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1、第九讲 近代科学革命牛顿微积分 微积分是微分和积分的合称。 微分：求变化率（斜率、瞬时速度） 积分：求积（曲线长、面积、体积） 跟乘法和除法一样，微分和积分两之间互为反运算 。所以合起来一起研究，称之为微积分 而微积分的问题，尤其求积分的问题，自古希腊以 来就一直吸引着数学家们的兴趣积分：阿基米德求圆周率（穷尽法） 由圆的内接正六边形出发，先算其周长，做为圆周长的一 个近似值，然后再由此周长计算内接正十二边形的周长， 作为圆周长更精确的近似值，如此边数逐次倍增，则所得 周长仍小于圆周长，却越来越接近圆周长 同时阿基米德用外切正多边形从外面逼近圆周长 一般而言，如果正n边形和正2n边形Sn和S2
2、n之间有代数关 系 ，只要知道Sn，则可知S2n 当内接及外切正多边形的边数为96时，阿基米德得到了他 的圆周估计值17世纪新问题1.已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时 刻的速度和加速度；或者反过来，已知物体的加速度表示为时间 的函数，求物体在任意时刻的速度，或已知物体速度表示为时间 的函数，求物体在任意时刻的移动距离注意，上述问题如果对 于匀速直线运动来考虑，当时的数学工具已可以解决，但当时天 文学、力学等涉及许多非匀速运动，大多数也不是直线运动，所 以要求新的数学工具 2.已知曲线求其切线这不仅是几何学的问题，而且也是许多其他 科学问题的要求：物体作曲线运动时，在每一
3、瞬间的速度方向是 该曲线相应的点的切线的方向；在光学中对光的折射和反射的研 究要求出界面的法线方向，法线方向是由切线方向决定的 3.已知函数求函数的极大值和极小值这与天文学和力学都有关， 例如求行星运行的近日点和远日点，抛射体的最大射程和最大高 度等问题都可归结为这种类型的问题 4.求曲线的长度这是以计算行星或曲线运动的物体走过的路程为 背景的；求曲线围成的面积，以计算行星扫过的面积（见前开普 勒定律的计算）为代表；求物体的重心、求两个天体之间的引力 等问题穷尽法动态无穷法卡瓦列利：不可分量原理（无穷小） 设三角形ABC与三角形DEF等底等高，设BC、 EF分别 是平行于BC、EF的线段。且距
4、底边等高，则由比例可知： BC=EF 注意到BC、EF是任意的，其长度一直由BC和EF一直逼 近到点A和点D。 既然三角形ABC三角形DEF分别由相等的线段BC、EF所 组成，所以两三角形应该有同样的面积卡瓦列利：不可分量原理（无穷小） 如果两个平面图形夹在同一对平行线之间，并且被任何 与这两条平行线保持等距的直线截得的线段都相等，则 这两个图形的面积相等。 类似的，如果两个立体图形处于于对平行平面之间，并 且被任何与这两个平行平面保持等距的平面截得的面积 都相等，则这两个立体的体积相等以椭圆的短轴为半径做圆，做任一直 线平行于长轴而得到椭圆的截线LL及 圆的截线MM，由坐标的计算可知LL 与
5、MM比值固定，所以由卡瓦列利原理 可知瞬时速度 瞬间速度就是瞬间的平均速度。但是瞬间到底是多短呢 ？如果瞬间没有长度，则在这瞬间内距离没有什么变化 ，所以 不是数，自然不能表示速度，所以此路不通。 但是如果瞬间一定要有长度，但所谓的长度如果是通常 观念中的长度，那么它的一半不也是长度吗？那么瞬间 怎么还能称作瞬间呢？此路也不通。 那么瞬间是到底是什么呢？ 有人想出绝招说：“瞬间的长度为无穷小”微积分基本定理 动态无穷法虽然使得求积进了一大步，可是繁复的步骤 已经求和、求极限的困难，都限制了它的应用范围。 无穷小的方法虽然好使，但是用起来又太灵活了，基本 无固定的规则可言，数学家使用的时候，什么
