《（北师大版）七年级数学下册：第四章三角形4.5利用三角形全等测距离》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（北师大版）七年级数学下册：第四章三角形4.5利用三角形全等测距离（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣情景导入 一位经历过战争的老人讲诉了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一个办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离如图所示：图 451说明：用真实的故事引入新课，可吸引学生的注意力，产生学习的积极性和好奇心建议：重点理解“调整帽子” “
2、保持刚才的姿势”的数学意义教师走到学生中间，听听他们是怎样理解战士的做法的图 452复习导入 问题 1：三角形全等的条件有哪些？问题 2：已知线段 AB 和线段 CD 相交于点 O，AOBO，CODO，AC18 米你能求出 BD 的长度吗？说明：通过全等三角形的有关知识的提问，可以温习与本节有关的知识，巩固旧知识，同时也是本节课的理论基础建议：根据前面所学习的内容，学生可以回答出“SSS” “SAS” “ASA” “AAS” ，添加条件是全等的灵活应用图 453悬念激趣 如图 453 所示，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量 A，B 间的距离，但绳子不够长，你能帮小明设计一个
3、方案解决此问题吗？说明：通过设置悬念激发学生的学习兴趣，让学生体会数学的魅力，积蓄求知欲同时引导学生明确解决问题的关键是把不可测量的距离转化成可测量的距离，从而为后续学习奠定基础、做好铺垫建议：让学生先独立思考，然后交流讨论，发表见解，教师给予激励性评价，同时师追问：当遇到不能直接测量的距离时，我们该怎么办呢？我们能不能利用已学过的知识解决这类问题呢？教材母题第 109 页习题 4.10 第 2 题图 454如图 454，把两根钢条 AB，CD 的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)只要量得 AC 的长度，就可知工件的内径 BD 是否符合标准你明白其中的道理吗？与同伴进行交流
4、【模型建立】利用全等三角形的性质能解决很多现实生活中的问题，关键是从实际问题中提取数学知识，建立数学模型【变式变形】1泰勒斯是古希腊哲学家，相传他利用三角形全等的方法求图 455出岸上一点到海中一艘船的距离如图 455，B 是观察点，船 A 在 B 的正前方，过 B 作 AB 的垂线，在垂线上截取任意长 BD，C 是 BD 的中点，观察者从点 D 沿垂直于 BD 的 DE 方向走，直到点E、船 A 和点 C 在一条直线上，那么ABCEDC，从而量出 DE 的距离即为船离岸的距离 AB，这里判定ABCEDC 的方法是( B )ASAS BASA CAAS DSSS2某学校花台上有一块如图 456
5、 所示的三角形 ABC 地砖，现已破损管理员要对此砖测量再去市场加工一块形状和大小与此完全相同的地砖来换，今只有尺子和量角器，请你帮他设计一个测量方案，使其加工的地砖能符合要求，并说明理由3小明做了一个如图 457 所示的风筝(如图)，他想验证ABC 与ADC 是否相等(如图)，但手头只有一把足够长的尺子，你能帮他想个办法吗？并说明你这样做的理由图 456图 457图 4584一条大河两岸的 A，B 处分别立着高压线铁塔，如图 458 所示假设河的两岸平行，你在河的南岸，请利用现有的自然条件、皮尺和标杆，并结合你学过的全等三角形的知识，设计一个不过河便能测量河的宽度的好办法(要求画出示意图，并
6、标出字母，结合图形简要叙述你的方案)图 4595如图 459，要测量水池的宽 AB，可过点 A 作直线 ACAB，再由点 C 观测，在 BA 延长线上找一点 B，使ACBACB，这时只要量出 AB的长，就知道 AB 的长，这种做法对吗？为什么？图 45106如图 4510 所示，公园里有一条“Z”字形道路 ABCD，其中 ABCD，在 AB，BC，CD 三段路旁各有一只小石凳 E，M，F，且 E，F，M 在同一直线上，M 恰好为 BC 的中点在 BE 道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量 B，E 之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理利用全等三角形制作实用工具当某些零部件的尺寸
7、不容易直接测量时，可以借助于全等三角形的性质制作测量工具例 如图 4511，已知零件的外径为 a，要求出它的厚度 x，需先求出内孔的直径 AB，动手制作一个简单工具，利用三角形全等求出 AB 的长图 4511图 4512解：可设计如图 4512 所示的类似钳子的工具，则 CD 的长就是 A，B 间的距离利用全等三角形测量不可直接测量的两点间距离当无法直接测量两个点之间的距离时，可以构造全等三角形，借助全等三角形的性质解决实际问题例 某铁路施工队在建设铁路的过程中，需要打通一座小山，设计时要测量隧道的长度小山前面恰好是一块空地，利用这样的有利地形，测量人员是否可以利用三角形全等的知识测量出需要开
8、挖的隧道的长度？请说明理由图 4513图 4514解：可以理由：在空地上取一个能直接到达 A 点，B 点的点 O，连接 AO 并延长到 D，使ODOA；连接 BO 并延长到 E，使 OEOB.连接 DE 并测出它的长度，则 DE 的长就是 A，B 间的距离如图 4514 所示在AOB 与DOE 中，AODO， AOBDOE（对顶角相等）， BOEO，)AOBDOE(SAS)，ABDE(全等三角形的对应边相等)确定方案根据全等三角形的判定，确定所给方案是否可行；或判断自己所给方案是否正确例 某校七(1)班学生到野外进行数学活动，为测量一池塘两端 A，B 的距离，设计了如下两种方案：如图 4515
