《误差理论与测量平差基础》第二章

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1、 2-1 随机变量的数字特征（自学）2-3 偶然误差的规律性2-4 衡量精度的指标2-5 精度、准确度与精确度2-6 测量不确定度（了解）2-2 正态分布（自学）结束第二章 误差分布与精度指标2-3 偶然误差的规律性若用向量表示为：若用向量表示为：则则 ：(2-3-1）(2-3-3）证明：若不考虑系统误差证明：若不考虑系统误差(2-3-2）一、真值与真误差一、真值与真误差 1.1.真值：真值：任何一个被观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小 的数值，这一数值就称为该观测量的真值。通常观测量真值表示为：2.2.真误差真误差 ：设进了 次观测，各观测值为 ，其相应真值为：，则每一个观测值的真

2、值与观测值之间必然存在一个差数， 称为真误差，即：设进行了 次观测，各观测值为 ，其相应真值为： ，则每一个观测值的真值与观测值之间必然存在一个 差数，称为真误差，即：二、偶然误差的特性 例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，按计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。 1.表格法：见图误差区间 d+ 个数ni频率ni/n(ni/n)/d个数ni频率ni/n(ni/n)/d 0.000.20450.1260.630460.1280.640 0.200.40400.1120.560410.11

3、50.575 0.400.60330.0920.460330.0920.460 0.600.80230.0640.320210.0590.295 0.801.00170.0470.235160.0450.225 1.001.20130.0360.180130.0360.1801.201.4060.0170.08550.0140.0701.401.6040.0110.05520.0060.0301.60000000 和1810.5051770.495例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角形内角 之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，按 计算各内角和的真

4、误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。 误差区间 d+ 个数ni频率ni/n(ni/n)/d个数ni频率ni/n(ni/n)/d0.000.20400.0950.475370.0880.4400.200.40340.0810.405360.0850.4250.400.60310.0740.370290.0690.3450.600.80250.0590.295270.0640.3200.801.00200.0480.240180.0430.2151.001.20160.0380.190170.0400.200 .2.402.6010.0020.01020.0050.0252.60000000

5、 和2100.4992110.501(ni/n)/d概率密度函数曲线2.直方图法： 面积= (ni/n)/d* d= ni/n所有面积之和=n1/n+n2/n+.=100.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差d见表(ni/n)/d00.40.60.8-0.8 -0.6-0.4闭合差0.630(ni/n)/d00.40.60.8-0.8 -0.6-0.4闭合差0.475(ni/n)/d00.40.60.8-0.8 -0.6-0.4闭合差00.40.60.8-0.8 -0.6-0.4闭合差结论：观测值一定， 其分布也就确定，因 此一组观测值对应相 同的分布。不同的观 测序列，分布不同。 但

6、其极限分布均是正 态分布。ddd例1 直方图 ：例2 直方图 ：在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝对值不会超过一定的界限；（有界性） 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的次数多；（聚中性） 绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等；（对称性）当观测次数无限增多时，其算术平均值趋近于零，3.偶然误差的特性：返回2-4 衡量精度的指标精度：所谓精度是指偶然误差分布的密集离散程度。一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。注意：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。(ni/n)/d00.40.60.8-0.8 -0.6-0.4闭合差0.6

7、30(ni/n)/d00.40.60.8-0.8 -0.6-0.4闭合差0.475dd例1 直方图 ：例2 直方图 ：(ni/n)/d00.40.60.8-0.8 -0.6-0.400.40.60.8-0.8 -0.6-0.4d显而易见：例1的误差分布曲线较 高且陡峭，精度高；例2的误差分布曲线较 低且平缓，精度低。 特别提示 ：(ni/n)/d00.40.60.8-0.8 -0.6-0.4闭合差0.630(ni/n)/d00.40.60.8-0.8 -0.6-0.4闭合差0.475dd例1 直方图 ：例2 直方图 ：(ni/n)/d00.40.60.8-0.8 -0.6-0.400.40.6

8、0.8-0.8 -0.6-0.4d显而易见：例1的误差分布曲线较 高且陡峭，精度高；例2的误差分布曲线较 低且平缓，精度低。 特别提示 ：3.方差方差与中误差的计算：注意：这里的 n 是有限次观测！二、平均误差1.定义：在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值 的数学期望，称为平均误差，即2.平均误差与中误差的关系：3.平均误差的计算：三、或然误差f()0闭合差50% 1/21.定义：若误差出现在 之 间的概率等于 ，即 则称则称 为或然误差为或然误差 。2.或然误差与中误差的关系：3.或然误差的计算：实用上只能得到的估值：估值：将相同观测条件下得到的一组误差 按绝对值的大小排列，当为奇数

9、时，取位于中间的一个误差值作 为 ；当为偶数时，则取中间两个误差值的平均值作为 。在实 用上，通常都是先求出中误差的估值，然后关系式求出或然误差 。四、极限误差五、相对误差 中误差与观测值之比，称为相对误差，一般用1/N表示 。 返回例2-1 观测了两段距离，分别为1000m2cm和500m2cm。问：这两段 距离的真误差是否相等？精度是否相同？它们的相对精度是否相同？ 答 ：这两段距离的真误差不相等。这两段距离中误差是相同的，中误差 均为2cm。它们的相对精度不相同，前一段距离的相对中误差为 2/100000 =1/50000，后一段距离的相对中误差为2/50000=1/25000。第 一条

10、边精度高。注：角度元素没有相对精度。2-5 精度、准确度与精确度观测值的质量取决于观测误差（偶然误差与系统误差） 的大小。 一、精度：精度是指误差分布密集或离散的程度，是衡量偶 然误差大小程度的指标。精度反映了观测结果与其数学期望的接近程度。二、准确度：准确度是指观测量的真值与观测量的数学期望之 差，即 ，是衡量系统误差大小程度的指标。 准确度反映了观测量的真值与其数学期望的接近程度。三、精确度：精确度是精度与准确度的合成，是指观测结果与其真值的接近程度，精确度可用观测值的均方误差来衡量，即：精确度是衡量偶然误差和系统误差大小程度的指标。即观测值中不存在系统误差时，亦即观测值中只存在偶 然误差时，均方误差就等于方差，此时精确度就是精度。返回当时上节课重点回顾第一章1.1 观测误差产生的原因？1.2 观测条件？1.3 观测误差的分类？1.4 必要观测？1.5 多余观测及其意义？1.6 测量平差的任务？第二章 2.1 偶然误差的特性？ 2.2 精度的定义？进 入 今 天 内 容