5、xTDTDU x T dxU x T dxU x T dxU x T dx则： tTLxRxx 0 /Rx tD /Lx tD 3( , )( , )()()RRLLxTDLLLRRRxTDU x T dxU x T dxTDx UxTD U（10） 比较（10）式和（9）式，有 ( , )()RLTDRRLLLRTDU x T dxT D UD UFF（11） 所以，左波和右波之间的区域，守恒变量的平均值为： 1( , )()RLTDRRLLLRTDRLRLD UD UFFU x T dxT DDDD（12） 显然，左右波之间物理量的平均值与 T 无关。由（7）式知 hllRRLLLRRLD
6、 UD UFFUDD（13） 这样，我们就得出了 HLL 近似中中间状态的守恒变量的值。由此，当LRDDD时，x=0处的通量0()hllFF U。 事实上，更为合理的方法是直接利用守恒律本身求出0F的表达式。其方法是，在 ,00,LxT积分 Euler 方程（1）式 0 0( , )()LLLLLTDU x T dxTD UT FF 即 0 01( , )LLLLLTDFFD UU x T dxT（14） 同理在 0,0,RxT上积分（4）式，有： 001( , )RTD RRRRFFD UU x T dxT（15） 由相容条件（11）式，知（14） （15）是等价的，即000LRFFF。由（
7、14） 、 （15)式 0()hll LLLFFD UU （16a） 0()hll RRRFFD UU （16b） 把（13）代入（16）式得： 0()hllRLLRRLRLRLD FD FD D UUFFDD（17a） 或者等价的 011()()()22hllhllhll LRRRLLFFFFD UUD UU。 （17b） 4从（17b）式可以看出，1()()2hllhll RRLLD UUD UU起着格式粘性的作用。因此，根据守恒律直接确定通量，可以更好的体现格式粘性的影响，且通过选取适当的LD、RD，也可以对格式粘性进行直接控制。综上所述，数值通量0F可用下式计算： 0000LLhll
8、LRRRFDFFDDFD (18) 一般而言，在单元界面（i1/2）处， 数值通量为 1/2000LLhll iLRRRFDFFDDFD 。 这样，就得到了（2）式中数值通量的一种基于 HLL 近似 Riemann 解的计算方法。 三三 DL , DR 的确定的确定 上述过程并没有提供确定 DL, DR的方法。事实上，我们必须另外构造计算 DL, DR 的方 法。最简单的一种是： ,LLLRRRDuaDua(19) 一种稳定性更好的取法是： min(,)min(,)LLLRRRLLRRDua uaDua ua。 (20) 合理的 DL, DR 的取法， 可以使基于 HLL 近似的格式具有正定性
9、，即， 对于 t = tn 时刻 任意的物理上可能存在的初始值， 格式（2） ， （18）可以保证 t = tn1 时 110,0nnp上述格式的另一优点是满足离散熵条件； 其缺点是格式粘性较大， 对接触间断的分辨率较低 （容易证明，只有对于两个因变量的守恒律，HLL 格式才可能是准确的） 。 5 6. Riemann 问题的近似解问题的近似解法法 （II） Roe 方法方法 一一、基本思想基本思想 考虑扩张一维守恒型 Euler 方程 ： 0UF tx（1） 对应的拟线性形式为： 0UUAtx。 （2） Roe 把（2）式中的矩阵 A 用一个常矩阵 代替 ，即 (,)LRAA U U， （3
10、） 此时， （2）式化为一个线性方程 0UUAtx， （4） 其守恒形式为 0UF tx， （5） 其中FAU。这样，第 5 节（4）式的 Riemann 问题可用下列近似 Riemann 问题所代替： 00( ,0)0txLRUAUUifxU xUifx (6) 由于 是常矩阵，容易得到（6）式的精确解。 称为 Roe Jacobian Matrix, 它要满足下列 条件： （A） 双曲性 即 的特征值均为实数，且存在完备的左右特征向量； （B） 相容性 ( ,)A U UA（7） （C） 守恒性 ()()()RLRLF UF UA UU（8） 6二二.数值通量的确定数值通量的确定 设A的特
11、征值为()m,m=1,2,3,4;且(1)(2)(3)(4)。 相应()m的左、右特征值向量为(),()mmlr。 下面讨论（4）式的解法。由A的双曲性，可知： 1ALL(9) 由于A是常矩阵，所以 L, L-1也是常矩阵。把（9）式代入（4）式，有： 0 xULtUL定义特征变量 V=LU, 所以 0 xV tV(10) 令 (1)(1)(2) (2)() ()m mlUvlUvVvlU（11） 则： 0)( )()( xv tvj jj （j=1,2,m） (12) 容易知道， （12）式的精确解为： ( ) ( )( )( ) ( )x/t( , ) x/t当当j jLjj jRlUvx
12、 t lU （13a） 所以，在 x=0 处， ) ( )( ) 1/2) ( )0(0) 0（若若j jLj ij jRlUv lU （13b） （13a）式也可以写为 ( )( ) 1/2( )( )11( , )()(/ )()22jj ijLRjRLvx tlUUsignx t lUU(14) 或 ( ) 1/211( / )()( )( / ) ()22j iLRRLVx tL UUsignx t I L UU (15) 7I是单位矩阵。由LUV ,知： 111( , )()( / ) ) ()22LRRLU x tUULsignx t I L UU （16a） 在 x=0 处， 1
13、 1/211(0, )()() ()22iLRRLUUtUULsignL UU （16b） 注意到线性化后的守恒型方程为0UF tx ，且FAU。所以，相应的数值通量为： 1 1/2011()22iLRRLFFAUAULL UU 。 （17） 必须注意， 上述数值通量对应于 （5） 式， 而我们希望得到的是 （1） 式对应的数值通量1/2iF。那么，1/2iF如何计算呢？ 我们还记得，在第 5 节，我们得到了下面的相容性条件： ( , )()RLTDRRLLLRTDU x T dxT D UD UFF， 这一条件对于（1）式而言是精确成立的。因此， 0 01( , )LLLLLTDFFD UU x T dxT（18a） 和 001( , )RTD RRRRFFD UU x T dxT（18b） 是等价的， 即1/2000iLRFFFF。 当采用 Roe 的线性化近似时， 我们把( , )U x T用 （16a）式( , )|t TU x t近似，且(1)(4),LRDD。对于（5）式，我们同样可以得到上述相容条件，即 ( , )()RLTDRRLLLRTDU x T dxT D UD UAUAU001( , )LLLLLTDFAUD UU x T dxT（19a） 001( , )RTDRRRRFAUD UU x T dxT（19b） 以及000LRFFF。比较（
