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1、计算机硬件技术 （三）计算机基础课系列课程计算机基础课系列课程1 1计算机硬件技术大连理工大学计算机硬件技术大连理工大学第三章 逻辑代数与 计算机中常用逻辑部件 本章基本要求 1. 掌握与、或、非的逻辑运算规则； 2. 掌握用真值表、逻辑表达式、卡诺图表示及 处理逻辑函数的方法； 3. 了解计算机内常用逻辑器件：基本门电路、 三态门、 触发器、寄存器、计数器、译码 器的基本功能及作用； 4. 了解计算机在传输数据时常用的校验方法： 奇、偶校验方法与CRC校验方法。2 2计算机硬件技术大连理工大学计算机硬件技术大连理工大学3.1 逻辑代数基础与逻辑函数的三种表示法 基本概念l逻辑代数是1847年
2、由英国数学家乔治布尔（George Boole)首 先创立的，所以通常人们又称逻辑代数为布尔代数。l逻辑代数与普通代数有着不同的概念，其所表示的不是数值之 间的大小关系，而是逻辑函数与逻辑变量之间所存在的逻辑关 系与逻辑规律。 l逻辑规律表示了一种因果关系，如“真”与“假”、“有”和“无”、“ 是”与“非”、“开”与“关”等，这些逻辑关系的一个共同点是它们 仅有两种状态，即：0和1，因此又称为二值逻辑。l二值逻辑通常反映在逻辑电路上则是电路的“通”与“断”、反映 在电信号上则是信号电平的“髙”与“低”，所以把这种工作在二 值（0、1）状态下的电路称为数字逻辑电路。逻辑代数是分析 和设计数字逻辑
3、系统的数学基础，而数字逻辑电路则是构成计 算机硬件核心电路的主要部分。 3 3计算机硬件技术大连理工大学计算机硬件技术大连理工大学逻辑代数的三种表示法1逻辑真值表：将逻辑函数输入（逻辑变量）与输出（函数取值 ）之间的所有组态关系用数字符号以并列的形式表示出来的表格 。，这是一种将具体问题的描述转变为逻辑关系的描述的有效工 具，也是获得严谨的逻辑函数表达式的最有效方法。 2逻辑函数表达式：用与、或、非等基本的逻辑运算关系符和逻 辑常量、逻辑变量所组成的表示逻辑函数的数学表达式。形式简 洁明了，便于书写和推演变换，根据真值表可以列出其逻辑表达 式。 3卡诺图：n个变量的函数可以由2n个方格构成的平
4、面方格图来表 示，每个方格代表逻辑函数中的一个最小项，而任何一个逻辑函 数都可以表示成“最小项之和”的形式，因此通过方格阵列可清楚 的反映出函数所有最小项之间的关系，这个平面方格图就是卡诺 图。利用卡诺图中表示最小项的方格之间的相邻、相对、相重的 位置关系进行最小项合并是进行逻辑函数化简的最直接、最有效 的方法。 4 4计算机硬件技术大连理工大学计算机硬件技术大连理工大学3.1.1 逻辑代数的基本定义与运算 l逻辑代数是指：用0和1两个基本的数字符号表示 逻辑常量，用取值只能为0或1的任何字母符号表 示逻辑变量，用“与”、“或”、“非”等基本逻辑符 号表示运算关系所构成的代数系统。 l逻辑代数
5、的自变量取值只有0和1（非0即1）两个 数，同样逻辑函数的取值也只有0和1（非0即1） 两个数，自变量就是逻辑变量，这种函数就是逻 辑函数。 5 5计算机硬件技术大连理工大学计算机硬件技术大连理工大学1.逻辑代数基本定义（1）所有可能出现的数只有0和1两个取值 。 （2）基本逻辑运算关系只有“与”、“或”、“非”三种： l 与运算（逻辑与、逻辑乘）定义为：（、AND、 为与运算符）000，010，100，111；0 00，0 10，1 00，1 11；l或运算（逻辑或、逻辑加）定义为：（、OR、 为或运算符）000，011，101，111；000，011，101，111；l非运算（取反）定义为