6、时候保留 ，什么时候削去，基本是靠直觉“猜”出来的。 而微积分基本定理的发现，就是说求积是求变化率的反 运算，所以会求变化率就能解决很多求积的问题，而微 分学有系统的发展后，求变化率的计算就变成远较求积 简单的一种运算。牛顿的贡献假设某曲线y=f(x) 下的面积为z，z和x的关系为z=axm， 如果x增加了一点，这个可以用无穷小量o来表示，则面积增加了 oy，（由此亦易知，y值刚好就是面积在增加了这么一点的时候的变化 率，yz/x），于是有z+oy=a(x+o)m。 右边以二项级数展开得z+oy=a(xm+mxm-1o+含有o2的项) 消去z=axm，再去掉o，则得y=a(mxm-1+含有o的
7、项) 再去掉含有o的项，得y=amxm-1面积z在任意点x的变化率，正是曲线在x处的y值（amxm-1） 而曲线y=amxm-1下的面积是axmoyz/xl 牛顿提出的这种思想有两个新的内容 1. 通过考虑在x点处的面积的瞬时增量得出面积的表达式， 而不采取过去的那种用无限小面积之和来求面积的表达 式的方法也就是说，牛顿把确定变化率作为基本的步 骤，换言之，以导数作为基本概念来定义积分2. 他证明了过去被看成无限小面积之和的面积能够通过一 点的变化率由微分（求导数）的逆过程得到，这一事实 就是我们现在所说的微积分基本定理 但是牛顿的这种方法中有一个重要的逻辑问题：瞬间是 什么？瞬间是一个无限小
8、量，不可分的量牛顿的生平简介 艾萨克牛顿生于旧历1642年12月25日（新历43年1月4 日），早产、遗腹子，喜摆弄小玩具、小机械，做过风 车、灯笼、日晷，性情孤僻。 12岁进中学，因寄宿在药剂师家里而学会了化学实验。 1661年，18岁的牛顿进入剑桥大学深造。导师普林卢卡 斯，首任教授巴罗。在巴罗指导下牛顿阅读了开普勒的 光学、笛卡尔的几何学和哲学原理，伽利 略的对话，胡克的显微图。掌握了最前沿的数 学知识和光学知识。牛顿的生平简介 1665年初大学毕业，伦敦瘟疫，停学回家。11月，发明 流数运算法（微分运算） 1666年1月，颜色理论，5月反流数运算（积分运算）， 同年推出平方反比例公式。
9、 1667年回到剑桥，当选为三一学院的研究员。 1668年获硕士学位 1669年受巴罗教授推荐接任卢卡斯教席，27岁。发现太 阳光并非单色光，而是多种光的合成。相信折射式望远 镜必定会出现色差。牛顿的生平简介 1671年向皇家学会提交反射式望远镜，成为会员。1672 年当选为院士（30岁）。发表论文光与色的理论， 展开与胡克的论战。“笛卡儿（的光学研究）迈出了很好的一步。你在一些方面又增添了许多 ，特别是对薄板颜色进行了哲学考虑。如果我看得更远一点的话，是因为 我站在巨人的肩膀上。” 1676年因莱布尼茨发展微积分，而开始了两人在信件往 返与在期刊中公开论战，一直持续到1716年莱布尼茨去 世
10、为止。 1684年8月哈雷请教牛顿在与距离平方反比的力作用下行 星做何运动。11月牛顿给出透彻数学证明论运动。 1686年完成自然哲学的数学原理，1687年7月以拉丁 文初版问世。牛顿的生平简介 1689年担任国会议员 1695年接受皇家造币厂督办新职，迁居伦敦。 1699年升任皇家造币厂总监。 1701年11月再度担任国会议员，12月正式辞去卢卡斯讲 座教授。 1703年当选为皇家学会主席。 1704年出版光学。 1705年赐封为爵士。 1724年放弃造币厂总监与皇家学会主席职务。 1727年3月20日睡梦中去世。自然哲学的数学原理l 导论：包括定义（质量、动量、惯性、力）、运 动的三定律及
11、相关的说明。绝对时空概念、运动 合成法则、力的合成与分解法则、伽利略相对性 原理。l 第一编：运用前面确定的基本定律研究引力问题l 第二编：讨论物体在介质中的运动l 第三编：“论宇宙体系”导论:质量与力l 定义一：物质的量是物质的度量，可由其密度和体积共同求 出（质量）牛顿发现一切物体在运动中都有某种共同的不变的东西，不 管怎样运动，受到怎样的里，它的体积与密度的成绩都是保 持不变的，这个不变的东西就是物质的量，研究物体的运动 时，必须要考虑到它。 l 定义二：运动的量是运动的度量，可由速度和物质的量共同 求出（动量） l 定义三：Vis Insita，或物质固有的力，是一种起抵抗作用 的力，
