《考研资料(方程的性质-基础解系-通解)08.05.07》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研资料(方程的性质-基础解系-通解)08.05.07（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、考研数学应试指南1解的性质、基础解系及方程组的通解解的性质、基础解系及方程组的通解知识点、题型、解题技巧综述知识点、题型、解题技巧综述 1 1齐次线性方程组解的线性组合仍是该齐次线性方程组的解齐次线性方程组解的线性组合仍是该齐次线性方程组的解. . 2 2非齐次线性方程组两解之差是其导出组的解非齐次线性方程组两解之差是其导出组的解. .3 3若若是是的解，则的解，则当当时，时，r,21bAx rrccc2211021rccc是是的解；当的解；当时，是时，是的解的解. .0Ax121rcccbAx 4 4当齐次线性方程组当齐次线性方程组有非零解时，存在基础解系有非零解时，存在基础解系. .其基础
2、解系是该齐次线性方程解其基础解系是该齐次线性方程解0Ax向量组的极大无关组，它包含向量组的极大无关组，它包含个解向量个解向量. .)(Arn 5 5确定确定的基础解系要从三个方面考虑的基础解系要从三个方面考虑. .（1 1）是解；（）是解；（2 2）无关；（）无关；（3 3）个数（）个数（0Ax）. .)(Arn 6 6齐次线性方程组齐次线性方程组的通解是其基础解系的线性组合的通解是其基础解系的线性组合. .0Ax 7 7非齐次线性方程组非齐次线性方程组的通解是其导出组的通解与其任意一个解的和的通解是其导出组的通解与其任意一个解的和. .bAx 例题精解例题精解例例 1 1 （0505 数数
3、1 1，2 29 9）已知三阶矩阵）已知三阶矩阵的第一行为的第一行为其中：其中：不全为零，矩阵不全为零，矩阵Acba,cba,（为常数）为常数） ，且，且，求线性方程组，求线性方程组的通解的通解. . kB 63642321k0AB0Ax解：由解：由，得，得，又，又，则，则. .0AB3)()(BrAr0, 0BA2)(1 , 2)(1BrAr若若，则，则，于是，于是，由于，由于中第一行不全为零，则中第一行不全为零，则，故，故9k2)(Br1)(ArA1)(Ar. .可见此时可见此时的基础解系所含解向量的个数为：的基础解系所含解向量的个数为：. .而矩阵而矩阵中第中第1)(Ar0Ax2)(3A
4、rB一、三列线性无关，可作为其基础解系一、三列线性无关，可作为其基础解系. .故故的通解为：的通解为：，其中：，其中：0Ax kkkx6332121为任意常数为任意常数. .21,kk若若，则，则，从而，从而. .9k1)(Br2)(1Ar(I)(I)若若，则，则的通解为：的通解为：，其中：，其中：为任意常数为任意常数. .2)(Ar0Ax 3211kx1k(II)(II)若若，则，则的同解方程组为：的同解方程组为：，不妨设，不妨设，则，则1)(Ar0Ax0321cxbxax0a考研数学应试指南2其通解为：其通解为：，其中：，其中：为任意常数为任意常数. . 10 0121ackabkx21,
5、kk例例 2 2已知已知是方程组是方程组TTT11,24, 9, 7,0 ,13, 5, 1,11, 2 , 1 , 9321的解，则方程组的通解是的解，则方程组的通解是. . 3443212432211433211492237dxcxxxdxxxbxdxxaxxa解：在系数矩阵解：在系数矩阵中有二阶非零子式中有二阶非零子式，故，故. . 323114922317cbaa A019232)(Ar又因为又因为是齐次线性方程组是齐次线性方程组的的TT0 ,22,10, 2,11,11, 6 ,1031210Ax线性无关的解向量线性无关的解向量, ,而有而有，即，即. .从而得系数矩阵的秩从而得系数
6、矩阵的秩. .2)(Arn2)(Ar2)(Ar于是，该方程组的通解为：于是，该方程组的通解为：. . 0115111116101121921kk点评：求解本题的关键是先求出点评：求解本题的关键是先求出，再算出，再算出就可以求解了就可以求解了. .本题亦可本题亦可)(Ar)(Arn 利用解的概念先求出参数利用解的概念先求出参数然后再解方程组然后再解方程组, ,但这样计算繁琐，不好但这样计算繁琐，不好. .dcba,例例 3 3设设是四元非齐次线性方程组是四元非齐次线性方程组的四个解向量，且的四个解向量，且，4321,bAx 864221，. .若秩若秩, ,则方程组则方程组的通解为的通解为975