6、： 01 ， 106 6计算机硬件技术大连理工大学计算机硬件技术大连理工大学2.2.基本运算规律和公式基本运算规律和公式（1 1）基本运算：）基本运算： 加：加：A+0=A，A+1=1，A+A=A，A+A=1 乘：乘：A0=0， A1=A，AA=A，AA=0 非：非：A+A=1，AA=0，A=A（2 2）基本公式：）基本公式： 吸收律，分配律，交换律，结合律，反演律吸收律，分配律，交换律，结合律，反演律7 7计算机硬件技术大连理工大学计算机硬件技术大连理工大学& 吸收律：A+AB=A证明：A+AB=A（1+B）=A1=AA（A+B）=A证明：AA+AB=A+AB=AA+AB=A+B证明：A+A
7、B=A+AB+AB =A+（A+A）B=A+1B=A+B8 8计算机硬件技术大连理工大学计算机硬件技术大连理工大学& 分配律分配律：A A (B+C)=A(B+C)=A B+AB+A C C(A+B) (A+B) (A+C)=A+B(A+C)=A+B C C证明：证明： ( (A+B) (A+C)A+B) (A+C) =A A+A C+B A+B C =A A+A C+B A+B C =A(1+C+B)+B C =A(1+C+B)+B C =A+B C =A+B C9 9计算机硬件技术大连理工大学计算机硬件技术大连理工大学& 交换律：交换律： A+B=B+A AA+B=B+A AB=BAB=B
8、A & 结合率：结合率： （A+BA+B）+ C = A+ C = A+（B+CB+C） （A A B B） C = A C = A（B B C C） & 反演律：反演律： ABC=A+B+C ABC=A+B+C A+B+C=A B C A+B+C=A B C 具体例题请看教材介绍。1010计算机硬件技术大连理工大学计算机硬件技术大连理工大学3.1.2 3.1.2 逻辑真值表逻辑真值表 真值表：真值表：由逻辑变量的所有可能取由逻辑变量的所有可能取 值的组合及其对应的逻辑函数值所值的组合及其对应的逻辑函数值所 构成的表格。构成的表格。例：例：有一个有一个3 3位二进制数位二进制数ABCABC，列
9、出列出 ABCABC中出现奇数个中出现奇数个1 1的逻辑关系。的逻辑关系。解：解：3 3位二进制数位二进制数ABCABC共有共有8 8种组合状种组合状 态，分别定义为态，分别定义为m0m0m7m7；它们的奇它们的奇 偶性定义为函数偶性定义为函数F F，其中其中F F0 0表示呈表示呈 偶性，偶性，F F1 1表示呈奇性，将表示呈奇性，将ABCABC全部全部 的组态关系以及对应的的组态关系以及对应的F F取值以表格取值以表格 的形式表示出来。该表称为逻辑函的形式表示出来。该表称为逻辑函 数数F F的真值表。的真值表。 NoA B CFm00 0 00m10 0 11m20 1 01m30 1 1
10、0m41 0 01m51 0 10m61 1 00m71 1 11注意：真值表必须列出逻辑变量所有可能的取值及其所对应的函数注意：真值表必须列出逻辑变量所有可能的取值及其所对应的函数 取值，不能有遗漏。（二个变量有取值，不能有遗漏。（二个变量有2 22 2=4 =4、三个逻辑变量有、三个逻辑变量有2 23 3=8 =8、四、四 个变量有个变量有2 24 41616、n n个变量有个变量有2 2n n种可能的取值种可能的取值）。 1111计算机硬件技术大连理工大学计算机硬件技术大连理工大学由于逻辑表达式进行化简需要较强的技巧，不熟练者很难由于逻辑表达式进行化简需要较强的技巧，不熟练者很难 判断，