12、它存在于每一种物体当中，大小与该物体相当，并使 之保持其现有的状态，或是静止，或是匀速直线运动（惯性 ） l 定义四：外力是一种对物体的推动作用，使其改变静止的或 匀速直线运动的状态（力）导论:绝对时间与绝对空间l绝对时间：均匀地流逝着而同任何外部事物无关 l绝对空间：始终保持相同和不动 l绝对运动：一个物体从一个绝对位置向另一个绝对 位置的平移惯性参照系：存在一组既不加速也不旋转的参照系 。没有受到外力的物体相对于惯性参照系做匀速直线 运动。在惯性参照系中，以及在两个处于相对匀速 运动中的参照系之间转换时，牛顿定律是普遍适用 的。导论:运动三定律 第一定律：每个物体都保持静止、或匀速直线运动
13、 的状态，除非有外力作用于它迫使它改变那个状态 第二定律：运动的变化正比于外力，变化的方向沿 外力作用的直线方向 第三定律：每一种作用都有一个相等的反作用；或 者，两个物体间的相互作用总是相等的，并且指向 相反第一编:万有引力l 苹果落地启发了牛顿什么？ 把苹果拉向地面的力可能和维持月球在其闭合轨道上运 动的力是同一种力。 检验的方法： 1. 根据什么定律，重力随着与地球距离的增加而减少？ 2. 根据这一定律和测得的在地球表面上的物体的加速度来 计算，月球轨道处的重力加速度应该有多大? 3. 假设月球的轨道是以地球为圆心的圆，计算月球的实际 向心加速度是多少? 4. 确定由2.和3.得出的加速
14、度在数值上是否相等，从而可 以认为两者是否由于同一种力的作用而引起 平方反比例定律 圆周匀速运动的物体线速度是v，周期为T，半径为r， 向心加速度为a，则有av2/rv2r/T 又根据开普勒第三定律，有：T2 /r3k k为开普勒常数，于是有a42/kr2牛顿尝试用它来计算月球的轨迹， 可惜当时测定的地球半径是错的， 未能获得满意的计算结果，于是放弃万有引力 万有引力l 胡克、哈雷、里恩的咖啡馆聚会 l 牛顿的回答： 在平方反比例定律的力的作用下的轨道是一个以吸引体 为焦点的椭圆。 如果围绕引力中心的运动是椭圆运动，而此引力中心是 椭圆的一个焦点，那么该力一定是平方反比例的力 l 哈雷的鼓励+
15、精确的地球半径值+牛顿的微积分技术 一个所有与球心等距离的点上的密度都相等的球体在吸 引一个外部质点时，形同其全部质量都集中在球心。因 此可以把太阳系各天体看作是有质量无体质的质点。 结论：存在着一种与所有物体相关的地心引力，这一引 力与它们包含的物质的量成比例万有引力的本质笛卡尔：力是一个物体对另一个物体的挤压 （基于微粒碰撞的理念）l 牛顿的力的概念：抽象的概念，对力的数学性质的描述 牛顿用抽象的力的概念统一了天上地下 伽利略以来的自然数学化传统n对万有引力的质疑：超距作用n牛顿：万有引力只是数学描述，不是物理层面的原因p机械论：超距作用无法还原成机械论模型自然数学化与机械论哲学的张力牛顿
16、的方法：数学和实验的统一l 一切哲学困难似乎都在于这一点：从运动的现象来分析自 然之力，再从自然之力来证明其他现象。1 通过实验对现象进行简化，抓住并精确确定一些基本概念 （比如质量的概念），以及发现一些关于运动和力的比较 简单的命题。（归纳方法） 2 对这些命题进行数学阐释。（演绎方法） 3 必须做出进一步严格的实验（经验主义），以便 a) 证实这些推论在任何新领域中的可应用性，并且把它扔归结 到最普遍的形式 b) 在比较复杂的现象的情形中，检验可以得到定量处理的额外 原因的出现并确定他们的值 c) 在这些额外原因的本质依旧模糊的情形中，提出发展我们目 前的数学工具的建议，以便更好的处理它们“我不杜撰假说”我认为这些