9、，先在平地上取一个可以直接到达 A，B 的点 C，再连接 AC，BC，并分别延长 AC至点 D，BC 至点 E，使 DCAC，ECBC，最后测出 DE 的长即为 A，B 两点间的距离如图 4515，先过点 B 作 AB 的垂线 BF，再在 BF 上取 C，D 两点，使 BCCD，接着过 D 作BD 的垂线 DE，交 AC 的延长线于点 E，则 DE 的长即为 A，B 两点间的距离问：图 4515图 4516(1)方案是否可行？_理由是_(2)方案是否可行？_理由是_(3)方案中作 BFAB，EDBF 的目的是_，若仅满足ABDBDE90，方案是否仍成立？(1)可行 SAS (2)可行 ASA
10、(3)使 ABDE 仍成立P109 习题 4.101如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧 A，B 处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出 A，B 间的距离，请你设计一个方案，测出 A，B 间的距离，并说明理由解：方法不唯一，如：先作一个以 AB 为边的三角形，再利用“SAS”构造一个三角形与其全等即可2如图，把两根钢条 AB，CD 的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳). 只要量得 AC 的长度，就可知工件的内径 BD 是否符合标准. 你明白其中的道理吗？与同伴进行交流解：两个三角形全等，BDAC.3利用全等三角形测距离的道理是什么？你想到了什么地方可以利用这个
11、方法吗？解：是利用了两个三角形全等的性质很多测量无法到达的两地之间距离的问题都可以利用这个方法P110 复习题1一个三角形可以有两个直角吗？一个三角形的三个角能都大于 70吗？能都小于 50吗？解：不可以，不能，不能2在一个直角三角形中，两个锐角相等，求这两个锐角的度数解：都是 45.3如图，ADBEDB，BDECDE，B，E，C 在一条直线上(1)BD 是ABE 的平分线吗？为什么？(2)DEBC 吗？为什么？(3)点 E 平分线段 BC 吗？为什么？解：(1)是ADBEDB，ABDEBD.(2)DEBC.BDECDE，BEDCED.BEDCED180.BED90.(3)点 E 平分线段 B
12、C.BDECDE，BECE.4如图，BEAE，CFAE，垂足分别是 E，F，又知 D 是 EF 的中点，BED 与CFD 全等吗？为什么？解：全等，根据“ASA”易说明5已知线段 a 和，尺规作图：(1)作一个ABC，使 AB3a，BC4a，AC5a；(2)作一个ABC，使 BCa，AC2a，BCA.解：略6如图，ABDF，ACDE，BEFC，BC 与 FE 相等吗？你能找到一对全等三角形吗？说明你的理由解：BCFE.ABCDFE.理由略7.如图，ABAD，ACAE，BAEDAC，ABC 与ADE 全等吗？解：全等8面积相等的三角形一定全等吗？举例说明解：不一定如：取ABC 的边 BC 的中点
13、 D，连接 AD，则ADB 与ACD 面积相等，但两个三角形不一定全等(只有在 ABAC 时才全等)9如图，已知ABCDCB，要使ABCDCB，只需添加一个条件是_(只需添加一个你认为适合的条件)解：答案不唯一，如：ABDC.10有四根细木棒，长度分别为 3 cm，5 cm，7 cm，9 cm，哪三根木棒可以组成一个三角形？有几种可能的情况？实际摆一摆，验证你的结论解：有三种情况：3 cm，5 cm，7 cm；3 cm，7 cm，9 cm；5 cm，7 cm，9 cm.11工人师傅经常利用角尺平分一个任意角. 如图所示，AOB 是一个任意角，在边 OA、边 OB 上分别取 ODOE，移动角尺，
14、使角尺两边相同的刻度分别与 D，E 重合，这时过角尺顶点 P 的射线 OP 就是AOB 的平分线. 你能先说明OPE 与OPD 全等，再说明 OP 平分AOB 吗？提示： 根据“SSS”说明两三角形全等，再根据全等三角形的性质，说明AOPBOP.12如图，ABCEFD，你能从图中找出几组平行线？小颖的思考过程如下：你能明白她的意思吗？解：两组：ABEF，ACED.小颖的意思是由内错角相等，推出两直线平行13你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？小明回顾了作图的过程，并进行了如下的思考：你能说明每一步的理由吗？解：第一步由作图得到，第二步根据“SSS” ，第三步由全等三角
15、形的性质得到14如图，在一个等边三角形纸片中取三边的中点，以虚线为折痕折叠纸片，你认为图中阴影部分的面积是整个图形面积的几分之几？你是怎样知道的？解： .四个等边三角形都全等，阴影部分占其中的一个半三角形3815沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形解：略16按下列步骤设计图案：(1)画一个正方形，并在它的下方剪掉一个小正方形，如图(1)；(2)将剪下的小正方形补在大正方形的上方，如图(2)；(3)在新得到的图形上绘制出你所喜欢的图案；(4)再制作若干个这样的图案，并利用它们拼出一个美丽的图案将你的作品与同伴进行交流，你喜欢它们吗？解：略17.一个零件的形状如图所示，按规定A 应等于 90，B，D 应分别是 20和 30. 李叔叔量得BCD142，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？解：连接 BD，则CDBCBD38.而在 RtABD