11、而采用卡诺图则直观方便。判断，而采用卡诺图则直观方便。定义：定义：由逻辑变量、逻辑常量和运算符组成的表达式。由逻辑变量、逻辑常量和运算符组成的表达式。它是逻辑变量的函数，也是设计逻辑电路的根据。它是逻辑变量的函数，也是设计逻辑电路的根据。根据真值表可以列出逻辑表达式。根据真值表可以列出逻辑表达式。方法：方法：把真值表中所有使函数值为把真值表中所有使函数值为1 1的自变量组合项的自变量组合项“或或”起来。起来。例如：例如：上页例题中的逻辑表达式为：上页例题中的逻辑表达式为：F=1: F=1: F(A,B,C)=m(1,2,4,7)=ABC+ABC+ABC+ABC F(A,B,C)=m(1,2,4
12、,7)=ABC+ABC+ABC+ABCF=0: F=0: F(A,B,C)=m(0,3,5,6)=ABC+ABC+ABC+ABC F(A,B,C)=m(0,3,5,6)=ABC+ABC+ABC+ABC3.1.3 3.1.3 逻辑表达式逻辑表达式1212计算机硬件技术大连理工大学计算机硬件技术大连理工大学3.1.4 卡诺图（Karnaugh Map）卡诺图是逻辑函数的另一种表示形式，它是一种以图卡诺图是逻辑函数的另一种表示形式，它是一种以图 形形式来表达逻辑关系的方法，也是将逻辑函数进行逻辑形形式来表达逻辑关系的方法，也是将逻辑函数进行逻辑 化简的一种最有效的手段。用卡诺图化简逻辑函数，不但化简
13、的一种最有效的手段。用卡诺图化简逻辑函数，不但 具有简单、直观、方便的特点，而且还较容易的判断出得具有简单、直观、方便的特点，而且还较容易的判断出得 到结果是否为最简的形式。到结果是否为最简的形式。用卡诺图表示逻辑函数，是将该逻辑函数的每一个用卡诺图表示逻辑函数，是将该逻辑函数的每一个 最小项取值，按照一定规则填入到所对应的平面方格矩阵最小项取值，按照一定规则填入到所对应的平面方格矩阵 内，这个平面方格矩阵图就称为卡诺图。内，这个平面方格矩阵图就称为卡诺图。 1313计算机硬件技术大连理工大学计算机硬件技术大连理工大学 卡诺图是一种直观的平面方块图。它根据输入变量的数卡诺图是一种直观的平面方块
14、图。它根据输入变量的数 量量n n将平面划分为将平面划分为2 2n n 个方格个方格，用来表示全部输入变量组合，用来表示全部输入变量组合 项或者表示全部输出项。项或者表示全部输出项。 与真值表有些相似，但是和真值表的自变量取值变化的与真值表有些相似，但是和真值表的自变量取值变化的 最大不同在于：自变量的取值是按照它们取值之间的最大不同在于：自变量的取值是按照它们取值之间的最最 小跳越小跳越关系进行排列，即在左边和上边的自变量取值中关系进行排列，即在左边和上边的自变量取值中 只能有一个变量的取值是变化（相反）的，其余的保持只能有一个变量的取值是变化（相反）的，其余的保持 不变。不变。 卡诺图坐标
15、点上的自变量取值可以不连续，但要保持最卡诺图坐标点上的自变量取值可以不连续，但要保持最 小跳跃。小跳跃。 小方格中所填写的是：根据行列坐标点上自变量的取值小方格中所填写的是：根据行列坐标点上自变量的取值 关系，找出在逻辑表达式中对应的最小项的位置，在相关系，找出在逻辑表达式中对应的最小项的位置，在相 应的小方格中填写应的小方格中填写1 1；即小方格中填写那些使得逻辑函数；即小方格中填写那些使得逻辑函数 在所对应的行列坐标点上在所对应的行列坐标点上取值为取值为1 1的项的项。 卡诺图的书写规则：卡诺图的书写规则：1414计算机硬件技术大连理工大学计算机硬件技术大连理工大学二维卡诺图输入为输入为X1X1、X2X2，输出为输出为 F F。左下图为真值表，右下图为卡诺图。左下图为真值表，右下图为卡诺图。卡诺图左边和上边书写自变量的可能取值，中间则表明卡诺图左边和上边书写自变