7、3432200223212)(ArbAx . .解：因为解：因为有解，且有解，且，那么，那么，故其通解为：，故其通解为：. .bAx 2)(Ar2)(Arn2211kk下面应用解的性质分析出特解下面应用解的性质分析出特解及导出组的基础解系及导出组的基础解系. .考研数学应试指南3由于由于，则，则. .即即是是的一个解的一个解. .bA221bA 221 221bAx 令令. .221又因为又因为，的组系数之和为的组系数之和为 0 0，)(21)2(321)(321)(2432所以都是所以都是导出组导出组的解的解. .bAx 0Ax而而，对应分量不对应分量不)(216640)2(321)(321
8、6420)(2432成比例，是成比例，是线性无关的两个解向量，故是其基础解系线性无关的两个解向量，故是其基础解系. .令令，. .则则0Ax1664026420的通解为：的通解为：. .bAx 2211kk点评：本题考查线性方程组解的性质点评：本题考查线性方程组解的性质. .例例 4 4 （0202 数数 1 1，2 21010）已知四元非齐次线性方程组的系数矩阵为）已知四元非齐次线性方程组的系数矩阵为，4321,A其中其中均为四维列向量，均为四维列向量，线性无关，线性无关，且且，)4 , 3 , 2 , 1( ii432,3212 41ii求线性方程组求线性方程组的通解的通解. .Ax解：因
9、为解：因为线性无关，且线性无关，且，则，则线性相关且线性相关且432,4321024321,. .于是，于是，即，即的基础解系仅含一个解向量的基础解系仅含一个解向量. .3)(,4321Arr1)(Arn0Ax注意到线性方程组的向量形式，由注意到线性方程组的向量形式，由可以可以0020243214321推出，推出，. .即，即，是齐次线性方程组是齐次线性方程组00121,4321 0121考研数学应试指南4的一个非零的解向量，于是由定义该解向量也是的一个非零的解向量，于是由定义该解向量也是的的0,0432141xxxxAx0Ax基础解系基础解系. .又因为又因为，所以有，所以有. .即，向量即
10、，向量是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组 41ii1111,43211111的一个解向量的一个解向量. .Ax432141,xxxx于是，根据非齐次线性方程组通解的结构知该方程组的通解为：于是，根据非齐次线性方程组通解的结构知该方程组的通解为：. .（其中：（其中：1111 0121k为任意实数为任意实数. .）k 点评：本题是点评：本题是 0202 年数一、二的考试真题年数一、二的考试真题, ,满分为满分为 6 6 分分. .据教育部考试中心统计，据教育部考试中心统计， 数一的考生人均得数一的考生人均得 2.942.94 分，数二的考生人均得分，数二的考生人均得 2.162.16 分分.
11、.本题综合考查了齐次线本题综合考查了齐次线 性方程组基础解系的概念、判定；线性方程组的向量形式；线性方程组通解的性方程组基础解系的概念、判定；线性方程组的向量形式；线性方程组通解的 结构等多个知识点结构等多个知识点. .本题也可以用构造同解方程组的方法求解本题也可以用构造同解方程组的方法求解. .其解法如下：设其解法如下：设是方程组是方程组的任一解，则由方程组的任一解，则由方程组TxxxxX4321,Ax的向量形式可知，有的向量形式可知，有. .4321432141,xxxx即，即，. .将将代入此式并整代入此式并整432144332211xxxx3212理得：理得：. .因为因为线性无关，线
12、性无关，013244331221xxxxx432,所以必有所以必有. .解此方程组即得解此方程组即得的通解为：的通解为：. . 103243121xxxxx Ax1111 0121k例例 5 5已知已知矩阵矩阵，其中，其中均为四维列向量，若非齐次线性方均为四维列向量，若非齐次线性方34321,A321,考研数学应试指南5程组程组的通解为：的通解为：. .令令，试求方程组，试求方程组Ax 121111 k3321,B的通解的通解. .21By解：由解：由通解的结构可知，通解的结构可知，Ax213,)(321rAr即即，即即 111 ,321) 1 (3210 121 ,321 . .)2(02321从而从而. .2,)(321213213321rrrBr又因为又因为，所以，所以是线性方程组是线性方程组的解的解. .2133210011, 001121By再分析寻找导出组再分析寻找导出组的的个线性无关的解向量个线性无关的解向量. .0By2)(Brn注意到注意到及（及（1 1） ， （2 2）可得以下结论：）可得以下结论：3321,B21321,即即是齐次线性方程组是齐次线性方程组01011,2121)1(21321得由1011的解的解. .
